光纖光學的基本方程

光纖光學的基本方程第一頁，共四十八頁，2022年，8月28日波動光學理論用幾何光學方法雖然可簡單直觀地得到光線在光纖中傳輸?shù)奈锢韴D象，但由于忽略了光的波動性質(zhì)，不能了解光場在纖芯、包層中的結構分布及其它許多特性。采用波動光學的方法，把光作為電磁波來處理，研究電磁波在光纖中的傳輸規(guī)律，可得到光纖中的傳播模式、場結構、傳輸常數(shù)及截止條件。第二頁，共四十八頁，2022年，8月28日2.1麥克斯韋方程與亥姆霍茲方程1．電磁場的基本方程式2．電磁波的波動現(xiàn)象3．簡諧時變場的波動方程——亥姆霍茲方程第三頁，共四十八頁，2022年，8月28日1．電磁場的基本方程式麥克斯韋方程式的微分形式光纖中不存在電流和自由電荷，則有：時變磁場可以產(chǎn)生時變電場時變電場可以產(chǎn)生時變磁場磁場是無源的電場是有源的第四頁，共四十八頁，2022年，8月28日2．電磁波的波動現(xiàn)象電場和磁場之間就這樣互相激發(fā)，互相支持。光在光導纖維中的傳播，正是電磁波的一種傳播現(xiàn)象。在光纖中傳播的電磁場滿足邊界條件：磁場與電場的切向和法向分量均連續(xù)，即：第五頁，共四十八頁，2022年，8月28日3．簡諧時變場的波動方程——亥姆霍茲方程分離電磁矢量得到只與E或H有關的矢量波動方程利用光纖介電常數(shù)變化極為緩慢的條件簡化方程為標量波動方程設光纖中傳播的電磁場隨時間作簡諧變化，分離時空坐標，得到的波動方程就稱為亥姆霍茲（Helmholtz）方程。推導這個方程的條件是：無源空間，介質(zhì)是理想、均勻、各向同性而且電磁場是簡諧的。第六頁，共四十八頁，2022年，8月28日3．簡諧時變場的波動方程——亥姆霍茲方程光在光波導中傳播應滿足的亥姆霍茲方程式：其中k＝k0n為折射率為n的介質(zhì)中的傳播常數(shù)（也叫波數(shù)）。k0為真空中的波數(shù)。亥姆霍茲方程+邊界條件可求出波導中光波場的場分布。書P3（1.2-8）式第七頁，共四十八頁，2022年，8月28日用波動理論研究光纖中的電磁波行為，通常有兩種解法：矢量解法標量解法。矢量解法是一種嚴格的傳統(tǒng)解法，求滿足邊界條件的波動方程的解。標量解法是將光纖中傳輸?shù)碾姶挪ń瓶闯墒桥c光纖軸線平行的，在此基礎上推導出光纖中的場方程、特征方程并在此基礎上分析標量模的特性。第八頁，共四十八頁，2022年，8月28日2.2程函方程與射線方程光線理論：當光線在傳播過程中可以不考慮波長的有限大?。囱苌洮F(xiàn)象），則能量可以看作沿一定曲線傳播，電磁波的傳播可以近似為平面波。方法：確定光線路徑，計算相關聯(lián)的強度和偏振：程函方程射線方程目的：得到任意光波導中的光線軌跡第九頁，共四十八頁，2022年，8月28日1、程函方程光程：波面走過的幾何路徑與折射率的乘積。平面波在任意方向傳輸?shù)牟ê瘮?shù)：相位因子波函數(shù)略去時間因子同理：第十頁，共四十八頁，2022年，8月28日由：等式左邊：由麥克斯韋方程推導程函方程:第十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日由麥克斯韋方程其他三個方程同樣處理，得到：三個矢量正交，相位梯度與波面法線方向一致。（2.2a）（2.2b）（2.2c）（2.2d）EH相位梯度第十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日利用光線理論的幾何光學近似條件：將（2.2a）代入（2.2b）得到利用矢量恒等式得到第十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日即或或相位梯度方向與光波傳播方向一致，其模等于介質(zhì)折射率；程函方程給出波面變化規(guī)律：在均勻介質(zhì)中，光波傳輸方向不變；在非均勻介質(zhì)中，光波傳輸方向隨折射率變；若已知折射率分布，則可求出程函方程，從而根據(jù)等相面確定光線軌跡。程函方程第十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日2、射線方程r

：光線傳播路徑S上某點的矢徑dr/ds:傳播路徑切線方向上單位矢量,根據(jù)相位梯度的定義，矢量dr/ds方向與相位梯度方向一致，大小等于：由程函方程（2.3)因此相位梯度等于路徑切線方向上的單位光程第十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日上式對路徑

S

求導射線方程是矢量方程，表示光線向折射率大的方向彎曲。一旦給出折射率分布n(r)，就可求出光線軌跡r的表達式。等式右邊：（2.4)故對

S

求導式為：切線方向上的單位光程沿路徑變化率折射率梯度射線方程第十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日例1：光線在均勻媒質(zhì)中的傳播（如階躍型光纖的纖心中）射線方程：因n=常數(shù)改寫成：其解為矢量直線方程：

a和b是常矢量，在均勻介質(zhì)中光線路經(jīng)沿矢量a前進，并通過r=b點。物理意義：表示光線路徑的曲率變化量。

表示光線路徑為直線。abrs第十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日例2：光線在折射率具有球?qū)ΨQ分布媒質(zhì)中的傳播球?qū)ΨQ：折射率僅僅是半徑r的函數(shù)射線方程：推導光線走向的表達式如下：展開射線方程：rd第十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日據(jù)微分幾何，等式左側是光線路徑的曲率矢量，其大小就是路徑曲線的曲率。令曲率矢量為：代入光線方程展開式：用n乘K有:上式表明折射率梯度矢量位于光線的切面內(nèi)dr/dseRn’nn’>n第十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日重寫曲率矢量和光線方程展開式：上兩矢量式點乘，第二項因兩矢量正交為零，故有因曲率半徑總是正的，所以等式右邊必須為正：即光線前進時，向折射率高的一側彎曲。dr/dseRn’nn’>n第二十頁，共四十八頁，2022年，8月28日r分量

分量Z分量（2.5a）（2.5b）（2.5c）光線方程在圓柱坐標中可分解成三個標量方程：r光線方程：設折射率分布橫截面為中心對稱分布，縱向不變，則：dn/d=0,dn/dz=0例3：光線在圓柱體中的傳播第二十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日由上三式得光線軌跡（路徑與z的關系）：只要光纖折射率分布和入射點確定，就可計算光線軌跡。為入射點，為入射點方向余弦，n0

為入射點折射率。設（2.6）xyz第二十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日小結程函方程：表示光波相位變化與介質(zhì)折射率分布的關系光線在均勻介質(zhì)傳播路徑上無方向變化；在非均勻介質(zhì)傳播路徑上有方向變化。相位梯度方向與波矢量k方向一致，其模等于該點附近介質(zhì)折射率。光線方程：光線向折射率大的方向彎曲。第二十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日標量解法矢量解法2.3波導場方程第二十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日1．標量近似在弱導波光纖中，光線幾乎與光纖軸平行。因此其中的E和H幾乎與光纖軸線垂直。橫電磁波（TEM波）：把E和H處在與傳播方向垂直的橫截面上的這種場分布稱為是橫電磁波，即TEM波。因此可把一個大小和方向都沿傳輸方向變化的空間矢量E變?yōu)檠貍鬏敺较蚱浞较虿蛔儯▋H大小變化）的標量E。一、標量解法第二十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日2、分離變量令代入亥姆赫茲方程得到

————即光纖中的波導場方程其中：橫向拉普拉斯算符橫向傳播常數(shù)縱向傳播常數(shù)波矢與z軸的夾角第二十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日3．標量波導場方程解的推導思路（1）首先求出橫向場Ey的亥姆霍茲方程（2）將其在圓柱坐標系中展開（3）用分離變量法求解橫向場Ey（4）根據(jù)麥氏方程中E和H的關系可得出橫向磁場Hx的解答式（5）根據(jù)電場和磁場的橫向分量可用麥氏方程求出軸向場分量EZ、HZ的解答式第二十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、矢量解法1、理論計算的三大步驟：①、利用圓柱坐標系（r,φ,z）中的亥姆霍茲方程求出Ez、Hz②、由Ez和Hz利用麥克斯韋方程組求出Er、Eφ、Hr、Hφ③、利用Eφ、Hφ在纖芯和包層交界處連續(xù)的特點，即在r=a處Eφ1＝Eφ2、Hφ1＝

Hφ2求出導波特征方程。第二十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日2、矢量解法的結果其中，定義了

Jm(Ur)是m階第一類標準貝塞爾函數(shù)，Km(Wr)是m階第二類修正貝塞爾函數(shù)。常數(shù)A、B、C、D由邊界連續(xù)條件確定。第二十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日2.4模式及其基本性質(zhì)導波?？v向傳播常數(shù)模式分布橫向傳播常數(shù)相速度與群速度第三十頁，共四十八頁，2022年，8月28日一、導波模導波光是一種特定的電磁場分布，其傳輸必須滿足一定條件，稱這種特定的電磁場分布為“模”。導波模式分類：

TE橫電模TM橫磁模

EZ=0HZ=0xEEEEHHHH芯層芯層包層包層zy第三十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日導波模式分類：混合模：EHHEEz>HzHz>Ez

EB光線第三十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日二、縱向傳播常數(shù)對應于每一階貝塞爾函數(shù)（m取某一確定整數(shù)），都存在多個解（以n＝1，2，…表示）,記為βmn。每一個βmn值對應于一個能在光纖中傳輸?shù)墓鈭龅哪Ｊ?。根?jù)不同的m與n的組合，光纖中將存在許多模式,記為HEmn或EHmn。m表示導波模式的場分量沿纖芯沿圓周方向出現(xiàn)最大值的個數(shù)，n表示沿徑向出現(xiàn)最大值的個數(shù)。第三十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日光線的傳播角從零到臨界角，傳播角越小模式級別越低，沿中心軸傳播的模式為零級，臨界傳播角模式級別最高；第三十四頁，共四十八頁，2022年，8月28日橫模－橫向場分布（表現(xiàn)為不同光斑花樣）（2）旋轉對稱TEMmnm－暗直徑數(shù)；n－暗環(huán)數(shù)(半徑方向)TEM00TEM01TEM02TEM10TEM20TEM30（1）x,y

軸對稱TEMmnm－X向暗區(qū)數(shù)n－Y向暗區(qū)數(shù)TEM00TEM10TEM20TEM03TEM11TEM31(3)簡并模TEM10TEM01由上圖可看出，橫模階數(shù)越高，光強分布圖案越復雜。相反，階數(shù)最低的基模，其光強分布圖案最簡單。LP11第三十五頁，共四十八頁，2022年，8月28日簡并?！獦肆磕！▽龇匠痰臉肆拷釲P模（LinearlyPolarizedmode），即線性偏振模的意思。一般人們把電場的空間方位作為波的極化方向。如果波的電場矢量空間取向不變，即其端點的軌跡為一直線時，就把這種極化稱為直線極化，簡稱為線極化。弱導波光纖可認為它的橫向場是線極化波，以LP表示。在這種特定條件下傳播的模式，稱為標量模，表示為LPmn模。第三十六頁，共四十八頁，2022年，8月28日LP模矢量模LP01HE11LP11HE21,TE01,TM01LP21HE31,EH11LP0nHE1nLP1nTE0n,TM0n,HE2nLPmn(m≥2)EHm-1,n;HEm+1,n標量模與矢量模的對應關系如右表。標量?？烧J為是矢量模的線性疊加，所以標量模是簡并模。下標m、n分別表示相應模式在光纖截面上圓周和半徑方向光場出現(xiàn)最大值的個數(shù)。標量模與矢量模的對應關系第三十七頁，共四十八頁，2022年，8月28日三、模式分布1、模式數(shù)量：光纖的結構參數(shù)決定了光纖中允許存在的導模數(shù)量。其中g為折射率分布參數(shù)光纖的結構參數(shù)由歸一化頻率V表征：V越大，允許存在的導模數(shù)就越多。模式數(shù)量與光纖直徑和數(shù)值孔徑成正比，和波長成反比。第三十八頁，共四十八頁，2022年，8月28日第三十九頁，共四十八頁，2022年，8月28日2、導模截止條件導波模式（矢量模）VcHE110TE01、TM01、HE212.4048EH11、HE12、HE313.8317EH21、HE415.1356TE02、TM02、HE225.5201┋┋允許存在的導波模式與歸一化截止頻率Vc的對應關系導波截止的臨界條件為：V=Vc第四十頁，共四十八頁，2022年，8月28日3、?？蓪l件當光纖參數(shù)和工作波長確定了，V也就確定了。能在光纖中傳播的模式必須滿足上式。HE11模在任何光纖中都能傳輸，因為歸一化頻率是大于0的常數(shù)。第四十一頁，共四十八頁，2022年，8月28日從幾何光學的角度看可導與截止由全反射條件知：900>θ1>θc

各項取正弦得：sin900>sinθ1>sinθc

即1>sinθ1>n2/n1

各項乘以k0n1,得：k0n1>k0n1sinθ1>k0n2

其中，k0n1sinθ1＝k1sinθ1＝k1z＝β因此，導波傳播常數(shù)的變化范圍為：

k0n1>β>k0n2當β＝k0n2時，對應于θ1＝θc，稱為導波截止的臨界狀態(tài)。當β→k0n1時，導模場緊緊束縛于纖芯中傳輸，稱之為導模的遠離截止第四十二頁，共四十八頁，2022年，8月28日結論①HE11模式在任何光纖中都存在（因為任何光纖都有V>0），HE11模稱為基模。②滿足條件的光纖，僅含基模，稱為單模光纖，此條件稱為單模工作條件。反之，V>2.4048條件的光纖，稱為多模光纖，此條件稱為多模條件。③纖芯越細，高階模數(shù)量越少，反之，高階模數(shù)量越多。④工作波長越長，高階模數(shù)量越少，反之，高階模數(shù)量越多。⑤光纖端面臨界入射角φ0越小，高階模數(shù)量越少，反之，高階模數(shù)量越多。第四十三頁，共四十八頁，2022年，8月28日

根據(jù)矢量解法結果其中，定義了

Jm(Ur)是m階第一類標準貝塞爾函數(shù)，Km(Wr)是m階第二類修正貝塞爾函數(shù)。四、橫向傳播常數(shù)k