D王任意項(xiàng)級(jí)數(shù)

會(huì)計(jì)學(xué)1D王任意項(xiàng)級(jí)數(shù)21.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義:2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法(2)比較審斂法(不等式形式)復(fù)習(xí)(3)比較審斂法（極限形式）(4)比值審斂法(達(dá)朗貝爾判別法)(5)根值審斂法(柯西判別法)大的收斂，小的也收斂；小的發(fā)散，大的也發(fā)散.第1頁(yè)/共42頁(yè)3

幾何級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散級(jí)數(shù).P-級(jí)數(shù)3.重要級(jí)數(shù)：第2頁(yè)/共42頁(yè)44.判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法與步驟：發(fā)散比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不確定比較審斂法用其它法判別性質(zhì)法定義法或不易求第3頁(yè)/共42頁(yè)5一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法二、絕對(duì)收斂與條件收斂

第三節(jié)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)

第九章第4頁(yè)/共42頁(yè)6一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法1.定義:

正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).或例為交錯(cuò)級(jí)數(shù)不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)不全大于0不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)兩級(jí)數(shù)斂散性相同嗎？第5頁(yè)/共42頁(yè)7一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法2.交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法(萊布尼茨定理)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：定理7(i)(ii)則原級(jí)數(shù)收斂，且其和其余項(xiàng)滿足可以嗎？(i)可以為注：第6頁(yè)/共42頁(yè)8證明：滿足收斂的兩個(gè)條件,定理證畢.數(shù)列是單調(diào)增加的，又?jǐn)?shù)列是有界的，所以級(jí)數(shù)收斂于和s，且余項(xiàng)定理7(i)(ii)其余項(xiàng)滿足第7頁(yè)/共42頁(yè)9解:(1)且滿足由萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù)收斂.例1.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性.第8頁(yè)/共42頁(yè)10例1.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性.解:(2)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿足由萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù)收斂.第9頁(yè)/共42頁(yè)11收斂收斂都收斂發(fā)散第10頁(yè)/共42頁(yè)12解:(3)且滿足由萊布尼茲判別法知級(jí)數(shù)收斂.設(shè)例1.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性.第11頁(yè)/共42頁(yè)13例2.解:不存在該級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，第12頁(yè)/共42頁(yè)14例3.解:該級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，第13頁(yè)/共42頁(yè)15注意：(1)萊布尼茨審斂法只適用于交錯(cuò)級(jí)數(shù).如：正項(xiàng)級(jí)數(shù)雖滿足萊布尼茨審斂法的條件，但不收斂.(2)萊布尼茨審斂法只能判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂，而不能判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的發(fā)散.(3)滿足萊布尼茨審斂法的條件的級(jí)數(shù)，叫萊布尼茨型級(jí)數(shù).第14頁(yè)/共42頁(yè)16(4)驗(yàn)證交錯(cuò)級(jí)數(shù)的條件的方法利用單調(diào)性:利用的單調(diào)性(5)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)各項(xiàng)加絕對(duì)值后的級(jí)數(shù)是否收斂？加絕對(duì)值后的級(jí)數(shù)是：有的仍收斂，有的是發(fā)散的.第15頁(yè)/共42頁(yè)17二、絕對(duì)收斂與條件收斂稱為的絕對(duì)值級(jí)數(shù)2.定義:的各項(xiàng)取絕對(duì)值后構(gòu)成的級(jí)數(shù)1.定義:級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)的級(jí)數(shù).正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法可判定絕對(duì)值級(jí)數(shù)的斂散性任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性和它的絕對(duì)值級(jí)數(shù)斂散性之間有什么關(guān)系？稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).第16頁(yè)/共42頁(yè)183.級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系定理8

若收斂收斂.證明:由比較判別法知：令顯然且收斂，由知：又所以收斂.第17頁(yè)/共42頁(yè)19定義:若收斂,則稱為絕對(duì)收斂;若發(fā)散,而收斂,則稱為條件收斂.收斂.為絕對(duì)收斂.發(fā)散收斂而絕對(duì)值級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂收斂第18頁(yè)/共42頁(yè)20正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂發(fā)散任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂發(fā)散收斂發(fā)散,收斂第19頁(yè)/共42頁(yè)212.反之不成立.1.該定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)說(shuō)明：3.逆否命題成立.發(fā)散發(fā)散逆命題一般不成立.第20頁(yè)/共42頁(yè)22發(fā)散收斂而如：第21頁(yè)/共42頁(yè)23定理該定理的證明省略對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，收斂)發(fā)散)(由得故發(fā)散)可能收斂，當(dāng)時(shí)，也可能發(fā)散.當(dāng))時(shí)，(或第22頁(yè)/共42頁(yè)24例4.證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.證:(1)而收斂,收斂因此原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.因此收斂,絕對(duì)收斂.證:(2)第23頁(yè)/共42頁(yè)25例5.判別下列級(jí)數(shù)的斂散性,是絕對(duì)收斂還是條件收斂？解(1)所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.解(2)1）先考察的斂散性第24頁(yè)/共42頁(yè)26又由于原級(jí)數(shù)收斂，是條件收斂.第25頁(yè)/共42頁(yè)27例6解第26頁(yè)/共42頁(yè)28第27頁(yè)/共42頁(yè)29第28頁(yè)/共42頁(yè)30本節(jié)小結(jié)一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法1.定義:

正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).2.交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法(萊布尼茨定理)1.

若收斂收斂（即為絕對(duì)收斂）2.發(fā)散（比值法或根值法）發(fā)散(i)(ii)原級(jí)數(shù)收斂.二、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及絕對(duì)收斂與條件收斂的判定其他判別法沒(méi)有此結(jié)論第29頁(yè)/共42頁(yè)31作業(yè)：P381,1,2，4,5P381,3解：設(shè)收斂，討論的斂散性課本題錯(cuò)都收斂收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂不絕對(duì)收斂第30頁(yè)/共42頁(yè)32常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)小結(jié)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念；2.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念；3.正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念；4.絕對(duì)收斂與條件收斂的概念；二、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)（4個(gè)）三、收斂級(jí)數(shù)的必要條件若級(jí)數(shù)收斂注：不能用判斷級(jí)數(shù)收斂.第31頁(yè)/共42頁(yè)33四、應(yīng)熟記的幾個(gè)重要級(jí)數(shù)：

幾何級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散級(jí)數(shù).P-級(jí)數(shù)第32頁(yè)/共42頁(yè)34五、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法：1.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法(3)性質(zhì)法.(4)利用重要級(jí)數(shù).(2)發(fā)散.(1)定義法：(5)(6)發(fā)散（比值法或根值法）發(fā)散第33頁(yè)/共42頁(yè)352.正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法（2）比值法（1）比較法（3）根值法設(shè)和均為正項(xiàng)級(jí)數(shù).(常數(shù)k>0)；大的收斂，小的也收斂；小的發(fā)散，大的也發(fā)散.1)當(dāng)2)當(dāng)時(shí),收斂;或時(shí),發(fā)散.3.交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法(萊布尼茨審斂法)(i)(ii)第34頁(yè)/共42頁(yè)361.[03數(shù)三，4分]設(shè)則下列命題正確的是條件收斂，則與絕對(duì)收斂，則條件收斂，則斂散性都不定.絕對(duì)收斂，則(A)若(B)若(C)若(D)若都收斂.與都收斂.與斂散性都不定.與幾個(gè)考研真題：P402,2(1)第35頁(yè)/共42頁(yè)37(A)(1)(2).(B)(2)(3).(C)(3)(4).(D)(1)(4).2.[04數(shù)三、4分]

設(shè)有下列命題：收斂，則收斂. 收斂，則(2)若，則發(fā)散. 收斂，則(3)若(4)若都收斂.(1)若收斂. 則以上命題中正確的是(B)[本院考題]是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，證明也收斂.第36頁(yè)/共42頁(yè)383.[06數(shù)一,數(shù)三,4分]

若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂.

收斂.收斂.

收斂.(A)（B）(C)(D)[Ｄ]4.若