“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質

會計學1“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質一般地，對于nN*有二項定理:新課引入二項展開式中的二項式系數(shù)指的是那些？共有多少個？

下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性質？我們先通過觀察n為特殊值時，二項式系數(shù)有什么特點？第1頁/共33頁計算(a+b)n展開式的二項式系數(shù)并填入下表n(a+b)n展開式的二項式系數(shù)12345616152015611510105114641133112111第2頁/共33頁(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6議一議1）請看系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律？2）上下兩行有什么關系嗎？

3）根據(jù)這兩條規(guī)律，大家能寫出下面的系數(shù)嗎?對稱性第3頁/共33頁①每行兩端都是1Cn0=Cnn=1②從第二行起，每行除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和Cn+1m=Cnm+Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++第4頁/共33頁《詳解九章算法》中記載的表楊輝楊輝三角第5頁/共33頁二項式系數(shù)的性質

展開式的二項式系數(shù)依次是：

從函數(shù)角度看，可看成是以r為自變量的函數(shù),其定義域是：

當時，其圖象是右圖中的7個孤立點．第6頁/共33頁①對稱性

與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等．

這一性質可直接由公式得到．圖象的對稱軸：二項式系數(shù)的性質第7頁/共33頁2、若（a+b）n的展開式中，第三項的二項式系數(shù)與第七項的二項式系數(shù)相等，練習：1、在(a＋b)６展開式中，與倒數(shù)第三項二項式系數(shù)相等是()A第２項B第３項C第４項D第５項則n=__________B8第8頁/共33頁②增減性與最大值

由于：所以相對于的增減情況由決定二項式系數(shù)的性質由：

即二項式系數(shù)前半部分是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。

可知，當時，第9頁/共33頁

因此,當n為偶數(shù)時,中間一項的二項式系數(shù)

取得最大值；

當n為奇數(shù)時,中間兩項的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值。②增減性與最大值

二項式系數(shù)的性質第10頁/共33頁1.在(1+x)10的展開式中，二項式系數(shù)最大為

；在(1-x)11的展開式中，二項式系數(shù)最大為

.3.在二項式(x-1)11的展開式中,求系數(shù)最小的項的系數(shù)。最大的系數(shù)呢？練習2.指出（a+2b）15的展開式中哪些項的二項式系數(shù)最大，并求出其最大的二項式系數(shù)最大。解:第8、9項的二項式系數(shù)即6435最大。第11頁/共33頁變式:若將“只有第10項”改為“第10項”呢？解第12頁/共33頁③各二項式系數(shù)的和

在二項式定理中，令，則：

這就是說，的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：同時由于，上式還可以寫成：這是組合總數(shù)公式．

二項式系數(shù)的性質第13頁/共33頁例證明在(a+b)n展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和。在二項式定理中，令，則：

賦值法證明：第14頁/共33頁例題2.求證：證明：∵倒序相加法第15頁/共33頁(1)二項式系數(shù)的三個性質(2)數(shù)學思想：函數(shù)思想

a

單調性；b

圖象；c

最值。小結第16頁/共33頁求奇數(shù)(次)項偶數(shù)(次)項系數(shù)的和(1)(2)第17頁/共33頁求奇數(shù)(次)項偶數(shù)(次)項系數(shù)的和所以（3）第18頁/共33頁例題點評求二項展開式系數(shù)和，常常得用賦值法，設二項式中的字母為1或-1，得到一個或幾個等式，再根據(jù)結果求值第19頁/共33頁求多項式的展開式中特定的項(系數(shù))例2.的展開式中,的系數(shù)等于___________解:仔細觀察所給已知條件可直接求得的系數(shù)是第20頁/共33頁

例3:求

的展開式中項的系數(shù).解的通項是的通項是的通項是第21頁/共33頁由題意知解得所以的系數(shù)為:

例題點評對于較為復雜的二項式與二項式乘積利用兩個通項之積比較方便運算第22頁/共33頁求展開式中系數(shù)最大(小)的項解:設項是系數(shù)最大的項,則二項式系數(shù)最大的項為第11項,即所以它們的比是第23頁/共33頁例5在的展開式中，系數(shù)絕對值最大的項解：設系數(shù)絕對值最大的項是第r+1項，則所以當時，系數(shù)絕對值最大的項為第24頁/共33頁解決系數(shù)最大問題，通常設第項是系數(shù)最大的項，則有由此確定r的取值例題點評第25頁/共33頁三項式轉化為二項式解：三項式不能用二項式定理,必須轉化為二項式再利用二項式定理逐項分析常數(shù)項得=1107第26頁/共33頁______________解：原式化為其通項公式為240例題點評括號里含有三項的情況可以把某兩項合并為一項,合并時要注意選擇的科學性.也可因式分解化為乘積二項式.第27頁/共33頁問題探究:(1)今天是星期五，那么7天后的這一天是星期幾呢?（星期五）(2)如果是15天后的這一天呢？（星期六）(3)如果是24天后的這一天呢？（星期一）(4)如果是

天后的這一天呢？

第28頁/共33頁

余數(shù)是1，所以是星期六(4)今天是星期五，那么天后的這一天是星期幾？變式:若將除以9，則得到的余數(shù)是多少？第29頁/共33頁變式:若將除以9，則得到的余數(shù)是多少？

所以余數(shù)是1，思考：若將除以9，則得到的余數(shù)還是1嗎？8第30頁/共33頁2.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開式中x3的系數(shù)3.9192除以100的余數(shù)是＿＿＿＿.由此可見，除后兩項外均能被100整除所以9192除以100的余數(shù)是81第31頁/共33頁4、已知a,b∈N，m,n∈Z

，且2m+n=0，如果二項式(axm