偏微分方程課件

偏微分方程課件第一頁，共五十一頁，2022年，8月28日

數(shù)學(xué)物理方程指從物理學(xué)或其他各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中的某些物理問題導(dǎo)出的偏微分方程(有時也包括積分方程、微分積分方程等)。它們反映了有關(guān)的未知變量關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)和與空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等方面的基本方程都屬于數(shù)學(xué)物理方程的范圍。

教學(xué)目的通過本課程的教學(xué)使學(xué)生獲得有關(guān)偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三類典型方程定解問題的解法，進(jìn)一步擴(kuò)大學(xué)生的數(shù)學(xué)知識面，為后繼課程提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。2第二頁，共五十一頁，2022年，8月28日參考書目《數(shù)學(xué)物理方程》,王明新,清華大學(xué)出版社。《數(shù)學(xué)物理方程》，姜禮尚，高教出版社。《工程技術(shù)中的偏微分方程》，潘祖梁，浙江大學(xué)出版社。3第三頁，共五十一頁，2022年，8月28日一.偏微分方程（partialdifferentialequation)（PDE）的基本概念自變量未知函數(shù)偏微分方程的一般形式4第四頁，共五十一頁，2022年，8月28日PDE的階：PDE的解

古典解廣義解概念是指這樣一個函數(shù)，它滿足方程，并且在所考慮的區(qū)域內(nèi)有m階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。線性PDE非線性PDE半線性PDE擬線性PDE完全非線性PDE自由項在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項稱為自由項．5第五頁，共五十一頁，2022年，8月28日線性PDE：PDE中對所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的全體都是線性的。例如：常系數(shù)線性PDE:不然稱為變系數(shù)的．齊次線性PDE:不然稱為非齊次的．線性PDE的主部:具有最高階數(shù)偏導(dǎo)數(shù)組成的部分．主部6第六頁，共五十一頁，2022年，8月28日PDE中對最高階導(dǎo)數(shù)是線性的。例如：半線性PDE：完全非線性PDE：PDE中對最高階導(dǎo)數(shù)不是線性的。擬線性PDE：擬線性PDE中，最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)僅為自變量的函數(shù)。例如：非線性PDE7第七頁，共五十一頁，2022年，8月28日舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）1.2.變換解為：解為：8第八頁，共五十一頁，2022年，8月28日舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）4.3.解為：變換解為：9第九頁，共五十一頁，2022年，8月28日5.不易找出其通解，但還是可以找出一些特解任意解析函數(shù)的實部和虛部均滿足方程。也是解6.特解都不易找到KDV方程舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）`10第十頁，共五十一頁，2022年，8月28日7.擬線性PDE8.擬線性PDE9.半線性PDE10.半線性PDE11.完全非線性PDE11第十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日舉例(多元函數(shù))拉普拉斯(Laplace)方程熱傳導(dǎo)方程波動方程12第十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日二.定解問題的適定性定解問題PDE定解條件初值條件initialcondition邊值條件boundarycondition初、邊值條件初值問題、邊值問題、混合問題13第十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日經(jīng)典的定解問題舉例1+1維波動方程(弦振動方程)的初值問題14第十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日經(jīng)典的定解問題舉例熱傳導(dǎo)方程的初值問題15第十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日經(jīng)典的定解問題舉例二維調(diào)和方程的邊值問題第一邊值問題（Dirichlet）第二邊值問題（Neumann）第三邊值問題（Robin）16第十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日經(jīng)典的定解問題舉例熱傳導(dǎo)方程的初、邊值問題17第十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日何為適定性？存在性唯一性連續(xù)依賴性（穩(wěn)定性）適定性若PDE在附加條件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函數(shù)類中存在、唯一而且關(guān)于附加條件為穩(wěn)定的，就稱定解問題在相應(yīng)的函數(shù)類中為適定的。穩(wěn)定性：只要定解條件的偏差足夠小，相應(yīng)的定解問題解的偏差也將非常?。?8第十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日三.物理模型與定解問題的導(dǎo)出弦振動方程的導(dǎo)出19第十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日弦振動方程與定解問題

一長為L的柔軟均勻細(xì)弦，拉緊后，當(dāng)它受到與平衡位置垂直的外力作用時，開始作微小橫振動。假設(shè)這運動發(fā)生在同一平面內(nèi)，求弦上各點位移隨時間變化規(guī)律。弦上各點作往返運動的主要原因在于弦的張力作用，弦在運動過程中各點的位移、加速度和張力都在不斷變化，但它們遵循物理的運動規(guī)律。由此可以建立弦上各點的位移函數(shù)所滿足的微分方程。20第二十頁，共五十一頁，2022年，8月28日取弦的平衡位置為OX軸，運動平面為XOUOUXPQL在時刻t，弦線在x點的位移為u(x,t)OUXPQ上圖中PQ的放大圖示21第二十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日假設(shè)弦線是均勻的，弦作微小振動，故可認(rèn)為即表明弧段PQ在振動過程中長度近似不變。根據(jù)Hooke定律，弦上各點的張力T的大小與時間t無關(guān)，只與x有關(guān)。再由于弦是柔軟的，弦上各點的張力T的方向正是弦的切線方向。22第二十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日(*1)(*2)設(shè)為弦的線密度(單位長度的質(zhì)量)，為作用在弦線上且垂直于平衡位置的強(qiáng)迫外力密度(單位長度的力)，根據(jù)牛頓第二定律，23第二十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日(*1)這表明張力的大小與x也無關(guān)，即常數(shù)(*2)，微分中值定理24第二十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日令，可得微分方程方程弦是均勻的，故為常數(shù)，記方程改寫為刻劃了均勻弦的微小橫振動的一般規(guī)律。通常稱為弦振動方程。25第二十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日為了具體給出弦的振動規(guī)律，除了列出它所滿足的方程外，由于弦開始時的形狀和弦上各點的速度，對弦振動將有直接影響，由此必須列出初始條件或者(以及)邊界條件已知端點的位移已知在端點受到垂直于弦的外力的作用已知端點的位移與所受外力作用的一個線性組合26第二十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日2+1維波動方程或膜振動方程一塊均勻的拉緊的薄膜，離開靜止水平位置作垂直于水平位置的微小振動，其運動規(guī)律滿足其中：u(x,y,t)表示在t時刻、膜在(x,y)

點處的位移f(x,y,t)表示單位質(zhì)量所受的外力a2=T/：T表示張力、為線密度27第二十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日3+1維波動方程或聲波方程n+1維波動方程28第二十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)分析：設(shè)桿長方向為x軸，考慮桿上從x到x+dx的一段(代表)，其質(zhì)量為dm=ρdx，熱容量為cdm。設(shè)桿中的熱流沿x軸正向，強(qiáng)度為q(x,t)，溫度分布為u(x,t)，則問題：一根長為L的均勻?qū)峒?xì)桿，側(cè)面絕熱，內(nèi)部無熱源。其熱傳導(dǎo)系數(shù)為k，比熱為c，線密度為ρ。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。由能量守恒定律cdmdu=dQ=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt于是有cρut=-qx由熱傳導(dǎo)定律q(x,t)=-kux(x,t)代入前面的式子，得到cρut=kuxxut=a2uxx29第二十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日推廣：情況：內(nèi)部有熱源(或側(cè)面不絕熱)分析：設(shè)熱源強(qiáng)度(單位時間在單位長度中產(chǎn)生的熱量)為F(x,t)，代表段的吸熱為Fdxdt方程：cρut=kuxx+Fut=a2uxx+f，f=F/(cρ)30第三十頁，共五十一頁，2022年，8月28日穩(wěn)定場方程產(chǎn)生：在演化問題中，有時會到達(dá)一個不隨時間變化的穩(wěn)定狀態(tài)，對應(yīng)的方程稱為穩(wěn)定場方程。形式：在對應(yīng)的演化方程中取消時間變量t，對t的導(dǎo)數(shù)為零。分類：無外界作用情況拉普拉斯方程：Δu=utt+uyy+uzz=0有外界作用情況泊松方程：Δu=utt+uyy+uzz=f(x,y,z)典型應(yīng)用靜電場方程：Δu=-ρ/ε穩(wěn)定溫度分布：Δu=-F/k31第三十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日

在數(shù)學(xué)物理方程的建立過程中，我們主要討論了三種類型的偏微分方程：波動方程；熱傳導(dǎo)方程；穩(wěn)定場方程．這三類方程描寫了不同物理現(xiàn)象及其過程，后面我們將會看到它們的解也表現(xiàn)出各自不同的特點．我們在解析幾何中知道對于二次實曲線其中

為常數(shù)，且設(shè)四、數(shù)學(xué)物理方程的分類32第三十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日則當(dāng)

時，上述二次曲線分別為雙曲線、拋物線和橢圓．受此啟發(fā)，下面我們來對二階線性偏微分方程進(jìn)行分類.

下面主要以含兩個自變量的二階線性偏微分方程為例，進(jìn)行理論分析．而對于更多個自變量的情形盡管要復(fù)雜一些，但討論的基本方法是一樣的．兩個自變量(x,y)的二階線性偏微分方程所具有的普遍形式為33第三十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日二階線性PDE方程的分類兩個自變量，齊次主部目的：通過自變量的非奇異變換來簡化方程的主部，從而據(jù)此分類。非奇異（1）34第三十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日復(fù)合求導(dǎo)35第三十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日系數(shù)之間的關(guān)系（2）（1）（3）36第三十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日其他系數(shù)之間的關(guān)系（3*）37第三十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日考慮如若能找到兩個相互獨立的解那么就作變換從而有（4）38第三十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日假設(shè)是方程的特解，則關(guān)系式是常微分方程（4）（5）的一般積分。反之亦然。引理

由此可知，要求方程（4）的解，只須求出常微分方程（5）的一般積分。39第三十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日定義稱常微分方程（5）為PDE（1）的特征方程。稱（5）的積分曲線為PDE（1）的特征曲線。（6）40第四十頁，共五十一頁，2022年，8月28日記定義方程(1)在點M處是雙曲型：橢圓型：拋物型：若在點M處，有若在點M處，有若在點M處，有41第四十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日雙曲型PDE右端為兩相異的實函數(shù)它們的一般積分為由此令，方程（1）可改寫為雙曲型方程的第一標(biāo)準(zhǔn)型雙曲型方程的第二標(biāo)準(zhǔn)型42第四十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日拋物型PDE由此得到一般積分為由此令，其中與獨立(線性無關(guān))的任意函數(shù)。43第四十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日由于由此推出44第四十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日因此，方程（1）可改寫為拋物型方程的標(biāo)準(zhǔn)型而45第四十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日橢圓型PDE右端為兩相異的復(fù)數(shù)由此推出兩族復(fù)數(shù)積分曲線為其中4