D對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分代余

會(huì)計(jì)學(xué)1D對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分代余一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用第1頁/共27頁設(shè)

是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在上的一個(gè)有界函數(shù),都存在,上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作若通過對(duì)

的任意分割局部的任意取點(diǎn),2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，

稱為積分弧段.曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對(duì)第2頁/共27頁如果L是xOy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例?否!

對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求ds0,但定積分中dx

可能為負(fù).第3頁/共27頁3.性質(zhì)（,為常數(shù))(

由組成)(l為曲線弧

的長(zhǎng)度)第4頁/共27頁二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義第5頁/共27頁點(diǎn)設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為對(duì)應(yīng)參數(shù)為則第6頁/共27頁說明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”.因此第7頁/共27頁如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣:

設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則第8頁/共27頁例1.

計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)

B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)第9頁/共27頁例2.計(jì)算曲線積分

其中為螺旋的一段弧.解:

線第10頁/共27頁例3.

計(jì)算其中為球面被平面所截的圓周.解:由對(duì)稱性可知第11頁/共27頁思考:例5中改為計(jì)算解:

令,則圓的形心在原點(diǎn),故,如何利用形心公式第12頁/共27頁例4.計(jì)算其中為球面解:化為參數(shù)方程則第13頁/共27頁內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l

曲線弧

的長(zhǎng)度)第14頁/共27頁3.計(jì)算?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧?對(duì)光滑曲線弧第15頁/共27頁練習(xí)題1.

設(shè)

C

是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求2.

已知橢圓周長(zhǎng)為a,求第16頁/共27頁練習(xí)題1.

設(shè)

C

是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示:

分段積分第17頁/共27頁2.

已知橢圓周長(zhǎng)為a,求提示:原式=利用對(duì)稱性分析:第18頁/共27頁第二節(jié)一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算法三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系對(duì)坐標(biāo)的曲線積分

第十一章第19頁/共27頁一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.

引例:

變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)受如下變力作用在xOy

平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L

移動(dòng)到點(diǎn)B,求移“大化小”“常代變”“近似和”“取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動(dòng)過程中變力所作的功W.第20頁/共27頁1)“大化小”.2)“常代變”把L分成n個(gè)小弧段,有向小弧段近似代替,則有所做的功為F

沿則用有向線段上任取一點(diǎn)在第21頁/共27頁3)“近似和”4)“取極限”(其中為n

個(gè)小弧段的最大長(zhǎng)度)第22頁/共27頁2.定義.設(shè)

L

為xOy

平面內(nèi)從A到B的一條有向光滑弧,若對(duì)L的任意分割和在局部弧段上任意取點(diǎn),都存在,在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,則稱此極限為函數(shù)或第二類曲線積分.其中,L

稱為積分弧段或積分曲線.稱為被積函數(shù),在L上定義了一個(gè)向量函數(shù)極限記作第23頁/共27頁若為空間曲線弧,記稱為對(duì)x的曲線積分;稱為對(duì)y的曲線積分.若記,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分也可寫作類似地,第24頁/共27頁3.性質(zhì)(1)若L

可分成k條有向光滑曲線弧(2)用L－

表示L的反向弧,則則

定積分是