2023年陜西省高考數(shù)學試題及答案(理科)及解析

年陜西省高考數(shù)學試卷〔理科〕一、選擇題，共12小題，每題5分，共60分1．〔5分〕〔2023?陜西〕設集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，那么M∪N=〔〕A．[0，1]B．〔0，1]C．[0，1〕D．〔﹣∞，1]2．〔5分〕〔2023?陜西〕某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如下列圖，那么該校女教師的人數(shù)為〔〕A．93B．123C．137D．1673．〔5分〕〔2023?陜西〕如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin〔x+φ〕+k．據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深〔單位：m〕的最大值為〔〕A．5B．6C．8D．104．〔5分〕〔2023?陜西〕二項式〔x+1〕n〔n∈N+〕的展開式中x2的系數(shù)為15，那么n=〔〕A．7B．6C．5D．45．〔5分〕〔2023?陜西〕一個幾何體的三視圖如下列圖，那么該幾何體的外表積為〔〕A．3πB．4πC．2π+4D．3π+46．〔5分〕〔2023?陜西〕“sinα=cosα〞是“cos2α=0〞的〔〕A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件7．〔5分〕〔2023?陜西〕對任意向量、，以下關系式中不恒成立的是〔〕A．||≤||||B．||≤|||﹣|||C．〔〕2=||2D．〔〕?〔〕=2﹣28．〔5分〕〔2023?陜西〕根據(jù)如圖框圖，當輸入x為2006時，輸出的y=〔〕A．2B．4C．10D．289．〔5分〕〔2023?陜西〕設f〔x〕=lnx，0＜a＜b，假設p=f〔〕，q=f〔〕，r=〔f〔a〕+f〔b〕〕，那么以下關系式中正確的是〔〕A．q=r＜pB．p=r＜qC．q=r＞pD．p=r＞q10．〔5分〕〔2023?陜西〕某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A、B兩種原料．生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產(chǎn)一噸甲、乙產(chǎn)品可獲得利潤分別為3萬元、4萬元，那么該企業(yè)每天可獲得最大利潤為〔〕甲乙原料限額A〔噸〕3212B〔噸〕128A．12萬元B．16萬元C．17萬元D．18萬元11．〔5分〕〔2023?陜西〕設復數(shù)z=〔x﹣1〕+yi〔x，y∈R〕，假設|z|≤1，那么y≥x的概率為〔〕A．+B．+C．﹣D．﹣12．〔5分〕〔2023?陜西〕對二次函數(shù)f〔x〕=ax2+bx+c〔a為非零整數(shù)〕，四位同學分別給出以下結論，其中有且只有一個結論是錯誤的，那么錯誤的結論是〔〕A．﹣1是f〔x〕的零點B．1是f〔x〕的極值點C．3是f〔x〕的極值D．點〔2，8〕在曲線y=f〔x〕上二、填空題，共4小題，每題5分，共20分13．〔5分〕〔2023?陜西〕中位數(shù)為1010的一組數(shù)構成等差數(shù)列，其末項為2023，那么該數(shù)列的首項為．14．〔5分〕〔2023?陜西〕假設拋物線y2=2px〔p＞0〕的準線經(jīng)過雙曲線x2﹣y2=1的一個焦點，那么p=．15．〔5分〕〔2023?陜西〕設曲線y=ex在點〔0，1〕處的切線與曲線y=〔x＞0〕上點P的切線垂直，那么P的坐標為．16．〔5分〕〔2023?陜西〕如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型〔圖中虛線所示〕，那么原始的最大流量與當前最大流量的比值為．三、解答題，共5小題，共70分17．〔12分〕〔2023?陜西〕△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．向量=〔a，b〕與=〔cosA，sinB〕平行．〔Ⅰ〕求A；〔Ⅱ〕假設a=，b=2，求△ABC的面積．18．〔12分〕〔2023?陜西〕如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點，O是AC與BE的交點，將ABE沿BE折起到A1BE的位置，如圖2．〔Ⅰ〕證明：CD⊥平面A1OC；〔Ⅱ〕假設平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值．19．〔12分〕〔2023?陜西〕某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T，T只與道路通暢狀況有關，對其容量為100的樣本進行統(tǒng)計，結果如下：T〔分鐘〕25303540頻數(shù)〔次〕20304010〔Ⅰ〕求T的分布列與數(shù)學期望ET；〔Ⅱ〕劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率．20．〔12分〕〔2023?陜西〕橢圓E：+=1〔a＞b＞0〕的半焦距為c，原點O到經(jīng)過兩點〔c，0〕，〔0，b〕的直線的距離為c．〔Ⅰ〕求橢圓E的離心率；〔Ⅱ〕如圖，AB是圓M：〔x+2〕2+〔y﹣1〕2=的一條直徑，假設橢圓E經(jīng)過A、B兩點，求橢圓E的方程．21．〔12分〕〔2023?陜西〕設fn〔x〕是等比數(shù)列1，x，x2，…，xn的各項和，其中x＞0，n∈N，n≥2．〔Ⅰ〕證明：函數(shù)Fn〔x〕=fn〔x〕﹣2在〔，1〕內(nèi)有且僅有一個零點〔記為xn〕，且xn=+x；〔Ⅱ〕設有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為gn〔x〕，比較fn〔x〕和gn〔x〕的大小，并加以證明．四、選修題，請在22、23、24中任選一題作答，如果多做那么按第一題計分．選修4-1：幾何證明選講22．〔10分〕〔2023?陜西〕如圖，AB切⊙O于點B，直線AO交⊙O于D，E兩點，BC⊥DE，垂足為C．〔Ⅰ〕證明：∠CBD=∠DBA；〔Ⅱ〕假設AD=3DC，BC=，求⊙O的直徑．五、選修4-4：坐標系與參數(shù)方程23．〔2023?陜西〕在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為〔t為參數(shù)〕，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，⊙C的極坐標方程為ρ=2sinθ．〔Ⅰ〕寫出⊙C的直角坐標方程；〔Ⅱ〕P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標．六、選修4-5：不等式選講24．〔2023?陜西〕關于x的不等式|x+a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}〔Ⅰ〕求實數(shù)a，b的值；〔Ⅱ〕求+的最大值．2023年陜西省高考數(shù)學試卷〔理科〕參考答案與試題解析一、選擇題，共12小題，每題5分，共60分1．〔5分〕考點：并集及其運算．專題：集合．分析：求解一元二次方程化簡M，求解對數(shù)不等式化簡N，然后利用并集運算得答案．解答：解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=〔0，1]，得M∪N={0，1}∪〔0，1]=[0，1]．應選：A．點評：此題考查了并集及其運算，考查了對數(shù)不等式的解法，是根底題．2．〔5分〕考點：收集數(shù)據(jù)的方法．專題：計算題；概率與統(tǒng)計．分析：利用百分比，可得該校女教師的人數(shù)．解答：解：初中部女教師的人數(shù)為110×70%=77；高中部女教師的人數(shù)為40×150%=60，∴該校女教師的人數(shù)為77+60=137，應選：C．點評：此題考查該校女教師的人數(shù)，考查收集數(shù)據(jù)的方法，考查學生的計算能力，比較根底．3．〔5分〕考點：由y=Asin〔ωx+φ〕的局部圖象確定其解析式．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：由題意和最小值易得k的值，進而可得最大值．解答：解：由題意可得當sin〔x+φ〕取最小值﹣1時，函數(shù)取最小值ymin=﹣3+k=2，解得k=5，∴y=3sin〔x+φ〕+5，∴當當sin〔x+φ〕取最大值1時，函數(shù)取最大值ymax=3+5=8，應選：C．點評：此題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的最值，屬根底題．4．〔5分〕考點：二項式定理的應用．專題：二項式定理．分析：由題意可得==15，解關于n的方程可得．解答：解：∵二項式〔x+1〕n〔n∈N+〕的展開式中x2的系數(shù)為15，∴=15，即=15，解得n=6，應選：B．點評：此題考查二項式定理，屬根底題．5．〔5分〕考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題；空間位置關系與距離．分析：根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是圓柱體的一局部，利用圖中數(shù)據(jù)求出它的外表積．解答：解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是圓柱體的一半，∴該幾何體的外表積為S幾何體=π?12+π×1×2+2×2=3π+4．應選：D．點評：此題考查了利用空間幾何體的三視圖求外表積的應用問題，是根底題目．6．〔5分〕考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：簡易邏輯．分析：由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判斷出．解答：解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα〞是“cos2α=0〞的充分不必要條件．應選：A．點評：此題考查了倍角公式、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力，屬于根底題．7．〔5分〕考點：平面向量數(shù)量積的運算．專題：平面向量及應用．分析：由向量數(shù)量積的運算和性質(zhì)逐個選項驗證可得．解答：解：選項A正確，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；選項B錯誤，由三角形的三邊關系和向量的幾何意義可得||≥|||﹣|||；選項C正確，由向量數(shù)量積的運算可得〔〕2=||2；選項D正確，由向量數(shù)量積的運算可得〔〕?〔〕=2﹣2．應選：B點評：此題考查平面向量的數(shù)量積，屬根底題．8．〔5分〕考點：程序框圖．專題：圖表型；算法和程序框圖．分析：模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的x的值，當x=﹣2時不滿足條件x≥0，計算并輸出y的值為10．解答：解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得x=2006，x=2004滿足條件x≥0，x=2002滿足條件x≥0，x=2000…滿足條件x≥0，x=0滿足條件x≥0，x=﹣2不滿足條件x≥0，y=10輸出y的值為10．應選：C．點評：此題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖，屬于根底題．9．〔5分〕考點：不等關系與不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：由題意可得p=〔lna+lnb〕，q=ln〔〕≥ln〔〕=p，r=〔lna+lnb〕，可得大小關系．解答：解：由題意可得假設p=f〔〕=ln〔〕=lnab=〔lna+lnb〕，q=f〔〕=ln〔〕≥ln〔〕=p，r=〔f〔a〕+f〔b〕〕=〔lna+lnb〕，∴p=r＜q，應選：B點評：此題考查不等式與不等關系，涉及根本不等式和對數(shù)的運算，屬根底題．10．〔5分〕考點：簡單線性規(guī)劃的應用．專題：不等式的解法及應用．分析：設每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x，y頓，利潤為z元，然后根據(jù)題目條件建立約束條件，得到目標函數(shù)，畫出約束條件所表示的區(qū)域，然后利用平移法求出z的最大值．解答：解：設每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x，y頓，利潤為z元，那么，目標函數(shù)為z=3x+4y．作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域〔陰影局部〕即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直線y=﹣x+由圖象可知當直線y=﹣x+經(jīng)過點B時，直線y=﹣x+的截距最大，此時z最大，解方程組，解得，即B的坐標為x=2，y=3，∴zmax=3x+4y=6+12=18．即每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為2，3頓，能夠產(chǎn)生最大的利潤，最大的利潤是18萬元，應選：D．點評：此題主要考查線性規(guī)劃的應用，建立約束條件和目標函數(shù)，利用數(shù)形結合是解決此題的關鍵．11．〔5分〕考點：幾何概型．專題：概率與統(tǒng)計．分析：由題意易得所求概率為弓形的面積與圓的面積之比，分別求面積可得．解答：解：∵復數(shù)z=〔x﹣1〕+yi〔x，y∈R〕且|z|≤1，∴|z|=≤1，即〔x﹣1〕2+y2≤1，∴點〔x，y〕在〔1，0〕為圓心1為半徑的圓及其內(nèi)部，而y≥x表示直線y=x左上方的局部，〔圖中陰影弓形〕∴所求概率為弓形的面積與圓的面積之比，∴所求概率P==應選：D．點評：此題考查幾何概型，涉及復數(shù)以及圓的知識，屬根底題．12．〔5分〕考點：二次函數(shù)的性質(zhì)．專題：創(chuàng)新題型；函數(shù)的性質(zhì)及應用；導數(shù)的綜合應用．分析：可采取排除法．分別考慮A，B，C，D中有一個錯誤，通過解方程求得a，判斷是否為非零整數(shù)，即可得到結論．解答：解：可采取排除法．假設A錯，那么B，C，D正確．即有f〔x〕=ax2+bx+c的導數(shù)為f′〔x〕=2ax+b，即有f′〔1〕=0，即2a+b=0，①又f〔1〕=3，即a+b+c=3②，又f〔2〕=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a為非零整數(shù)．假設B錯，那么A，C，D正確，那么有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈?，不成立；假設C錯，那么A，B，D正確，那么有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不為非零整數(shù)，不成立；假設D錯，那么A，B，C正確，那么有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不為非零整數(shù)，不成立．應選：A．點評：此題考查二次函數(shù)的極值、零點等概念，主要考查解方程的能力和判斷分析的能力，屬于中檔題．二、填空題，共4小題，每題5分，共20分13．〔5分〕考點：等差數(shù)列．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由題意可得首項的方程，解方程可得．解答：解：設該等差數(shù)列的首項為a，由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得2023+a=1010×2解得a=5故答案為：5點評：此題考查等差數(shù)列的根本性質(zhì)，涉及中位數(shù)，屬根底題．14．〔5分〕考點：拋物線的簡單性質(zhì)．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：先求出x2﹣y2=1的左焦點，得到拋物線y2=2px的準線，依據(jù)p的意義求出它的值．解答：解：雙曲線x2﹣y2=1的左焦點為〔﹣，0〕，故拋物線y2=2px的準線為x=﹣，∴=，∴p=2，故答案為：2．點評：此題考查拋物線和雙曲線的簡單性質(zhì)，以及拋物線方程y2=2px中p的意義．15．〔5分〕考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：導數(shù)的概念及應用．分析：利用y=ex在某點處的切屑斜率與另一曲線的切線斜率垂直求得另一曲線的斜率，進而求得切點坐標．解答：解：∵f'〔x〕=ex，∴f'〔0〕=e0=1．∵y=ex在〔0，1〕處的切線與y=〔x＞0〕上點P的切線垂直∴點P處的切線斜率為﹣1．又y'=﹣，設點P〔x0，y0〕∴∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1∴y0=1∴點P〔1，1〕故答案為：〔1，1〕點評：此題考查導數(shù)在曲線切線中的應用，在高考中屬根底題型，常出現(xiàn)在選擇填空中．16．〔5分〕考點：直線與圓錐曲線的關系．專題：創(chuàng)新題型；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：建立直角坐標系，求出拋物線方程，然后利用定積分求出泥沙沉積的橫截面面積，求出梯形面積，即可推出結果．解答：解：如圖：建立平面直角坐標系，設拋物線方程為：y=ax2，因為拋物線經(jīng)過〔5，2〕，可得a=，所以拋物線方程：y=，橫截面為等腰梯形的水渠，泥沙沉積的橫截面的面積為：2×=2〔〕=，等腰梯形的面積為：=16，當前最大流量的橫截面的面積16﹣，原始的最大流量與當前最大流量的比值為：=1.2．故答案為：1.2．點評：此題考查拋物線的求法，定積分的應用，考查分析問題解決問題的能力，合理建系是解題的關鍵．三、解答題，共5小題，共70分17．〔12分〕考點：余弦定理的應用；平面向量共線〔平行〕的坐標表示．專題：解三角形．分析：〔Ⅰ〕利用向量的平行，列出方程，通過正弦定理求解A；〔Ⅱ〕利用A，以及a=，b=2，通過余弦定理求出c，然后求解△ABC的面積．解答：解：〔Ⅰ〕因為向量=〔a，b〕與=〔cosA，sinB〕平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因為sinB≠0，所以tanA=，可得A=；〔Ⅱ〕a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面積為：=．點評：此題考查余弦定理以及宰相肚里的應用，三角形的面積的求法，考查計算能力．18．〔12分〕考點：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質(zhì)．專題：空間位置關系與距離；空間角．分析：〔Ⅰ〕根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明：CD⊥平面A1OC；〔Ⅱ〕假設平面A1BE⊥平面BCDE，建立空間坐標系，利用向量法即可求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值．解答：證明：〔Ⅰ〕在圖1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點，∠BAD=，∴BE⊥AC，即在圖2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，那么BE⊥平面A1OC；∵CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC；〔Ⅱ〕假設平面A1BE⊥平面BCDE，由〔Ⅰ〕知BE⊥OA1，BE⊥OC，∴∠A1OC為二面角A1﹣BE﹣C的平面角，∴∠A1OC=，如圖，建立空間坐標系，∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED∴B〔，0，0〕，E〔﹣，0，0〕，A1〔0，0，〕，C〔0，，0〕，=〔﹣，，0〕，=〔0，，﹣〕，設平面A1BC的法向量為=〔x，y，z〕，平面A1CD的法向量為=〔a，b，c〕，那么得，令x=1，那么y=1，z=1，即=〔1，1，1〕，由得，取=〔0，1，1〕，那么cos＜＞===，∵平面A1BC與平面A1CD為鈍二面角，∴平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為﹣．點評：此題主要考查空間直線和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐標系利用向量法是解決空間角的常用方法．19．〔12分〕考點：離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．專題：概率與統(tǒng)計．分析：〔Ⅰ〕求T的分布列即求出相應時間的頻率，頻率=頻數(shù)÷樣本容量，數(shù)學期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32〔分鐘〕；〔Ⅱ〕設T1，T2分別表示往、返所需時間，事件A對應于“劉教授在路途中的時間不超過70分鐘〞，先求出P〔〕=P〔T1=35，T2=40〕+P〔T1=40，T2=35〕+P〔T1=40，T2=40〕=0.09，即P〔A〕=1﹣P〔〕=0.91．解答：解〔Ⅰ〕由統(tǒng)計結果可得T的頻率分布為T〔分鐘〕25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計概率得T的分布列為T25303540P0.20.30.40.1從而數(shù)學期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32〔分鐘〕〔Ⅱ〕設T1，T2分別表示往、返所需時間，T1，T2的取值相互獨立，且與T的分布列相同，設事件A表示“劉教授共用時間不超過120分鐘〞，由于講座時間為50分鐘，所以事件A對應于“劉教授在路途中的時間不超過70分鐘〞P〔〕=P〔T1+T2＞70〕=P〔T1=35，T2=40〕+P〔T1=40，T2=35〕+P〔T1=40，T2=40〕=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09故P〔A〕=1﹣P〔〕=0.91故答案為：〔Ⅰ〕分布列如上表，數(shù)學期望ET=32〔分鐘〕〔Ⅱ〕0.91點評：此題考查了頻率=頻數(shù)÷樣本容量，數(shù)學期望，對學生的理解事情的能力有一定的要求，屬于中檔題．20．〔12分〕考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；曲線與方程．專題：創(chuàng)新題型；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：〔Ⅰ〕求出經(jīng)過點〔0，b〕和〔c，0〕的直線方程，運用點到直線的距離公式，結合離心率公式計算即可得到所求值；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2，①設出直線AB的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，結合圓的直徑和中點坐標公式，解方程可得b2=3，即可得到橢圓方程．解答：解：〔Ⅰ〕經(jīng)過點〔0，b〕和〔c，0〕的直線方程為bx+cy﹣bc=0，那么原點到直線的距離為d==c，即為a=2b，e===；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2，①由題意可得圓心M〔﹣2，1〕是線段AB的中點，那么|AB|=，易知AB與x軸不垂直，記其方程為y=k〔x+2〕+1，代入①可得〔1+4k2〕x2+8k〔1+2k〕x+4〔1+2k〕2﹣4b2=0，設A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么x1+x2=．x1x2=，由x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，從而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=?|x1﹣x2|=?==，解得b2=3，那么有橢圓E的方程為+=1．點評：此題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的求法和橢圓方程的運用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，同時考查直線和圓的位置關系，以及中點坐標公式和點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題．21．〔12分〕考點：數(shù)列的求和；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．專題：綜合題；創(chuàng)新題型；導數(shù)的綜合應用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：〔Ⅰ〕由Fn〔x〕=fn〔x〕﹣2=1+x+x2+…++xn﹣2，求得Fn〔1〕＞0，F(xiàn)n〔〕＜0．再由導數(shù)判斷出函數(shù)Fn〔x〕在〔，1〕內(nèi)單調(diào)遞增，得到Fn〔x〕在〔，1〕內(nèi)有且僅有一個零點xn，由Fn〔xn〕=0，得到；〔Ⅱ〕先求出，構造函數(shù)h〔x〕=fn〔x〕﹣gn〔x〕=1+x+x2+…++xn﹣，當x=1時，fn〔x〕=gn〔x〕．當x≠1時，利用導數(shù)求得h〔x〕在〔0，1〕內(nèi)遞增，在〔1，+∞〕內(nèi)遞減，得到fn〔x〕＜gn〔x〕．解答：證明：〔Ⅰ〕由Fn〔x〕=fn〔x〕﹣2=1+x+x2+…++xn﹣2，那么Fn〔1〕=n﹣1＞0，F(xiàn)n〔〕=1+．∴Fn〔x〕在〔，1〕內(nèi)至少存在一個零點，又，∴Fn〔x〕在〔，1〕內(nèi)單調(diào)遞增，∴Fn〔x〕在〔，1〕內(nèi)有且僅有一個零點xn，∵xn是Fn〔x〕的一個零點，∴Fn〔xn〕=0，即，故；〔Ⅱ〕由題設，，設h〔x〕=fn〔x〕﹣gn〔x〕=1+x+x2+…++xn﹣，x＞0．當x=1時，fn〔x〕=gn〔x〕．當x≠1時，．假設0＜x＜1，h′〔x〕＞=．假設x＞1，h′〔x〕＜=．∴h〔x〕在〔0，1〕內(nèi)遞增，在〔1，+∞〕內(nèi)遞減，∴h〔x〕＜h〔1〕=0，即fn〔x〕＜gn〔x〕．綜上，當x=1時，fn〔