隨機過程-特征函數(shù)和母

特征函數(shù)和母函數(shù)1.4特征函數(shù)和母函數(shù)特征函數(shù)是研究隨機變量分布律的一個重要工具.由于分布律與特征函數(shù)之間存在一一對應(yīng)關(guān)系,因此在得知隨機變量的特征函數(shù)之后,就可以知道它的分布律.用特征函數(shù)求分布律比直接求分布律容易得多,而且特征函數(shù)具有良好的分析性質(zhì).定義1.10

設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x),則稱

g(t)=E(eitX)=,-∞＜x＜+∞

為X的特征函數(shù).特征函數(shù)g(t)是實變量t的復(fù)值函數(shù),由于|eitX|=1,故隨機變量的特征函數(shù)總存在.

當X是離散型隨機變量,分布列pk=P(X=xk),k=1,2,…時,特征函數(shù)g(t)=;

當X是連續(xù)型隨機變量,概率密度為f(x)時,g(t)=.隨機變量的特征函數(shù)具有性質(zhì):

(1)(有界性).

設(shè)g(t)是特征函數(shù),則g(0)=1;|g(t)|≤1;g(-t)=g(t).

(2)(一致連續(xù)性).

特征函數(shù)g(t)在(-∞,+∞)上一致連續(xù).

(3)(非負定性).g(t)是非負定函數(shù).即對任意的正整數(shù)n及任意實數(shù)t1,t2,…,tn和復(fù)數(shù)z1,z2,…,zn有≥0.特征函數(shù)證明:==E=E≥0.(4)

若X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量,則X=X1+X2+

…+Xn的特征函數(shù)g(t)=g1(t)·g2(t)·…·gn(t).其中g(shù)i(t),i=1,2,…,n是隨機變量Xi的特征函數(shù).證明:

因為X1,X2,…,Xn相互獨立,所以也相互獨立.因而

g(t)=EeitX=E=E()特征函數(shù)

=EE…E=g1(t)·g2(t)·…·gn(t).

(5)

若隨機變量X的n階原點矩EXn存在,則X的特征函數(shù)

g(t)的n階導(dǎo)數(shù)存在,且當k≤n時,有g(shù)(k)(0)=ikEXk.

(6)(惟一性).

隨機變量的分布函數(shù)由其特征函數(shù)惟一確定(相互).當X為連續(xù)型隨機變量,且有F’(x)=f(x)及,則

如何求指數(shù)分布的g(t)?設(shè)f(x)=,求g(t).λe-λx,x≥00,x＜0(Laplace變換)特征函數(shù)

因為,g(t)=EeitX=eitxf(x)dx=eitxλe-λxdx=λe-λx(costx+isintx)dx=λe-λxcostxdx+iλe-λxsintxdx=+iλ=(1-)-1.對n維隨機變量也可定義特征函數(shù),且有類似于一維隨機變量的特征函數(shù)的性質(zhì).定義1.11設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)是n維隨機量,t=(t1,t2,…,tn)∈Rn,則稱g(t)=g(t1,t2,…,tn)=E()為n維隨機變量X的特征函數(shù).特征函數(shù)例1.1

設(shè)X服從B(n,p),求X的特征函數(shù)g(t)及EX,EX2和DX.解:X的分布列為:P(X=k)=pkqn-k,q=1-p,k=0,1,2,…,n.g(t)=eitkpkqn-k=(peit)kqn-k=(peit+q)n.

由性質(zhì)(5)知

EX=-ig’(0)=-i(peit+q)n|t=0=np;EX2=(-i)2g’’(0)=(-i)2(peit+q)n|t=0=npq+n2p2.DX=EX2-(EX)2=npq.例1.2

設(shè)X～N(0,1),求X的特征函數(shù)g(t).解:g(t)=.由||=|x|,

＜∞知,對g(t)的表出式可在積分號下求導(dǎo).求導(dǎo)得:特征函數(shù)

g’(t)===--=-t·g(t).

于是得微分方程:g’(t)+t·g(t)=0.

這是一個可分離變量的方程,故有:=-tdt.

兩邊積分得:lng(t)=-t2/2+c,因而通解g(t)=.

由于g(0)=1,所以c=0.于是X的特征函數(shù):g(t)=.例1.3(特征函數(shù)具有線性性)

設(shè)隨機變量X的特征函數(shù)為gX(t),Y=aX+b,其中a、b為任意實數(shù).證明隨機變量Y的特征函數(shù)gY(t)=eitbgX(at).特征函數(shù)證明:gY(t)=E[eit(aX+b)]=E[ei(at)Xeibt]=eibtE[ei(at)X]=eitbgX(at).例1.4

設(shè)隨機變量X～N(a,σ2),求Y=σX+a的特征函數(shù).解:

設(shè)X～N(0,1),則由例1.2知X的特征函數(shù)gX(t)=.

令Y=σX+a,則Y～N(a,σ2).由例1.3知,Y的特征函數(shù)為

gY(t)=eiatgX(σt)=eiat=.例1.5

設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布,求X的特征函數(shù).解:

因為P{X=k}=,k=0,1,2,…,故g(t)=eitk

=e-λ=.特征函數(shù)例1.6

證若隨機變量X的n階原點矩EXn存在,則X的特征函數(shù)g(t)的n階導(dǎo)數(shù)存在,且當k≤n時有g(shù)(k)(0)=ikEXk.(5)證明:

X的n階矩存在,,X的特征函數(shù)

gX(t)=,由于=|x|k,所以有===.

于是得即g(k)(0)=ikEXk.在常見隨機變量分布表右欄中,給出了相應(yīng)的特征函數(shù).例1.7求X2分布的特征函數(shù),數(shù)學(xué)期望和方差.解:首先:設(shè)隨機變量X～N(0,1),求X2的特征函數(shù).由定義特征函數(shù)有:

=====.接著:求X2分布的特征函數(shù),數(shù)學(xué)期望和方差.

設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨立且同服從標準正態(tài)分布N(0,1),

則X2=服從自由度為n的卡方分布.由上證已知的特征函數(shù)為,j=1,2,…,n.X1,X2,…,Xn相互獨立,也相互獨立.由特征函數(shù)性質(zhì)4得X2的特征函數(shù):特征函數(shù)

由的表達式,易知:,;,.再由特征函數(shù)的性質(zhì)5,便得XE(X2)=g’(0)/i=in/i=n;E[(X2)2]=g’’(0)/i2=i2n(n+2)/i2=n(n+2),從而有

D(X2)=E[(X2)2]-[E(X2)]2=n(n+2)-n2=2n..(t)概率母函數(shù)母函數(shù)是研究非負整數(shù)值隨機變量非常方便的工具.定義1.12

設(shè)X是非負整數(shù)值隨機變量,分布列

pk=P(X=k),k=0,1,2,…

當|s|≤1時,

則稱P(s)=E(sX)=pksk為X的概率母函數(shù),簡稱母函數(shù).母函數(shù)具有以下性質(zhì):

(1)非負整數(shù)值隨機變量的分布列由其母函數(shù)唯一確定.

(2)設(shè)P(s)是X的母函數(shù).若EX存在,則EX=P’(1);

若DX存在,則DX=P’’(1)+P’(1)-[P’(1)]2.

(3)獨立隨機變量之和的母函數(shù)等于母函數(shù)之積.

(4)若X1,X2,…是相互獨立且同分布的非負整數(shù)值隨機變量,N是與X1,X2,…獨立的非負整數(shù)值隨機變量,則

Y=Xk的母函數(shù)H(s)=G(P(s)),其中G(s),P(s)分別概率母函數(shù)是N,X1的母函數(shù).證明:

(1)P(s)=pksk=pksk+pksk,n=0,1,….

上式兩邊對s求n階導(dǎo)數(shù),得

P(n)(s)=n!pn+k(k-1)…(k-n+1)pksk-n.

令s=0,則P(n)(0)=n!pn,故pn=P(n)(0)/n!,n=0,1,2,….

(2)由P(s)=pksk知,P’(s)=kpksk-1.

令s↑1,得

EX=kpk=P’(1).

又由P’’(s)=k(k-1)pksk-2=k2pksk-2-kpksk-2知,當s↑1時,P’’(1)=EX2-EX.但

DX=EX2-(EX)2,所以有

DX=P’’(1)+EX-(EX)2=P’’(1)+P’(1)-[P’(1)]2.概率母函數(shù)

(3)設(shè)隨機變量X=X1+X2+…+Xn,且X1,X2,…,Xn相互獨立.因而也相互獨立.由數(shù)學(xué)期望重要性質(zhì)(2)即知

PX(s)=E(sX)=E()=E()=E()·E()·…·E()=(s)(s)…(s).

(4)H(s)=P(Y=k)sk=P(Y=K,{N=t})sk=P(N=t)P(Y=k)sk

=P(N=t)P(Y=k)sk概率母函數(shù)

=P(N=t)P(Xj=k)sk

=P(N=t)[P(s)]t=G[P(s)].

由EX1=P’(1),EY=H’(1),EN=G’(1)及H(s)=G[P(s)]知

H’(s)=G’[P(s)]P’(s)=P’(s)G’[P(s)]

令s↑1,得H’(1)=P’(1)G’[P(1)],但P(1)=E()=E(1)=1,故有EY=EN·EX1(☆).例1.8

設(shè)商店在一天的顧客數(shù)N服從參數(shù)λ=1000人的泊松分布,而每位顧客所花的錢Xi服從N(100,502).求商店的日銷售額Y的平均值.解:

由題設(shè)知EN=1000,EX1=100,再由(☆)式得

EY=EN·EX1=1000·100=100000(元).概率母函數(shù)概率母函數(shù)的例

概率母函數(shù)的概念在19世紀初由拉普拉斯引入,是概率論中第一個被系統(tǒng)應(yīng)用的變換方法.運用于處理整值隨機變量的場合,既簡單也方便.

從pk=1及|s|≤1知,概率母函數(shù)對任何整值隨機變量都存在.二項分布的概率母函數(shù)

P(s)=C(n,k)pkqn-ksk=(q+ps)n.泊松分布的概率母函數(shù)

P(s)==e-λeλs=eλ(s-1).幾何分布的概率母函數(shù)

P(s)=qk-1psk=ps(qs)k-1=ps/(1-qs).概率母函數(shù)對概率母函數(shù)性質(zhì)的簡釋

1.惟一性由概率分布及P(s)=pksk所確定的母函數(shù)顯然是惟一的.反過來,由概率母函數(shù)也能惟一確定隨機變量的概率分布.事實上,如果{pk}與{qk}分別具有概率母函數(shù)G(s),H(s)且若G(s)=H(s),因G(s)和H(s)均為冪級數(shù),在|s|≤1的條件下絕對收斂,故G(s)與H(s)的k次導(dǎo)數(shù)存在,于是有:k!pk=G(k)(0)=H(k)(0)=k!qk所以,對k=0,1,2,…成立pk=qk,即{pk}={qk}.2.概率母函數(shù)與數(shù)字特征間成立

P’(s)|s=1=E(X);P’’(s)|s=1=E(X2)-E(X).由此式及二項分布,泊松分布等的概率母函數(shù)很容易求其期望和方差.概率母函數(shù)3.求取二項分布的概率母函數(shù).

解:設(shè)在貝努利試驗中,A事件出現(xiàn)的概率為p.用Xi=1表示事件A出現(xiàn),Xi=0表示事件A不出現(xiàn),其概率q=1-p.于是得到一相互獨立的隨機序列X1,X2,…,Xn.設(shè)Y=X1+X2+…+Xn,則Y服從二項分布.Xi的概率母函數(shù)P(s)=q+sp,所以Y的母函數(shù)為P(s)=(q+ps)n.從中可以看出,利用概率母函數(shù)解決一些古典概型問題往往是很便捷的.

設(shè)X1,X2,…,Xn是列非負整值隨機變量,P{Xi=k}=fk,

其母函數(shù)F(s)=fksk.又若υ是正整數(shù)的隨機變量,P{υ=n}=gn,其母函數(shù)G(s)=gnsn且υ與X1,X2,…,Xn,

…相互獨立.概率母函數(shù)

定義η=X1+X2+…+Xυ,η是隨機個獨立同分布非負整值隨機變量之和.求η的概率母函數(shù)及其數(shù)字特征.解:記P{η=r}=hr,由條件概率公式及υ與{Xi}相互獨立,

有hr=P{η=r}=P{υ=n}P{η=r|υ=n}=P{υ=n}P{X1+X2+…+Xυ=r|υ=n}=P{υ=n}P{X1+X2+…+Xn=r}

由于X1+X2+…+Xn是n個相互獨立同分布非負整值隨機變量之和,故其母函數(shù)為P{X1+X2+…+Xn=r}sr=[F(s)]n.記η的母函數(shù)為H(s)=hrsr,則概率母函數(shù)H(s)=[P{υ=n}P{X1+X2+…+Xn=r}]sr=P{υ=n}[P{X1+X2+…+Xn=r}sr]=P{υ=n}[F(s)]n=G[F(s)].可見,隨機個相互獨立同分布非負整值隨機變量之和的概率母函數(shù)是原來兩個母函數(shù)的復(fù)合.

于是從H’(s)=G’[F(s)]F’(s)知:當EXi和Eυ存在時,在上式中令s↑1,即有Eη=EυEXi.而從H’’(s)=G’’[F(s)][F’(s)]2+G’[F(s)]F’’(s)及令s=1,得

Dη=Eη2-(Eη)2=H’’(1)+H’(1)-[H’(1)]2=(EXi)2(Dυ)+(Eυ)(DXi).概率母函數(shù)其具體的