不等式的均值定理

/7高二數(shù)學(xué)必修五使用時間：班級：組別：課題：均值不等式一學(xué)案…學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握均值定理的內(nèi)容，特別是等號成立的條件；2．理解均值定理的內(nèi)容及幾何意義，會用均值定理去解實際簡單的最值問題。?■/自主學(xué)習(xí)1不等式的對稱性用字母可以表示為.2不等式的傳遞性用字母可以表示為^3．不等式的加減法則是指不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)（或整式）不等號方向不變，用字母可以表示為；由此性質(zhì)和傳遞性可以得到兩個同向不等式可以相加，用字母可以表示為.4不等式的乘法法則是指不等式兩邊都乘以同一個不為零的正數(shù)，不等號方向不變用字母可以表示為；同時乘以同一個不為零的負(fù)數(shù)，不等號方向改變，用字母可以表示為；由此性質(zhì)和傳遞性可以得到兩個同向同正的不等式具有可乘性，用字母可以表示為。5乘方、開方法則要注意性質(zhì)僅針對于正數(shù)而言，若底數(shù)（或被開方數(shù)）為負(fù)數(shù)時，需先變形。如：貝U，—,3a3b6．倒數(shù)法則是對同號的兩個數(shù)而言的，即只要兩個數(shù)同號，那么大數(shù)的倒數(shù)就一定小，用字母可以表示為；若兩個數(shù)異號，由于正數(shù)大于所有負(fù)數(shù)，所以倒數(shù)的大小自然易判斷，如一那么倒數(shù)大小關(guān)系為?！献魈骄烤刀ɡ砣绻鸻,be凡那么竺b>ab。2當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。證明：算術(shù)平均數(shù)：幾何平均數(shù)：均值定理可以表述為：【思考與討論】均值不等式與不等式a2+b2>2ab的關(guān)系如何？請對此進(jìn)行討論。下面我們給出均值不等式的一個幾何直觀解釋,以加深同學(xué)們對均值不等式的理解。,,?一、………，一，一一a+b，一我們可以令正實數(shù)a,b為兩條線段的長，用幾何作圖的方法，作出長度為和ab的兩條線段，然后比較這兩條線段的長。具體作圖如下：⑴作線段AB=a+b，使AD=a,DB=b;⑵以AB為直徑作半圓O;⑶過D點作CD±AB于D,交半圓于點C；一八a+b⑷連接AC,BC,OC,則CO=。ba例1已知ab>0,求證：一+722，并推導(dǎo)出式中等號成立的條件。ab例2（1）一個矩形的面積為100m2。問這個矩形的長和寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長為36m。問這個矩形的長和寬各為多少時，它的面積最大？最大面積是多少？由例2的求解過程,可以總結(jié)出以下規(guī)律：例3求函數(shù)fQ）=_2x2+x—3（x>0）的最大值，以及此時x的值。x鞏固檢測1若、為正數(shù)且b則的最大值是42已知，則函數(shù)=X+一的最小值是2x-3

高二數(shù)學(xué)必修五使用時間：班級：組別：課題：均值不等式二學(xué)案,一學(xué)習(xí)目標(biāo)1．掌握均值定理的內(nèi)容，特別是等號成立的條件；2．進(jìn)一步理解均值定理的內(nèi)容及幾何意義，靈活運(yùn)用均值定理去解決實際簡單的最值問題。Y"/自主學(xué)習(xí).正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)為；幾何平均數(shù)為..均值不等式是。其中前者是，后者是.如何給出幾何解釋？.在均值不等式中、既可以表示數(shù)，又可以表示代數(shù)式，但都必須保證；另外并注明所需條件)

a并注明所需條件)

a+b()二一()+1—

x.試根據(jù)均值不等式寫出下列變形形式，()b+巴ab1()+-_x一5.在用均值不等式求最大值和最小值時，必須注意或是否為——值，并且還需要注意等號是否成立．.⑴函數(shù)一的最大值是；此時的值為__；．⑵函數(shù)一的最大值是—；此時的值為；⑶函數(shù)一的最大值是—；此時的值為；⑷函數(shù)十的最小值是；此時的值為__。_--合作探究例1.已知、、￡+8),且1,求證一a11+c19例2.()5已知＜求函數(shù)(2)已知,19,且一+—=xy十的最小值。(3)已知、為常數(shù)，求函數(shù)的最小值。-一鞏固檢測一．選擇題：1.下列命題正確的是（A.B.C.a+b《abD.4——最小值sinx2以下各命題的最小值是；(2)x2+2最小值是2；x2+1若）則（的最小值是4，其中正確的個數(shù)是（A．3段B．1則不成立的不等式為（C.)D.A．B．C.b2a2D.1+1>ab-2-a+b＋，A．5.已知B．11,則一+-的最小值等于（abC.D.A．下列不等式錯誤的是（a2+b2B．a(chǎn)>2C.ab<2ab

a+bD.2ab>at+b-1a+bi:ab2幾何平均數(shù)ab；圓中的相交弦定理的推論（略）。a+b幾何平均數(shù)ab；圓中的相交弦定理的推論（略）?！猑ab；算術(shù)平均數(shù)，￡；+.⑴三￡)⑵三ab￡+.⑴三￡)⑵三ab￡+⑶三異號）);⑷三(5)W—(6)W);.定。⑷一.⑴，；⑵，【典例解析】⑷一1例.解析：原式=（—aba(一十)abca+(一十一)acbc(—+—)cb當(dāng)且僅當(dāng)1=時取等號。例2.解析：5<時即（）解法一、原式=（十…、、『19號成立，又一十—=??xy19解法二、由一+-=得（

xy時即，3—十=當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，???當(dāng)=時，取最大值是19y)(—+—)=-+——時，取得最小值y9x當(dāng)且僅當(dāng)x=-y時等為定值，又依題意可知???當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值（）解法一、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題（略）解法m+n、解法?。?（a一b）2

二丁，當(dāng)且僅當(dāng)a+b-—時，等號成立。..?當(dāng)a+b（a一b）2-—時取得最小值一一元二次不等式及其解法(2)x