福建省龍巖二中2022年高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓:交于不同的兩點(diǎn),,若原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部,則直線的斜率的取值范圍為()A. B.C. D.2.已知集合,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入,則輸出屬于()A. B. C. D.4.若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.205.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.3 C. D.46.已知函數(shù),,若存在實(shí)數(shù),使成立,則正數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.7.已知雙曲線的漸近線方程為,且其右焦點(diǎn)為,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.8.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限9.明代數(shù)學(xué)家程大位(1533~1606年),有感于當(dāng)時籌算方法的不便,用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》,可謂集成計算的鼻祖.如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題.執(zhí)行該程序框圖,若輸出的的值為,則輸入的的值為()A. B. C. D.10.在中,,,,點(diǎn)滿足,則等于()A.10 B.9 C.8 D.711.設(shè)復(fù)數(shù),則=()A.1 B. C. D.12.已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,是圓的直徑,弦的延長線相交于點(diǎn)垂直的延長線于點(diǎn).求證:14.如果函數(shù)(,且,)在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么的最大值為__________.15.直線是圓:與圓:的公切線,并且分別與軸正半軸,軸正半軸相交于,兩點(diǎn),則的面積為_________16.設(shè),滿足條件,則的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱柱中,是邊長為2的等邊三角形,,,.(1)證明:平面平面;(2),分別是,的中點(diǎn),是線段上的動點(diǎn),若二面角的平面角的大小為,試確定點(diǎn)的位置.18.(12分)已知,均為正項(xiàng)數(shù)列,其前項(xiàng)和分別為,,且,,,當(dāng),時,,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.(12分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(2)20.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求m的值.21.(12分)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個數(shù);(2)若f(x)有兩個極值點(diǎn)證明.22.(10分)設(shè)函數(shù),,.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個零點(diǎn),().(i)求的取值范圍;(ii)求證:隨著的增大而增大.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

設(shè)直線:,,,由原點(diǎn)在以為直徑的圓的外部,可得,聯(lián)立直線與橢圓方程,結(jié)合韋達(dá)定理,即可求得答案.【詳解】顯然直線不滿足條件,故可設(shè)直線:,,,由,得,,解得或,,,,,,解得,直線的斜率的取值范圍為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握橢圓的基礎(chǔ)知識和圓錐曲線與直線交點(diǎn)問題時,通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過韋達(dá)定理建立起目標(biāo)的關(guān)系式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.2.A【解析】

解一元二次不等式化簡集合的表示,求解函數(shù)的定義域化簡集合的表示,根據(jù)可以得到集合、之間的關(guān)系,結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行求解即可.【詳解】,.因?yàn)椋杂?,因此?故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了已知集合運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)取值范圍問題,考查了解一元二次不等式,考查了函數(shù)的定義域,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3.B【解析】

由題意,框圖的作用是求分段函數(shù)的值域,求解即得解.【詳解】由題意可知,框圖的作用是求分段函數(shù)的值域,當(dāng);當(dāng)綜上:.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了條件分支的程序框圖,考查了學(xué)生邏輯推理,分類討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】

化簡得到,再計算模長得到答案.【詳解】,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,復(fù)數(shù)的模,意在考查學(xué)生的計算能力.5.C【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,該幾何體為由一個三棱柱體,切去一個三棱錐體,由柱體、椎體的體積公式進(jìn)一步求出幾何體的體積.【詳解】解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為由一個三棱柱體,切去一個三棱錐體,如圖所示:故:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】

根據(jù)實(shí)數(shù)滿足的等量關(guān)系,代入后將方程變形,構(gòu)造函數(shù),并由導(dǎo)函數(shù)求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,結(jié)合存在性問題的求法,即可求得正數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù),,由題意得,即,令,∴,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,而,當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)時,等號成立,∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用,由基本不等式求函數(shù)的最值,存在性成立問題的解法,屬于中檔題.7.B【解析】試題分析:由題意得,,所以,,所求雙曲線方程為.考點(diǎn):雙曲線方程.8.C【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出,寫出共軛復(fù)數(shù),寫出共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即得【詳解】解析:,,對應(yīng)點(diǎn)為,在第三象限.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵.9.C【解析】

根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【詳解】,;,;,;,;,此時不滿足,跳出循環(huán),輸出結(jié)果為,由題意,得.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的計算,意在考查學(xué)生的理解能力和計算能力.10.D【解析】

利用已知條件,表示出向量,然后求解向量的數(shù)量積.【詳解】在中,,,,點(diǎn)滿足,可得則==【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算,關(guān)鍵是利用基向量表示所求向量.11.A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,代入化簡即可求解.【詳解】復(fù)數(shù),則故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與化簡求值,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】

將直線方程代入拋物線方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出的值.【詳解】F(1,0),故直線AB的方程為y=x﹣1,聯(lián)立方程組,可得x2﹣6x+1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=6,x1x2=1.由拋物線的定義可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.證明見解析.【解析】試題分析:四點(diǎn)共圓,所以,又△∽△,所以,即,得證.試題解析:A.連接,因?yàn)闉閳A的直徑,所以,又,則四點(diǎn)共圓,所以.又△∽△,所以,即,∴.14.18【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),分一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【詳解】解:①當(dāng)時,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,即,則.②當(dāng)時,,函數(shù)開口向上,對稱軸為,因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減,則,因?yàn)?則,整理得,又因?yàn)?則.所以即,所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.綜上所述,的最大值為18.故答案為:18【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.15.【解析】

根據(jù)題意畫出圖形,設(shè),利用三角形相似求得的值,代入三角形的面積公式,即可求解.【詳解】如圖所示,設(shè),由與相似,可得,解得,再由與相似,可得,解得,由三角形的面積公式,可得的面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,以及三角形相似的應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】

作出可行域,由得,平移直線,數(shù)形結(jié)合可求的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示由得,則是直線在軸上的截距.平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)時,最小,此時最大.解方程組,得,..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)證明見解析;(2)為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn),且坐標(biāo)為【解析】

(1)先通過線面垂直的判定定理證明平面,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明;(2)分析位置關(guān)系并建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)二面角的余弦值與平面法向量夾角的余弦值之間的關(guān)系,即可計算出的坐標(biāo)從而位置可確定.【詳解】(1)證明:因?yàn)?,,,所以,?又因?yàn)?,,所以,,所以平?因?yàn)槠矫?,所以平面平?(2)解:連接,因?yàn)?,是的中點(diǎn),所以.由(1)知,平面平面,所以平面.以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則平面的一個法向量是,,,.設(shè),,,,代入上式得,,,所以.設(shè)平面的一個法向量為,,,由,得.令,得.因?yàn)槎娼堑钠矫娼堑拇笮?,所以,即,解?所以點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn),且坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求解二面角有關(guān)的問題,難度一般.(1)證明面面垂直,可通過先證明線面垂直,再證明面面垂直;(2)二面角的余弦值不一定等于平面法向量夾角的余弦值,要注意結(jié)合圖形分析.18.(1),(2)【解析】

(1),所,兩式相減,即可得到數(shù)列遞推關(guān)系求解通項(xiàng)公式,由,整理得,得到,即可求解通項(xiàng)公式;(2)由(1)可知,,即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】(1)因?yàn)?,所,兩式相減,整理得,當(dāng)時,,解得,所以數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列,即,因?yàn)椋淼?,又因?yàn)?,所以,所以,即,因?yàn)?,所以?shù)列是以首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列,所以;(2)由(1)可知,,,即.【點(diǎn)睛】此題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及數(shù)列求和,關(guān)鍵在于對題中所給關(guān)系合理變形,發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)系,裂項(xiàng)求和作為一類常用的求和方法,需要在平常的學(xué)習(xí)中多做積累常見的裂項(xiàng)方式.19.(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.(2)同樣根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.【詳解】(1)令,,則,而,,故.(2)令,,則,而,,故,化簡得到.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),此類問題一般是先把函數(shù)分解為簡單函數(shù)的復(fù)合,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得所求的導(dǎo)數(shù),本題屬于容易題.20.(1)見解析(2)【解析】

(1)先求導(dǎo),再對m分類討論,求出的單調(diào)性;(2)對m分三種情況討論求函數(shù)在區(qū)間上的最小值即得解.【詳解】(1)若,當(dāng)時,;當(dāng)時.,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減若.在R上單調(diào)遞增若,當(dāng)時,;當(dāng)時.,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)由(1)可知,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,則.則不合題意當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.則,即又因?yàn)閱握{(diào)遞增,且,故綜上,【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.21.(1)見解析(2)見解析【解析】

(1)求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù),對分成三種情況進(jìn)行分類討論,判斷出的極值點(diǎn)個數(shù).(2)由(1)知,結(jié)合韋達(dá)定理求得的關(guān)系式,由此化簡的表達(dá)式為,通過構(gòu)造函數(shù)法,結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得,由此證得成立.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)榈茫╥)當(dāng)時;,因?yàn)闀r,時,,所以是函數(shù)的一個極小值點(diǎn);(ii)若時,若,即時,,在是減函數(shù),無極值點(diǎn).若,即時,有兩根,不妨設(shè)當(dāng)和時,,當(dāng)時,,是函數(shù)的兩個極值點(diǎn),綜上所述時,僅有一個極值點(diǎn);時,無極值點(diǎn);時,有兩個極值點(diǎn).(2)由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)時,有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),且是方程的兩根,,則所以設(shè),則,又,即,所以所以是上的單調(diào)減函數(shù),有兩個極值點(diǎn),則【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn),考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.22.(1)見解析;(2)(i)(ii)證明見解析【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類討論即可求解;(2)(i)結(jié)合(1)的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個零點(diǎn)求解參數(shù)取值范圍;(ii)設(shè),通過轉(zhuǎn)化,討論函數(shù)的單調(diào)性得證.【詳解】(1)因?yàn)?,所以?dāng)時,在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)

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