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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A.-60 B.240 C.-80 D.1802.若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的最小值為()A. B. C. D.3.直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓x2a2+y2bA.3-1 B.3-12 C.4.已知函數(shù),若,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.5.集合,則集合的真子集的個數(shù)是A.1個 B.3個 C.4個 D.7個6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則()A.21 B.22 C.11 D.127.已知向量,,設(shè)函數(shù),則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A.關(guān)于直線對稱 B.關(guān)于點(diǎn)對稱C.周期為 D.在上是增函數(shù)8.在滿足,的實(shí)數(shù)對中,使得成立的正整數(shù)的最大值為()A.5 B.6 C.7 D.99.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.若,的面積為,則()A.5 B. C.4 D.1610.已知集合,集合,若,則()A. B. C. D.11.已知,,是平面內(nèi)三個單位向量,若,則的最小值()A. B. C. D.512.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角,,的對邊分別為,,.若;且,則周長的范圍為__________.14.袋中裝有兩個紅球、三個白球,四個黃球,從中任取四個球,則其中三種顏色的球均有的概率為________.15.已知向量,,若,則______.16.二項(xiàng)式的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)求單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若存在實(shí)數(shù),使得,求證:18.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時,判斷是否是函數(shù)的極值點(diǎn),并說明理由;(2)當(dāng)時,不等式恒成立,求整數(shù)的最小值.19.(12分)已知點(diǎn)為圓:上的動點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),過作直線的垂線(當(dāng)、重合時,直線約定為軸),垂足為,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程;(2)直線的極坐標(biāo)方程為,連接并延長交于,求的最大值.20.(12分)已知,分別是橢圓:的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn).(1)求,的值:(2)過點(diǎn)作不與軸重合的直線,設(shè)與圓相交于A,B兩點(diǎn),且與橢圓相交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)時,求△的面積.21.(12分)如圖,在四邊形中,,,.(1)求的長;(2)若的面積為6,求的值.22.(10分)2018年反映社會現(xiàn)實(shí)的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動,治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急.為此,某藥企加大了研發(fā)投入,市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費(fèi)用(百萬元)和銷量(萬盒)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:研發(fā)費(fèi)用(百萬元)2361013151821銷量(萬盒)1122.53.53.54.56(1)求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01,并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合?(規(guī)定:時,可用線性回歸方程模型擬合);(2)該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型,,,并對其進(jìn)行兩次檢測,當(dāng)?shù)谝淮螜z測合格后,才能進(jìn)行第二次檢測.第一次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,,第二次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,.兩次檢測過程相互獨(dú)立,設(shè)經(jīng)過兩次檢測后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.附:(1)相關(guān)系數(shù)(2),,,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
求的展開式中的常數(shù)項(xiàng),可轉(zhuǎn)化為求展開式中的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng),再求和即可得出答案.【詳解】由題意,中常數(shù)項(xiàng)為,中項(xiàng)為,所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,考查學(xué)生計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】
根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為,令,利用導(dǎo)數(shù),判斷其單調(diào)性即可得到實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)椴坏仁接姓麛?shù)解,所以,于是轉(zhuǎn)化為,顯然不是不等式的解,當(dāng)時,,所以可變形為.令,則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,所以當(dāng)時,,故,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式能成立問題的解法,涉及到對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.3.A【解析】
由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點(diǎn)F,得到左焦點(diǎn)為再由FC=2CA,求得A3【詳解】由題意,直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F,令所以c=3,即橢圓的左焦點(diǎn)為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1),所以,OF=因?yàn)镕C=2CA,所以FA=3又由點(diǎn)A在橢圓上,得3a由①②,可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解,其中求橢圓的離心率(或范圍),常見有兩種方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程,即可得4.C【解析】試題分析:由題意知,當(dāng)時,由,當(dāng)且僅當(dāng)時,即等號是成立,所以函數(shù)的最小值為,當(dāng)時,為單調(diào)遞增函數(shù),所以,又因?yàn)?,使得,即在的最小值不小于在上的最小值,即,解得,故選C.考點(diǎn):函數(shù)的綜合問題.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問題,其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、全稱命題與存在命題的應(yīng)用等知識點(diǎn)的綜合考查,試題思維量大,屬于中檔試題,著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力,以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,其中解答中轉(zhuǎn)化為在的最小值不小于在上的最小值是解答的關(guān)鍵.5.B【解析】
由題意,結(jié)合集合,求得集合,得到集合中元素的個數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,集合,則,所以集合的真子集的個數(shù)為個,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個數(shù)個數(shù)的求解,其中作出集合的運(yùn)算,得到集合,再由真子集個數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.6.A【解析】
由題意知成等差數(shù)列,結(jié)合等差中項(xiàng),列出方程,即可求出的值.【詳解】解:由為等差數(shù)列,可知也成等差數(shù)列,所以,即,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差中項(xiàng).對于等差數(shù)列,一般用首項(xiàng)和公差將已知量表示出來,繼而求出首項(xiàng)和公差.但是這種基本量法計(jì)算量相對比較大,如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì),可使得計(jì)算量大大減少.7.D【解析】
當(dāng)時,,∴f(x)不關(guān)于直線對稱;當(dāng)時,,∴f(x)關(guān)于點(diǎn)對稱;f(x)得周期,當(dāng)時,,∴f(x)在上是增函數(shù).本題選擇D選項(xiàng).8.A【解析】
由題可知:,且可得,構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo),通過導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性,結(jié)合圖像得出,即得出,從而得出的最大值.【詳解】因?yàn)?,則,即整理得,令,設(shè),則,令,則,令,則,故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則,因?yàn)?,,由題可知:時,則,所以,所以,當(dāng)無限接近時,滿足條件,所以,所以要使得故當(dāng)時,可有,故,即,所以:最大值為5.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值和最值,以及運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法和放縮法,同時考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.9.C【解析】
根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運(yùn)用,屬于中檔題.10.A【解析】
根據(jù)或,驗(yàn)證交集后求得的值.【詳解】因?yàn)?,所以?當(dāng)時,,不符合題意,當(dāng)時,.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合的交集概念及運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】
由于,且為單位向量,所以可令,,再設(shè)出單位向量的坐標(biāo),再將坐標(biāo)代入中,利用兩點(diǎn)間的距離的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】解:設(shè),,,則,從而,等號可取到.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查的是平面向量的坐標(biāo)、模的運(yùn)算,利用整體代換,再結(jié)合距離公式求解,屬于難題.12.D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn),所以,則,即.故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
先求角,再用余弦定理找到邊的關(guān)系,再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解:所以三角形周長故答案為:【點(diǎn)睛】考查正余弦定理、基本不等式的應(yīng)用以及三條線段構(gòu)成三角形的條件;基礎(chǔ)題.14.【解析】
基本事件總數(shù)n126,其中三種顏色的球都有包含的基本事件個數(shù)m72,由此能求出其中三種顏色的球都有的概率.【詳解】解:袋中有2個紅球,3個白球和4個黃球,從中任取4個球,基本事件總數(shù)n126,其中三種顏色的球都有,可能是2個紅球,1個白球和1個黃球或1個紅球,2個白球和1個黃球或1個紅球,1個白球和2個黃球,所以包含的基本事件個數(shù)m72,∴其中三種顏色的球都有的概率是p.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.15.1【解析】
根據(jù)向量加法和減法的坐標(biāo)運(yùn)算,先分別求得與,再結(jié)合向量的模長公式即可求得的值.【詳解】向量,則,則因?yàn)榧?化簡可得解得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了向量坐標(biāo)加法和減法的運(yùn)算,向量模長的求法,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)求出,由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式得出常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù),從而得常數(shù)項(xiàng).【詳解】由題意,.展開式通項(xiàng)為,由得,∴常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)時,函數(shù)單調(diào)遞增,,函數(shù)單調(diào)遞減,;(2)見解析【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到函數(shù)的極值;(2)易得且,要證明,即證,即證,即對恒成立,構(gòu)造函數(shù),,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得證;【詳解】解:(1)因?yàn)槎x域?yàn)?,所以,時,,即在和上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,即函數(shù)在單調(diào)遞減,所以在處取得極小值,在處取得極大值;,;(2)易得,要證明,即證,即證即證對恒成立,令,,則令,解得,即在上單調(diào)遞增;令,解得,即在上單調(diào)遞減;則在取得極小值,也就是最小值,從而結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.18.(1)是函數(shù)的極大值點(diǎn),理由詳見解析;(2)1.【解析】
(1)將直接代入,對求導(dǎo)得,由于函數(shù)單調(diào)性不好判斷,故而構(gòu)造函數(shù),繼續(xù)求導(dǎo),判斷導(dǎo)函數(shù)在左右兩邊的正負(fù)情況,最后得出,是函數(shù)的極大值點(diǎn);(2)利用題目已有條件得,再證明時,不等式恒成立,即證,從而可知整數(shù)的最小值為1.【詳解】解:(1)當(dāng)時,.令,則當(dāng)時,.即在內(nèi)為減函數(shù),且∴當(dāng)時,;當(dāng)時,.∴在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).綜上,是函數(shù)的極大值點(diǎn).(2)由題意,得,即.現(xiàn)證明當(dāng)時,不等式成立,即.即證令則∴當(dāng)時,;當(dāng)時,.∴在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,的最大值為.∴當(dāng)時,.即當(dāng)時,不等式成立.綜上,整數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值,最值,判斷函數(shù)的單調(diào)性,由此來求解函數(shù)中的參數(shù)的取值范圍,對學(xué)生要求較高,然后需要學(xué)生能構(gòu)造新函數(shù)處理恒成立問題,為難題19.(1);(2)【解析】
(1)設(shè)的極坐標(biāo)為,在中,有,即可得結(jié)果;(2)設(shè)射線:,,圓的極坐標(biāo)方程為,聯(lián)立兩個方程,可求出,聯(lián)立可得,則計(jì)算可得,利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】(1)設(shè)的極坐標(biāo)為,在中,有,點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為;(2)設(shè)射線:,,圓的極坐標(biāo)方程為,由得:,由得:,,,當(dāng),即時,,的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程的應(yīng)用,考查三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,是中檔題.20.(1);(2).【解析】
(1)由已知根據(jù)拋物線和橢圓的定義和性質(zhì),可求出,;(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與圓的方程可以求出,再聯(lián)立直線和橢圓的方程化簡,由根與系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)論,繼而求出面積.【詳解】(1)焦點(diǎn)為F(1,0),則F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),,解得,=1,=1,(Ⅱ)由已知,可設(shè)直線方程為,,聯(lián)立得,易知△>0,則===因?yàn)?,所以?,解得聯(lián)立,得,△=8>0設(shè),則【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質(zhì)應(yīng)用,同時考查利用根與系數(shù)的關(guān)系,解決直線與圓,直線與橢圓的位置關(guān)系問題.意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21.(1)(2)【解析】
(1)利用余弦定理可得的長;(2)利用面積得出,結(jié)合正弦定理可得.【詳解】解:(1)由題可知.在中,,所以.(2),則.又,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用
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