線性代數(shù)3學(xué)分

§5向量空

1 定義設(shè)集合VVRn,若V對加法和數(shù)乘封閉(2)對kR,V有kV

例

Vx2x ,xRnR : :則稱V為向量空間(或稱為線性空間

11

所以V對加法不封定義:設(shè)V為向量空間,若 ,是V的最大無關(guān)組,則稱

xy

xy

因為

2

2

2

所以V不是向量空 ,為V的基,r稱為V的維數(shù).記之為dim(V),并稱V為r維向量空間.若V0},則規(guī)定dim(V)0.例1.Rn是向量空間.dim(RnnRn的任何nRn的基

x xnn n例4齊次線性方程組AmnX

,,0 x

0

S為AX0的解空間.dimSnR例5.非齊次線性方程組AmnX的解集S不是向量空間.,例.,

V2x ,ne是V的基: :

0

11

證因為若S,則A,但是A(22所以dim(V)n

所以S對數(shù)量乘法不封閉所以S不是向量空 1 m 例6.設(shè) , | , 例8.設(shè)向量 1 m 1 一個向量空間.稱之為 ,1

mm|1 ,m

1

例

設(shè)V0

1

,

ll|1 ,l1

2 0

設(shè)L,則可由 ,線性 m m

1

1 ,與1 ,l等價1 ,m可由1 ,l 則0,1是V的一組基,所以dimV

表示所以L.所以LL.同理LL可由所以L.所以LL.同理LL .所以L1.性質(zhì) 設(shè)1 ,r是向量空間V的基. krr|k1 ,kr

性質(zhì)2.設(shè)1 ,r是向量組1 ,m的最大無關(guān)組,L是由 1 ,m生成的向量空間.則1 ,r是L的一組基,dim根據(jù)R性質(zhì)我們?nèi)绻懒艘粋€向量空間的一組基那么它的結(jié)構(gòu)也就清楚了,這個向量空間就是這組基生成的向量. krr|k1 ,kr.因為iV,V對加法和數(shù)乘封閉,所以L,,反之對任何 因為1 ,r是V的一個最大無關(guān),,.所以根據(jù)最大無關(guān)組的等價定義知道可由1 ,r線性.

根據(jù)這個性質(zhì),一個向量組的任何一個最大無關(guān)組是它生成的向量空間的一組基,一個向量組的秩是它生成的向量.,1m ,線性.,1m... 所以V 所以V...

為 ,是向量組 ,的最大, 組根據(jù)最大無關(guān)組的等價定義知道1 ,m可由, ...所以根據(jù)線性表示的傳遞性知道可由1 ,r線性表.例

1 2 1 1

1定義.設(shè) ,是V的一組基.V,存在唯一的Rr設(shè)1,2,3,2,2生成的向 1 2 3 4 r 0 1 0 1

空間為V.求向量空間V的維數(shù),并求它的一組基

使 ( ,),稱解 記A(,,,,

1 r

r A變換

B(,,,,

1

向量空間的基的作用相當(dāng)于平面解系幾何里的坐標(biāo)系的作用 則RAR(B3.1,2,4,5是1,2,3,4,5的最大無關(guān)組所以dimVRA4.1,2,4,5是V的一組基

4

4例10.A(,,)

2,B1,2 3

3 2

2

證明,,是R3的一個基并求在 證:要證,,是R3的一個基只要證R(,,

所以R(1,2,3)

且X

1223 要求1,2在1,2,3下的坐標(biāo)只要求解矩陣方程(1,2,3X12

1 41 32

23 2

43 (,,變換最簡形矩陣

1

在,,下的坐標(biāo)是

.2在1,2,3下的坐標(biāo)是1

3

2 2

1 3 3 ,例11.取定R3的一組基,,再取一個新基,

, x1

,, y1

設(shè)

A(1,2,3),B(1,2,

2.,x.,

2y求用1,2,3表示1,2,3的表示式(基變換公式),并

3 3我們在平面解系幾何里面要研究平面上的同一個點在不同坐解 A,B都是可逆矩陣

x1 x1

y1 y1(因為(

,和

這兩個向量組都線性無關(guān)

(,,)

By

則1,2,3)x2Ax2

3

2 2...(,,)BEB(AA1)BA(A1B)(,,)(A...

x x

y y

3 3

3 3..記P 則基變換公式就是(1,2,3)(1,2,3..

x1 y1

y1 x1

x1.x其中矩陣PA1B稱為從舊基到新基的過渡.x

所以AxBy 所以yB1Ax

P1x. 2 2.

2 2

2 .(

3 3

3 3(坐標(biāo)變換公(

.)3.)例12.(3學(xué)分)求向量,使它在下列基下有相同的坐標(biāo)1 0 0 0 2 5 0 1 0 0 1

小結(jié):由向量組生成的向量空間1,2,3,4與1 ,2,3,40 0 1 0 1 1 解:設(shè)=x11x22x33x44x11x22x33x1 x12x x2

向量空間的基和維數(shù)計算由若干個列向量生成的向量空間的基和維數(shù)的問性質(zhì).設(shè)1, ,r是向量組1, (,,,

2(,,,)

記B

4x 4x

,生成的向量空間.則 ,

是L的一組基3 3

x1x(BE)2

x4 x411解得k ,其中k是任何實數(shù)

向量空間基變換公式,坐標(biāo)變換公式x3x x4

1 ,m線性相關(guān),且

0,

例2.(108頁Ex17)設(shè)向量組B:1 ,r能由向量組A (2km),

可由, ,

線性表示為(1 ,r)(1 ,s)K,其中K為srk表示證:因為, ,

線性相關(guān)

k

A組線性無關(guān).證明B組線性無關(guān)的充要條件是R(K B組線性無關(guān)(1 ,r)X0只有零

)KX0只有所以存在一組不全為零的數(shù)1,2 ,m,

因為1 ,s)KX0與KX0 2 m

kmax{i|i

所以

,

則k

k

0且k

R(K)否則k1,110,且10,所以1 kk

因為0,所以1

kk1 23

例4.(Ex19)已知3階矩陣A與3維列向量X滿足A3X3AXA2X 例3.(Ex18)設(shè) n.證明 , 0 11 1

且向量組X,AX,A2X線性無關(guān)記YAX,ZAY,PX,YZ),求3階矩陣B,使AP求|A|證1)APAXAYAZ)AXA2XA3X證:(1 ,n)(1 ,n)K,其中

只要證K可逆

(AX,A2X,3AXA2X 1 0

0

0 n1

n

所以AP(X,AX,A2X)

3.所以B 3cc n

1rr(2i

|K|

1

n1(n 所以|K|0,所以K可逆

因為AP 所以APAPPB=PB,所以|A||B|a1 c1例5.(Ex29)設(shè)a,b,c2 2 2 3