云南省昆明市官渡區(qū)金馬中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

云南省昆明市官渡區(qū)金馬中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則直線方程為(A)(B)

(C)(D)參考答案：D2.某四棱錐的三視圖如圖所示，在四棱錐的四個側(cè)面中，面積的最大值是（

）A. B. C.2 D.3參考答案：D【分析】首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，然后求解其幾個側(cè)面積中的最大值即可.【詳解】如圖所示，三視圖對應(yīng)的幾何體為圖中的四棱錐，其中正方體的棱長為2，點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，很明顯，，由于，故，，，則四棱錐的四個側(cè)面中，面積的最大值是3.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖還原幾何體的方法，三角形面積公式及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3.若是函數(shù)的零點(diǎn)，則屬于區(qū)間（

）A.

B．

C．

D．參考答案：A4.下面敘述正確的是（

）A．過平面外一點(diǎn)只能作一條直線與這個平面平行B．過直線外一點(diǎn)只能作一個平面與這條直線平行C．過平面外一點(diǎn)只能作一個平面與這個平面垂直

D．過直線外一點(diǎn)只能作一個平面與這條直線垂直參考答案：D略5.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2且傾角為45°的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，以下結(jié)論中：①△ABF1的周長為8；②原點(diǎn)到l的距離為1；③|AB|＝；正確的結(jié)論有幾個

（

）A．3

B．2C．1

D．0參考答案：A略6.已知|z|＝3，且z＋3i是純虛數(shù)，則z＝()A．－3i

B．3i

C．±3i

D．4i參考答案：B7.以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn)．已知|AB|=4，|DE|=2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：B【考點(diǎn)】圓與圓錐曲線的綜合；拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】畫出圖形，設(shè)出拋物線方程，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)拋物線為y2=2px，如圖：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，xA==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：4．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線與圓的方程的應(yīng)用，考查計算能力．轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．8.直線2x﹣y+k=0與4x﹣2y+1=0的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．不平行C．平行或重合 D．既不平行也不重合參考答案：C【考點(diǎn)】方程組解的個數(shù)與兩直線的位置關(guān)系．【專題】計算題．【分析】化簡方程組得到2k﹣1=0，根據(jù)k值確定方程組解的個數(shù)，由方程組解得個數(shù)判斷兩條直線的位置關(guān)系．【解答】解：∵由方程組，得2k﹣1=0，當(dāng)k=時，方程組由無窮多個解，兩條直線重合，當(dāng)k≠時，方程組無解，兩條直線平行，綜上，兩條直線平行或重合，故選C．【點(diǎn)評】本題考查方程組解得個數(shù)與兩條直線的位置關(guān)系，方程有唯一解時，兩直線相交，方程組有無窮解時，兩直線重合，方程組無解時，兩直線平行．9.設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值是A．

B．C．D．參考答案：B10.復(fù)數(shù)1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模為()A．2cos

B．－2cos

C．2sin D．－2sin參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)F1和F2是雙曲線﹣y2=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積是_________．參考答案：

1略12.已知兩曲線的參數(shù)方程分別為和，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為___________________。參考答案：13.某服裝商場為了了解毛衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了某4個月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x(℃)171382月銷售量y(件)24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的，氣象部門預(yù)測下個月的平均氣溫約為6℃，據(jù)此估計，該商場下個月毛衣的銷售量約為________件．參考答案：46

14.若，則=

.參考答案：315.參考答案：16.雙曲線的離心率大于的充分必要條件是

．參考答案：m>1

17.已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2+（2﹣2a）x+（a＞0），若存在三個不相等的正實數(shù)x1，x2，x3，使得=3成立，則a的取值范圍是

．參考答案：（，）考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：若存在三個不相等的正實數(shù)x1，x2，x3，使得=3成立，等價為方程f（x）=3x存在三個不相等的實根，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值，利用極大值大于0，極小值小于0，即可得到結(jié)論．解答： 解：若存在三個不相等的正實數(shù)x1，x2，x3，使得=3成立，即方程f（x）=3x存在三個不相等的實根，即lnx+ax2+（2﹣2a）x+=3x，lnx+ax2﹣（1+2a）x+=0有三個不相等的實根，設(shè)g（x）=lnx+ax2﹣（1+2a）x+，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=+2ax﹣（1+2a）==，由g′（x）=0得x=1，x=，則g（1）=a﹣1﹣2a+=﹣1﹣a+，g（）=ln+a（）2﹣（1+2a）+=﹣1﹣ln2a．若=1，即a=時，g′（x）=≥0，此時函數(shù)g（x）為增函數(shù)，不可能有3個根，若＞1，即0＜a＜時，由g′（x）＞0得x＞或0＜x＜1，此時函數(shù)遞增，由g′（x）＜0得1＜x＜，此時函數(shù)遞減，則當(dāng)x=1時函數(shù)g（x）取得極大值g（1）=﹣1﹣a+，當(dāng)x=時函數(shù)g（x）取得極小值g（）=﹣1﹣ln2a，此時滿足g（1）=﹣1﹣a+＞0且g（）=﹣1﹣ln2a＜0，即，即，則，解得＜a＜．同理若＜1，即a＞時，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜，此時函數(shù)遞增，由g′（x）＜0得＜x＜1，此時函數(shù)遞減，則當(dāng)x=1時函數(shù)g（x）取得極小值g（1）=﹣1﹣a+，當(dāng)x=時函數(shù)g（x）取得極大值g（）=﹣1﹣ln2a，此時滿足g（1）=﹣1﹣a+＜0且g（）=﹣1﹣ln2a＞0，即，∵a＞，∴2a＞1，則ln2a＞0，則不等式ln2a＜﹣1不成立，即此時不等式組無解，綜上＜a＜．故答案為：點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為方程f（x）=3x存在三個不相等的實根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓M：的左頂點(diǎn)為A，與x軸平行的直線與橢圓M交于B，C兩點(diǎn)，，.已知橢圓M離心率，且點(diǎn)在橢圓M上.（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明點(diǎn)D在一條定直線上運(yùn)動，并求出該直線方程；（3）求△BCD面積的最大值.參考答案：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，由題，可得：，即①，即②聯(lián)立①②，化簡整理得，，故點(diǎn)在定直線上運(yùn)動.（3）由（2）可得，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，又，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.19.已知點(diǎn)F為拋物線E：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（2，m）在拋物線E上，且|AF|=3，（Ⅰ）求拋物線E的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)G（﹣1，0），延長AF交拋物線E于點(diǎn)B，證明：以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】解法一：（I）由拋物線定義可得：|AF|=2+=3，解得p．即可得出拋物線E的方程．（II）由點(diǎn)A（2，m）在拋物線E上，解得m，不妨取A，F(xiàn)（1，0），可得直線AF的方程，與拋物線方程聯(lián)立化為2x2﹣5x+2=0，解得B．又G（﹣1，0），計算kGA，kGB，可得kGA+kGB=0，∠AGF=∠BGF，即可證明以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．解法二：（I）同解法一．（II）由點(diǎn)A（2，m）在拋物線E上，解得m，不妨取A，F(xiàn)（1，0），可得直線AF的方程，與拋物線方程聯(lián)立化為2x2﹣5x+2=0，解得B．又G（﹣1，0），可得直線GA，GB的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)F（1，0）到直線GA、GB的距離，若相等即可證明此以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．【解答】解法一：（I）由拋物線定義可得：|AF|=2+=3，解得p=2．∴拋物線E的方程為y2=4x；（II）證明：∵點(diǎn)A（2，m）在拋物線E上，∴m2=4×2，解得m=，不妨取A，F(xiàn)（1，0），∴直線AF的方程：y=2（x﹣1），聯(lián)立，化為2x2﹣5x+2=0，解得x=2或，B．又G（﹣1，0），∴kGA=．kGB==﹣，∴kGA+kGB=0，∴∠AGF=∠BGF，∴x軸平分∠AGB，因此點(diǎn)F到直線GA，GB的距離相等，∴以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．解法二：（I）同解法一．（II）證明：點(diǎn)A（2，m）在拋物線E上，∴m2=4×2，解得m=，不妨取A，F(xiàn)（1，0），∴直線AF的方程：y=2（x﹣1），聯(lián)立，化為2x2﹣5x+2=0，解得x=2或，B．又G（﹣1，0），可得直線GA，GB的方程分別為：x﹣3y+2=0，=0，點(diǎn)F（1，0）到直線GA的距離d==，同理可得點(diǎn)F（1，0）到直線GA的距離=．因此以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．【點(diǎn)評】本小題主要考查拋物線、直線與拋物線及其圓的位置關(guān)系及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，屬于難題．20.（本小題滿分9分）在數(shù)列中，，

.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（Ⅲ）求數(shù)列的前項和.參考答案：（Ⅰ）解：因為，

，所以，……………………2分

.…………………4分（Ⅱ）證明：因為，又，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.……5分

所以，

即，所以的通項公式為

.…………6分（Ⅲ）解：因為的通項公式為

，所以當(dāng)是正奇數(shù)時，.……………7分當(dāng)是正偶數(shù)時，.………………8分綜上，

…………………9分21.如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn).已知，.求證：（1）直線PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC.參考答案：證明：（1）因為D，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PA

……………2分又因為PA平面DEF，DE平面DEF，

……………4分所以直線PA∥平面DEF

……………5分（2）因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，EF∥BC，且DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因為DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，

……………6分所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF

……………7分又PA⊥AC，DE