立體幾何直線 平面垂直的判定及性質(zhì) 課件

第七章立體幾何第五節(jié)直線、平面垂直的判定及性質(zhì)考綱要求考情分析以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的判定定理與有關(guān)性質(zhì).1.(理)從考查內(nèi)容看，高考對本考點(diǎn)重點(diǎn)考查線線垂直、線面垂直和面面垂直的判定和性質(zhì)以及線面角、二面角的求法.(文)從考查內(nèi)容看，本考點(diǎn)重點(diǎn)考查線線垂直、線面垂直和面面垂直的判定和性質(zhì)；從近幾年的高考看，線面角的求法也逐漸成為考查的重點(diǎn).2.從考查形式看，主要以解答題為主，且常將位置關(guān)系的證明與角的求法結(jié)合在一起命題，綜合考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力.一、直線與平面垂直1．直線和平面垂直的定義直線l與平面α內(nèi)的

一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．任意2．直線與平面垂直的判定與性質(zhì)兩條相交直線平行a、b?α

a∩b＝O

l⊥b

l⊥a

a⊥α

b⊥α

它在平面內(nèi)的射影1．兩條直線和一個平面所成的角相等，這兩條直線的位置關(guān)系怎樣？提示：平行、相交、異面三種情況都有可能．二、平面與平面垂直1．二面角的有關(guān)概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的

所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作

的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角的范圍：[0，π]．兩個半平面垂直于棱2．平面和平面垂直的定義兩個平面相交，如果所成的二面角是

，就說這兩個平面互相垂直．直二面角3．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理垂線交線l?β

l⊥α

α⊥β

l?β

α∩β＝a

l⊥a

2．垂直于同一平面的兩平面是否平行？提示：不一定，可能平行也可能相交．1．設(shè)l、m、n均為直線，其中m、n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：當(dāng)l⊥α?xí)r，l⊥m且l⊥n.但當(dāng)l⊥m，l⊥n時(shí)，若m、n不是相交直線，則得不到l⊥α.答案：A2．將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線AD折起得到四面體ABCD(如圖2)，則在四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是(

)

A．相交且垂直 B．相交但不垂直C．異面且垂直 D．異面但不垂直解析：由題意知AD⊥BD，AD⊥DC，又BD∩DC＝D，故AD⊥平面BCD.又BC?平面BCD，所以AD⊥BC.又AD與BC異面，故選C.答案：C3．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1C與平面DD1B1B所成角的大小是(

)A．15°

B．30°

C．45°

D．60°4．設(shè)α，β是空間兩個不同的平面，m，n是平面α及β外的兩條不同直線．從“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中選取三個作為條件，余下一個作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：________．(用代號表示)解析：將①③④作為條件，構(gòu)造長方體進(jìn)行證明，即從長方體的一個頂點(diǎn)出發(fā)的兩條棱與其對面垂直，這兩個對面互相垂直，故①③④?②；對于②③④?①，可仿照前面的例子進(jìn)行證明．答案：①③④?②(或②③④?①)5．(理)設(shè)P是60°的二面角α－l－β內(nèi)一點(diǎn)，PA⊥α，PB⊥β，A、B分別為垂足，PA＝2，PB＝4，則AB的長是________．解析：如圖所示，PA與PB確定平面γ，設(shè)平面γ與l交于點(diǎn)E，則BE⊥l，AE⊥l，∴∠BEA即為二面角的平面角，5．(文)在正三棱錐P－ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，有下列三個論斷：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中所有正確論斷的序號為________．解析：取AC中點(diǎn)O，連接PO，BO，則AC⊥PO，AC⊥BO，又PO∩BO＝O，所以AC⊥平面POB，故AC⊥PB.由AC∥DE知AC∥平面PDE.顯然③不成立．答案：①②

【考向探尋】1．直線與平面垂直的判定．2．直線與平面垂直的性質(zhì)．3．直線與平面垂直的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【典例剖析】(1)如圖甲，在△ABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，則圖中直角三角形的個數(shù)是________．

(1)利用線面垂直的判定、性質(zhì)尋求圖中的垂直關(guān)系．(2)①證明PH⊥AD，PH⊥AB即可．②由①知PH為四棱錐的高，證四邊形ABCD為直角梯形，根據(jù)公式求體積即可．③取PA中點(diǎn)M，證DM⊥平面PAB及EF∥DM即可．(1)解析：∵PA⊥平面ABC，AB，AC?平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.又CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB.∴CB⊥PB.∴△PAB，△PAC，△PBC，△ABC均為直角三角形．答案：4(2)①證明：因?yàn)锳B⊥平面PAD，PH?平面PAD，所以PH⊥AB.因?yàn)镻H為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD.因?yàn)镻H?平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.②解：因?yàn)镻D＝AD，所以MD⊥PA.因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因?yàn)镻A∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.(1)證明直線和平面垂直的常用方法有(2)當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，該直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，常用來證明線線垂直．方法一利用判定定理證明方法二利用a∥b，a⊥α則b⊥α證明．方法三利用a⊥α，α∥β則?a⊥β證明.方法四利用面面垂直的性質(zhì)【活學(xué)活用】1.(理)如右圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.(2)如圖所示，連接PM，CM，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC，∴PA＝BC.又∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴AM＝BM，而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴PM＝CM.又∵N為PC的中點(diǎn)，∴MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.1.(文)如圖，已知三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，且△PMB為正三角形，求證：(1)MD∥平面APC；(2)BC⊥平面APC.證明：(1)∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，∴MD∥AP.又MD?平面APC，AP?平面APC，∴MD∥平面APC.(2)∵△PMB為正三角形，D為PB的中點(diǎn)，∴MD⊥PB.又由(1)知MD∥AP，∴AP⊥PB，又已知AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC.又AC⊥BC，AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC.【考向探尋】1．平面與平面垂直的判定．2．平面與平面垂直的性質(zhì)．3．平面與平面垂直的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．【典例剖析】(1)(2012·浙江高考)設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面A．若l∥α，l∥β，則α∥β

B．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β

D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β(2)(2012·江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)．

求證：①平面ADE⊥平面BCC1B1；②直線A1F∥平面ADE.題號分析(1)利用線面、面面關(guān)系定理判定(2)①先證AD⊥平面BCC1B1，再證兩平面垂直；②轉(zhuǎn)化為證明A1F∥AD即可.(1)解析：設(shè)α∩β＝a，若直線l∥

a，且l?α，l?β，則l∥

α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A錯誤；由于l∥

α，故在α內(nèi)存在直線l′∥

l，又因?yàn)閘⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正確；若α⊥β，在β內(nèi)作交線的垂線l，則l⊥α，此時(shí)l在平面β內(nèi)，因此C錯誤；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥

a，且l不在平面α，β內(nèi)，則l∥

α且l∥

β，因此D錯誤．答案：B(2)證明：①因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.又AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.因?yàn)锳D?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.②因?yàn)锳1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1F⊥B1C1.因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因?yàn)镃C1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥

AD.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE.(1)證明平面和平面垂直的方法①利用定義證明．只需判定兩平面所成的二面角為直二面角即可．②利用線面垂直的判定定理．此種方法要注意平面內(nèi)的兩條直線必須相交．(2)面面垂直的性質(zhì)應(yīng)用技巧：兩平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面．這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)．運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．兩個相交平面同時(shí)垂直于第三個平面，那么它們的交線也垂直于第三個平面．【活學(xué)活用】2.如圖所示，已知矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，將矩形沿對角線BD把△ABD折起，使A移到A1點(diǎn)，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．(1)求證：BC⊥A1D；(2)求證：平面A1BC⊥平面A1BD.證明：(1)∵A1在平面BCD上的射影O在CD上，∴A1O⊥平面BCD，又BC?平面BCD，∴BC⊥A1O.又BC⊥CO，A1O∩CO＝O，∴BC⊥平面A1CD，又A1D?平面A1CD，∴BC⊥A1D.(2)∵ABCD為矩形，∴A1D⊥A1B，由(1)知A1D⊥BC，A1B∩BC＝B，∴A1D⊥平面A1BC，又A1D?平面A1BD，∴平面A1BC⊥平面A1BD.(理)【考向探尋】1．與平行、垂直有關(guān)的綜合問題．2．與垂直、平行有關(guān)的折疊、探索性問題．3．求二面角的大?。镜淅饰觥?/p>

(1)求證：AA1⊥BC；(2)求AA1的長；(3)求二面角A-BC-A1的余弦值．解答此題可按以下思路進(jìn)行：(1)先證CB⊥DD1，BC⊥AD，進(jìn)而證得BC⊥平面AD1A1D，從而可得結(jié)論．(2)延長A1D1到G，使GD1＝AD，可求得AG及A1G，再利用勾股定理求解．(3)作出二面角的平面角，用通過解三角形求解．(1)證明：如圖③，取BC，B1C1的中點(diǎn)分別為D和D1，連接A1D1，DD1，AD，A1D，AD1.由條件可知，BC⊥AD，B1C1⊥A1D1.由上可得AD⊥平面BB1C1C，A1D1⊥平面BB1C1C，由此得AD∥A1D1，即AD，A1D1確定平面AD1A1D.又因?yàn)镈D1∥BB1，BB1⊥BC，所以DD1⊥BC.又AD⊥BC，AD∩DD1＝D，所以BC⊥平面AD1A1D，又AA1?平面AD1A1D.故BC⊥AA1.(2)解：延長A1D1到G點(diǎn)，使GD1＝AD.連接AG，則AD∥GD1.所以四邊形AGD1D為平行四邊形．所以AG∥DD1，又DD1∥BB1，所以AG∥BB1.由于BB1⊥平面A1B1C1，所以AG⊥平面A1B1C1，又A1G?平面A1B1C1，所以AG⊥A1G.由條件可知，A1G＝A1D1＋D1G＝3，AG＝4，所以AA1＝5.【活學(xué)活用】3．三棱錐P－ABC中，PC、AC、BC兩兩垂直，BC＝PC＝1，AC＝2，E、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn)．(1)求證：平面GFE∥平面PCB；(2)求二面角B－AP－C的正切值．(1)證明：因?yàn)镋、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn)，所以EF∥BC，GF∥CP.因?yàn)镋F，GF?平面PCB.所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.

(文)【考向探尋】1．與垂直、平行有關(guān)的綜合問題．2．與平行、垂直有關(guān)的折疊、探索性問題．3．求直線與平面所成角的大?。镜淅饰觥拷獯鸫祟}可按以下思路進(jìn)行(1)①先證C1B1∥平面A1D1DA，再利用線面平行的性質(zhì)證EF∥A1D1.②證明BA1⊥B1C1，BA1⊥B1F即可．(2)作出直線與平面所成的角，通過解三角形求解．②因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1.又因?yàn)锽1C1⊥B1A1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中，F(xiàn)是AA1的中點(diǎn)，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F.所以BA1⊥平面B1C1EF.(1)求線面角的方法根據(jù)線面角的定義作出直線與平面所成的角，然后通過解三角形的方法求出該角，其具體步驟是“作→證→求”．(2)解決垂直的綜合問題時(shí)要注意三種垂直相互轉(zhuǎn)化，具體為【活學(xué)活用】3.AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直，已知AB＝2，EF＝1.(1)求證：BF⊥平面DAF；(2)求BF與平面ABCD所成的角；(3)若AC與BD相交于點(diǎn)M，求證：ME∥平面DAF.

(1)證明：∵AB為圓O的直徑，∴BF⊥AF.又∵平面ABCD⊥圓O面，且平面ABCD∩圓