高數(shù)上冊第一章第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性課件

第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運算一、四則運算的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)思考題與初等函數(shù)的連續(xù)性1一、連續(xù)函數(shù)的四則運算的連續(xù)性【定理1】［例如］（上節(jié)已證）由函數(shù)“點連續(xù)”的定義和極限四則運算法則，立得:【推廣】有限個連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)。【結(jié)論】三角函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).若f(x),g(x)在點x0處連續(xù)，則f(x)±g(x)，f(x)g(x),f(x)/g(x)[g(x0)≠0]在點x0處也連續(xù).2二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性【定理2】嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).（證明略）［例如］【結(jié)論】反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).1.反函數(shù)的連續(xù)性3將上兩步綜合起來:【注意】本節(jié)定理3是§5定理6（復(fù)合函數(shù)求極限的法則）的特例，外層函數(shù)由原來的極限存在加強(qiáng)為連續(xù)。5【意義】【例1】【解】可知極限符號可以與函數(shù)符號f交換次序;條件是：內(nèi)層函數(shù)極限存在、外層函數(shù)在對應(yīng)點連續(xù)；則可交換次序.同理（即教材例6）利用lnu的連續(xù)性6【教材例3】【解】可視為由復(fù)合而成，則7【定理4】【注意】定理4是定理3的特殊情況.簡言之：內(nèi)、外層函數(shù)在對應(yīng)點都連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)連續(xù)9［例如］是由連續(xù)函數(shù)鏈因此在上連續(xù).復(fù)合而成,10【關(guān)系】§5

定理6：內(nèi)、外層函數(shù)極限都存在，則復(fù)合函數(shù)極限存在.(敘述不嚴(yán)格)本節(jié)定理3：內(nèi)層函數(shù)極限存在、外層函數(shù)加強(qiáng)為連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)極限存在，且極限符號和函數(shù)符號可交換次序.本節(jié)定理4：內(nèi)、外層函數(shù)都加強(qiáng)為連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)也連續(xù)（極限存在且等于函數(shù)值、極限符號和函數(shù)符號可交換次序）.11【定理5】基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.由【定理4】復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)【定理6】

131.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);［例如］在這些孤立點的某個去心鄰域內(nèi)沒有定義.在0點的某去心鄰域內(nèi)沒有定義.【注意】【注意】2.初等函數(shù)求極限的方法代入法.則既不是連續(xù)點也不是間斷點［又如］14【例3】【例4】【解】【解】有理化后消去0因子15【補(bǔ)充】則有l(wèi)n[1+u(x)]~u(x)(u(x)→0)17【一般地】的函數(shù)稱為冪指函數(shù)若則【注意】①.lim表示自變量的同一變化過程中的極限.（是定式情況下成立）②.不能分兩步寫作：18【思考題】19【思考題】21【思考題解答】且22但反之不成立.［例］但23又由假設(shè)故即由函數(shù)