初高中數(shù)學銜接知識點專題

初高中數(shù)學銜接知識點專題初中的數(shù)學與高中的知識點有密切的聯(lián)系，學好數(shù)學對高考的總分影響很大！★專題一數(shù)與式的運算【要點回顧】1．絕對值絕對值的代數(shù)意義="即1a|=.絕對值的幾何意義：的距離■兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：\a-b表示的距離.兩個絕對值不等式:Ixl<a（a>0）o；Ixl>a（a>0）o2?乘法公式我們在初中已經(jīng)學習過了下列一些乘法公式：平方差公式：.；完全平方和公式：；完全平方差公式：我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：[公式1]（a+b+c）2二[公式2]二a3+b3（立方和公式）[公式3]二a3-b（立方差公式）說明:上述公式均稱為“乘法公式”?3.根式_式子著（a>0）叫做二次根式，其性質(zhì)如下：（斗a）2=；（2）<a2=；（3）*ab=;（4）平方根與算術(shù)平方根的概念：叫做a的平方根，記作x二士雷（a>0），其中材a（a>0）叫做a的算術(shù)平方根._立方根的概念：叫做a的立方根，記為x二3a4?分式分母（子）有理化把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程.而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程【例題選講】例3已知x2-3x=1=0，求X3+丄的值.x3(x>(x>1)(2)\.;(1-x)2+\''(2—x)2

★專題二因式分解1．公式法常用的乘法公式：TOC\o"1-5"\h\z平方差公式：;完全平方和公式：；完全平方差公式：.(a+b+c)2二a3+b3=(立方和公式)a3-b3二(立方差公式)分組分解法從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式．而對于四項以上的多項式，如ma+mb+na+nb既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取?因此，可以先將多項式分組處理?這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組．常見題型：(1)分組后能提取公因式(2)分組后能直接運用公式十字相乘法x2+(p+q)x+pq型的因式分解這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點是：①二次項系數(shù)是1；②常數(shù)項是兩個數(shù)之積；③一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和.?/x2+(p+q)x+pq二x2+px+qx+pq二x(x+p)+q(x+p)二(x+p)(x+q),x2+(p+q)x+pq二(x+p)(x+q)運用這個公式，可以把某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式.—般二次三項式ax2+bx+c型的因式分解由aax2+(ac+ac)x+cc二(ax+c)(ax+c)我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)a分解成aa,常數(shù)項c12122112112212a乂c分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2寫成a1c1，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到a1c2+a2c1，如果它正好121212221221等于ax2+bx+c的一次項系數(shù)b,那么ax2+bx+c就可以分解成(耳x+c/^x+c?),其中耳,[位于上—行，a2,c2位于下一行?這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗試，才能確定—個二次三項式能否用十字相乘法分解.其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：(1)配方法(2)拆、添項法【例題選講】⑵2x2+4xy+2y2一8z2(2)x2-2⑵2x2+4xy+2y2一8z2(2)x2-2x-15(4)(x2+x)2—8(x2+x)+12例2(分組分解法)分解因式:(1)ab(c2-d2)-(a2-b2)cd例3(十字相乘法)把下列各式因式分解:(1)x2+5x-24⑶x2+xy-6y2

例4(十字相乘法)把下列各式因式分解:(1)12x2-5x-2；(2)5x2+6xy-8y2說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要．當二次項系數(shù)不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對值，然后調(diào)整，添加正、負號．例5(拆項法)分解因式x3-3x2+4★專題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【要點回顧】1．一元二次方程的根的判斷式—元二次方程ax2+bx+c二0(a豐0)，用配方法將其變形為：.由于可以用b2-4ac的取值情況來判定一元二次方程的根的情況?因此，把b2-4ac叫做—元二次方程ax2+bx+c二0(a豐0)的根的判別式，表示為：A=b2-4ac對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0),有當A_0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根：當A_0時，方程有兩個相等的實數(shù)根：當A0時，方程沒有實數(shù)根.2■—元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系定理：如果一元二次方程ax2+bx+c二0(a豐0)的兩個根為t，x2，那么：，xx說明：—元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀的法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達定理”?上述定理成立的前提是A>0.特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程X2+px+q=0,若勺宀2是其兩根，由韋達定理可知X]+X2二一p,X].x2二q,即p=—(X]+x2),q二X].x2,所以，方程X2+px+q二0可化為x2—(xi+x2)x+xi^x2=0,由于X],x2是一元二次方程x2+px+q二0的兩根，所以，X],x2也是一元二次方程x2-(X]+x2)x+xjx2=0.因此有以兩個數(shù)X],x2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是x2-(xi+x2)x+xi^2=0.【例題選講】例3若x2是方程x2+2x-2007=0的兩個根，試求下列各式的值：(1)x2+x2；(1)x2+x2；12(4)|x-x|12(2)+;(3)(x-5)(x-5);xx1212鞏固練習】111.若x,x是方程2x2-6x+3=0的兩個根，則一+—的值為(12xx9D.9D.2B.-21B.-2C.2★專題四平面直角坐標系、一次函數(shù)、反比例函數(shù)【要點回顧】平面直角坐標系組成平面直角坐標系。叫做x軸或橫軸，叫做y軸或縱軸，x軸與y軸統(tǒng)稱坐標軸，他們的公共原點o稱為直角坐標系的原點。平面直角坐標系的對稱點：對稱點或?qū)ΨQ直線方程對稱點的坐標x軸y軸原點

點(a,b)直'^線x—a直線y=b直線y二x直線y二—x2．函數(shù)圖象一次函數(shù)：稱y是x的一次函數(shù)，記為：y=kx+b(k、b是常數(shù)，《0)特別的，當b=0時，稱y是x的正比例函數(shù)。正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y二kx(k是常數(shù)，k丸)的圖象是的一條直線，當.時，圖象過原點及第一、第三象限，y隨x的增大而；當時，圖象過原點及第二、第四象限，y隨X的增大而..一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=kx+b(k、b是常數(shù)，《0)的圖象是過點(0,b)且與直線y二kx平行的—條直線?設(shè)y=kx+b(&0),則當時，y隨x的增大而.；當時，y隨x的增大而.k反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=—(k丸)是雙曲線，當時，圖象在第一、第三象限，在每個象x限中，y隨X的增大而’；當時，圖象在第二、第四象限?，在每個象限中，y隨X的增大而?雙曲線是軸對稱圖形，對稱軸是直線y—x與y=-x;又是中心對稱圖形，對稱中心是原點.k例3如圖，反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=mx+b的圖象交于A(13)，B(n，—1)兩點.x(1)求反比例函數(shù)與—次函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象回答：當x取何值時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值.k33解：(1)QA(13)在y=一的圖象上，???k=3，???y=一又QB(n，—D在y=一的圖象xxx13二m+b上,二n=—3，即B(-3,-1)，]—]=_3m+b解得：m二1，b二2，反比例函數(shù)的解析式為y=-，—次函數(shù)的解析式為y=x+2,x(2)從圖象上可知，當x<—3或0<x<1時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，所以反比例函數(shù)的值大于—次函數(shù)的值?！飳ｎ}五二次函數(shù)【要點回顧】■二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)問題[2]函數(shù)y=a(x+h)2+k與y二ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a丸)的圖象的方法：bbb2b2bb2—4ac由于y二ax2+bx+c二a(x2+x)+c二a(x2+x+)+c-=a(x+)2+，所以，y=aa4a24a2a4aax?+bx+c(a^0)的圖象可以看作是將函數(shù)y二ax?的圖象作左右平移、上下平移得到的，二次函數(shù)丫=ax2+bx+c(a曲)具有下列性質(zhì)：

當a>0時，函數(shù)y二ax2+bx+c圖象開口方向；頂點坐標為對稱軸為直線；當.時，y隨著x的增大而；當時，y隨著x的增大而；當時，函數(shù)取最小值當a<0時，函數(shù)y二ax已知某二次函數(shù)的圖象與X軸交于A(-2,0)，B(1,已知某二次函數(shù)的圖象與X軸交于A(-2,0)，B(1,0)，且過點C(2,4)，則該二次函數(shù)的表達式為.已知某二次函數(shù)的圖象過點(-1,0)，(0，3)，(1,4)，則該函數(shù)的表達式為.★專題六二次函數(shù)的最值問題【要點回顧】1?二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)的最值.線當時，y隨著X的增大而.；當時，y隨著X的增大而；當時,函數(shù)取最大值.))))上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過上圖直觀地表示出來．因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題.2．二次函數(shù)的三種表示方式二次函數(shù)的三種表示方式："—般式：；"頂點式=；?交點式：說明：確定二此函數(shù)的關(guān)系式的一般方法是待定系數(shù)法，在選擇把二次函數(shù)的關(guān)系式設(shè)成什么形式時,可根據(jù)題目中的條件靈活選擇，以簡單為原則.二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)如下三種形式：給出三點坐標可利用—般式來求；給出兩點，且其中一點為頂點時可利用頂點式來求.給出三點，其中兩點為與x軸的兩個交點(「0).(x2，0)時可利用交點式來求.例3已知函數(shù)y二x2,-2<x<a，其中a2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應(yīng)的自變量x的值.鞏固練習】1.選擇題：⑴把函數(shù)y=-(x-1)2+4的圖象的頂點坐標是()(D)(1，4)(A)(-1，4)(B)(-1，-4)(C)(1，-4)2)函數(shù)y=-X2+4X+6的最值情況是()(A)有最大值6(B)有最小值6(C)有最大值10(D)有最大值23)函數(shù)y=2x2+4x-5中，當-3<x<2時,則y值的取值圍是()(A)-3<y<1(B)-7<y<1(C)-7<y<11(D)-7<y<112.填空：

4ac-b244ac-b24a二次函數(shù)在自變量x取任意實數(shù)時的最值情況（當a>0時，函數(shù)在x=-2a處取得最小值b4ac-b2無最大值；當a<0時，函數(shù)在x=-處取得最大值，無最小值.2a4a2．二次函數(shù)最大值或最小值的求法．第一步確定a的符號，a>0有最小值，a<0有最大值；第二步配方求頂點，頂點的縱坐標即為對應(yīng)的最大值或最小值．3．求二次函數(shù)在某一圍的最值．如：y二ax2+bx+c在m<x<n（其中m<n）的最值．第一步：先通過配方，求出函數(shù)圖象的對稱軸：x二x0；第二步：討論：若a>0時求最小值或a<0時求最大值，需分三種情況討論：對稱軸小于m即xo<m，即對稱軸在m<x<n的左側(cè)；對稱軸m<x0<n，即對稱軸在m<x<n的部；對稱軸大于n即x0>n，即對稱軸在m<x<n的右側(cè)。若a>0時求最大值或a<0時求最小值，需分兩種情況討論：—m+n‘‘①對稱軸x0<—，即對稱軸在m<x<n的中點的左側(cè)；②對稱軸②對稱軸x0>即對稱軸在m<x<n的中點的右側(cè)；例題選講】例1求下列函數(shù)的最大值或最小值．⑴y二2x2-3x-5;⑵y二一x2-3x+4.例2當1<x<2時，求函數(shù)y=-x2-x+1的最大值和最小值.例3當x>0時，求函數(shù)y=-x（2-x）的取值圍.例4當t<x<t+1時，求函數(shù)y=2x2-x-1的最小值（其中t為常數(shù)）.分析：由于x所給的圍隨著t的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其圍的相對位置.1解：函數(shù)y1解：函數(shù)y=x2的對稱軸為x=1畫出其草圖.(1)當對稱軸在所給圍左側(cè)?即t>1時：當x=t時，yi=2—t—5；(1)min22(2)當對稱軸在所給圍之間?即t<1<t+1n0<t<1時：當x=1時，y=1xl2_1—5=—3；(2)min22(3)當對稱軸在所給圍右側(cè)?即t+1(3)當對稱軸在所給圍右側(cè)?即t+1<1nt<0時：當x二t+1時，yt2—3,t<02綜上所述：y=1—3,0<t<1綜上所述：y=115t2—t—,t>122鞏固練習】1?拋物線y=x2—(m—4)x+2m—3，當m二時，圖象的頂點在y軸上；當m二時，圖象的頂點在x軸上；當m二時，圖象過原點.?用一長度為l米的鐵絲圍成一個長方形或正方形，則其所圍成的最大面積為?.設(shè)a>0，當—1<x<1時，函數(shù)y=—x2-ax+b+1的最小值是一4，最大值是0,求a,b的值.4?已知函數(shù)y=x2+2ax+1在—1<x<2上的最大值為4，求a的值.5?求關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2—2tx+1在—1<x<1上的最大值(t為常數(shù))?★專題七不等式【要點回顧】1．一元二次不等式及其解法定義：形如為關(guān)于x的一元二次不等式.—元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a豐0)及一元二次方程ax2+bx+c=0的關(guān)系(簡稱：三個二次)．(i)一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：將二次項系數(shù)先化為正數(shù)；觀測相應(yīng)的二次函數(shù)圖象.

①如果圖象與x軸有兩個交點(x,0),(x,0)，此時對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根12X］，x2(也可由根的判別式A>0來判斷)?貝I」L^-f-&r-hc>0J/4■延岐Qb如果圖象與x軸只有一個交點(-,0),此時對應(yīng)的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根2ax=x=一(也可由根的判別式人=0來判斷)?則：x22a如果圖象與x軸沒有交點，此時對應(yīng)的一元二次方程沒有實數(shù)根(也可由根的判別式Av0來判斷)?則：￡("耳<=>(ii)解一元二次不等式的步驟是：(1)化二次項系數(shù)為正；⑵若二次三項式能分解成兩個一次因式的積，則求出兩根xi,x2?那么“>°”型的解為X<X］或x>x2(俗稱兩根之外)；“v0”型的解為xi<x<x2(俗稱兩根之間)；b4ac-b2⑶否則，對二次三項式進行配方，變成ax2+bx+c=a(x+2a)2+4a，結(jié)合完全平方式為非負數(shù)的性質(zhì)求解?2．簡單分式不等式的解法解簡單的分式不等式的方法：對簡單分式不等式進行等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為整式不等式，應(yīng)當注意分母不為零.3．含有字母系數(shù)的一元一次不等式—元一次不等式最終可以化為ax>b的形式.b［1］當a>0時，不等式的解為：x>；［2］當a<0時,［2］當a<0時,不等式的解為：x<-a⑶當a=0時，不等式化為：0-x>b;①若b>0，則不等式的解是全體實數(shù)；②若b<0，則不等式無解.例題選講】例1解下列不等式：(1)x2例1解下列不等式：(1)x2+x-6>0⑴解法一：原不等式可以化為⑵(x—1)(x+2)n(x—2)(2x+1)(x+3)(x-2)>0于是x+3<0x—2<0x+3>0Ix<—3Ix>—3x—2>0珂x<2或］x>2=x<—曲>2所以，原不等式的解是x<—巫>2?解法二：解相應(yīng)的方程x2+x—6=0得：X1—_3，x2—2，所以原不等式的解是x<—3或￥>2?(2)解法一：原不等式可化為：—X2+4x<0，即x2—4x>0nx(x—4)>0于是：或:x—或:x—4>0nx<°或“>4，所以原不等式的解是x<°或“>4x—4<0解法二：原不等式可化為：—x2+4x<0，即x2—4x>0，解相應(yīng)方程x2—4x=0，得x—0，x—4，所以原不等式的解是x<0或兀>4?12說明：解一元二次不等式，實際就是先解相應(yīng)的一元二次方程，然后再根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷出不等式的解.?各專題參考答案?專題一數(shù)與式的運算參考答案例1(】)解法「由x—2—0，得x—2；①若x>2，不等式可變?yōu)閤—2<1，即x<3;②若x<2，不等式可變?yōu)椤?x—2)<1，即—x+2<1,解得：x>1?綜上所述，原不等式的解為1<x<3?解法2:|x—2|表示x軸上坐標為x的點到坐標為2的點之間的距離，所以不等式|x—2|<1的幾何意義即為x軸上坐標為x的點到坐標為2的點之間的距離小于1,觀察數(shù)軸可知坐標為x的點在坐標為3的點的左側(cè)，在坐標為1的點的右側(cè)?所以原不等式的解為1<x<3?解法3:|x—2|<1o—l<x—2<1o1<x<3，所以原不等式的解為1<x<3.(2)解法一：由x—1—0，得x—1；由x—3—0，得x—3；①若x<1，不等式可變?yōu)椤?x—1)—(x—3)>4，即—2x+4>4,解得x<0,又x<1,.?.x<0②若1<x<2,不等式可變?yōu)?x—1)—(x—3)>4，即1>4，???不存在滿足條件的X；③若x>3，不等式可變?yōu)?x—1)+(x—3)>4，即2x—4>4，解得x>4?又x》，??.x>4.綜上所述，原不等式的解為x<0，或x>4.解法二：如圖，x—1表示x軸上坐標為x的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|=|x-1|;|x-3|表示x軸上點P到坐標為2的點B之間的距離|PB|，即|PB|=|x-3|.：叮色所以，不等式|x—1|+|x—3|>4的幾何意義即為|PA|+|PB|>4?由|AB|=2，PCABD|x－1|-)2+2x2(-v'2)x+2x2x—+|x－1|-)2+2x2(-v'2)x+2x2x—+2x—x(-\-''2x)所以原不等式的解為x<0，或x>4.例2(1)解：原式二[x2+(72x)+3]2—(x2)2+(—《2x)2+—x4一2\2x3說明：多項式乘法的結(jié)果一般是按某個字母的降冪或升冪排列.(2)原式二(5m)3—(|n)3—占m3—8n原式二(a2一4)(a4+4a2+42)—(a2)3一43—a6一64原式二(x+y)2(x2—xy+y2)2—[(x+y)(x2—xy+y2)]2—(x3+y3)2—x6+2x3y3+y6^例3^解:Qx2一3x=1=0?°?x乂0???x+1—3x原式二(x+丄)(x2—1+丄)—(x+丄)[(x+丄)2—3]—3(32—3)—18xx2xx例4解：Qa+b+c—0,「.a+b——c,b+c——a,c+a——b

b+ca+ca+ba(—a)b(—b)c(b+ca+ca+ba(—a)b(—b)c(—c)a2+b2+c2???原式—a-+b-+c?=++=—①bcacabbcacababcQa3+b3=(a+b)[(a+b)2—3ab]=—c(c2—3ab)=—c3+3abc3abc...a3+b3+c3=3abc②，把②代入①得原式——=—3abc3(2-73)3(2-羽)rC片例5解：(1)原式=(2+間(2—打)=三廠=6—兒3[(x—1)+(x—2)=2x—3(x>2)(2)原式—Ix—1I+1x—21=s(2)原式1(x—1)—(x—2)=1(1<x<2)說明：注意性質(zhì)￡a2=1aI的使用：當化去絕對值符號但字母的圍未知時，要對字母的取值分類討論.3)原式=a+ba2b+ab2ab-一2x(4)原式—2丫x-x2+x22x=y/2x—xjx+2\/2x=3—xjT2x2x==(2+3=7+4訂,y=7—4朽nx+y=14,xy=12-\；'322-3原式—(x+y)(x2—xy+y2)=(x+y)[(x+y)2—3xy]=14(142—3)=2702說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當直接代入運算較復雜時，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量.【鞏固練習】例6解：ab1.-4<x<32?—琴運3.-3或264.3—、：55.—x4—y4—z4+2x2y2+2x2z2+2y2z26.G)-3,(2)竽7，⑺人b從專題二因式分解答案例1分析：(1)中應(yīng)先提取公因式再進一步分解；(2)中提取公因式后，括號出現(xiàn)a6—b6，可看著是(a3)2—(b3)2或(a2)3—(b2)3.解：(1)3a3b—81b4=3b(a3—27b3)=3b(a—3b)(a2+3ab+9b2).a7—ab6=a(a6—b6)=a(a3+b3)(a3—b3)=a(a+b)(a2—ab+b2)(a—b)(a2+ab+b2)=a(a+b)(a—b)(a2+ab+b2)(a2—ab+b2)例2(1)分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式.解：ab(c2一d2)一(a2一b2)cd=abc2一abd2一a2cd+b2cd=(abc2一a2cd)+(b2cd一abd2)=ac(bc—ad)+bd(bc—ad)=(bc—ad)(ac+bd)(2)分析：先將系數(shù)2提出后，得到x2+2xy+y2—4z2，其中前三項作為一組，它是一個完全平方式,再和第四項形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式.解：2x2+4xy+2y2—8z2=2(x2+2xy+y2—4z2)=2[(x+y)2—(2z)2]=2(x+y+2z)(x+y—2z)例5解：x3—3x2+4=(x3+1)—(3x2—3)=(x+1)(x2—x+1)—3(x+1)(x—1)=(x+1)[(x2—x+1)—3(x—1)]=(x+1)(x2—4x+4)=(x+1)(x—2)2【鞏固練習】1.(1)(bc+ad)(ac—bd);(2)(x—4m+2n)(x—2n);(3)(x2—4x+8)(x2+4x+8);(x—1)(x—3)(x—7);(5)(x—2y)2(x+2y).

28—；；(2x2+x-1)+(2x2+3x+1)=X2+4x=x(x+4)其他情況如下：(2x2+x-1)+(2x2-x)=x2-1=(x+1)(x-1);(丄x2+3x+1)+(丄x2-x)=x2+2x+1=(x+1)222a3+a2c+b2c-abc+b3=(a2-ab+b2)(a+b+c)專題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習題答案例1解：T△=(-2)2-4x3xk=4-12k,(1)4-12k>0nk<1;⑵4-12k=0nk=3(3)4-12k(3)4-12k>0nk>3；(4)4-12k<0nk<3.例2解：可以把所給方程看作為關(guān)于x的方程，整理得：x2-(y-2)x+y2-y+1=0由于x是實數(shù)，所以上述方程有實數(shù)根，因此：人=[-(y一2)]2-4(y2-y+1)=-3y2>0ny=0,代入原方程得：x2+2x+1=0nx=-1.綜上知：x=-1,y=0例3解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2=-2,x1x2=-2007x2+x2=(x+x)2-2xx=(-2)2-2(-2007)=401812121211x+x-22—+——=2==xxxx-200720071212(x-5)(x-5)=xx-5(x+x)+25=-2007-5(-2)+25=-197212.1212Ix-xI=(x-x)2=(x+x)2-4xx=J(-2)2-4(-2007)=^/200812*121212利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：x12+x22=(x1+x2)2-2xxx+x12xx12(1)(2)(3)(4)說明：11+=■xx12

整體思想.(x-x)2=(x+x)2-4xx12121212,Ix-xl=J(x+x)2-4xx等等?韋達定理體現(xiàn)了1212*1212【鞏固練習】【鞏固練習】1.A;2.A;3.p=-1,q=-3;4.a=3,b=3,c=0;5.m=1(1)當3.p=-1,q=-3;33x+1=0，有實根；(2)當k豐3時，A>0也有實根.6.(1)k?-且公豐1；(2)k=7.專題四平面直角坐標系、一次函數(shù)、反比例函數(shù)參考答案例1解：(1)因為A、B關(guān)于x軸對稱，它們橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，所以x2=2,y1=3，則A(2,3)、B(2,-3).因為A、B關(guān)于y軸對稱，它們橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同，所以，x2=-2，y1=-3，則A(2,-3)、B(-2,-3).因為A、B關(guān)于原點對稱，它們的橫縱坐標都互為相反數(shù)，所以x2=-2，y1=3，則A(2,3)、B(-2,-3).例2分析:因為直線過第一、三象限，所以可知k>0，又因為b=2,所以直線與y軸交于(0，2)，即可知OB=2，而AAOB的面積為2，由此可推算出OA=2，而直線過第二象限，所以A點坐標為(-2,0)，

由A、B兩點坐標可求出此一次函數(shù)的表達式。解:VB是直線y二kx+2與y軸交點，???B(0,2),AOB=2,又QS=；AO-BO=2,:.AO=2AAOB2又Qy=kx+2，過第二象限，二A(-2,0)把x=-2,y=0代入y=kx+2中得k=1,:.y=x+2【鞏固練習】1.B2.D(2,2)、C(&2)、B(6,0).3.(1)k=8.⑵點P的坐標是P(2,4)或P(8,l).專題五二次函數(shù)參考答案例1解：°.°y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4,函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線x=-1；頂點坐標為(－1，4)；當x=-1時，函數(shù)y取最大值y=4;當x<-l時，y隨著x的增大而增大；當x>-l時，y隨著x的增大而減?。徊捎妹椟c法畫圖，選頂點A(-1,4)),與x軸交于點B(2￡_3,0)和C(―2￡+3,0),與y軸的交點為D(0,1),過這五點畫出圖象(如圖2-5所示)?說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確.例2分析：由于每天的利潤二日銷售量yx(銷售價x-120),日銷售量y又是銷售價x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤的最大值.解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)y二kx+(B),將x=130,y=70;x=150,y「70=130k+b,=50代入方程，有j50=150k+b解得k=-1,b=200.?y=-x+200.設(shè)每天的利潤為z(元)則z=(-x+200)(x-120)=-X2+320x-24000=-(x-160)2+1600,???當x=160時,z取最大值1600.答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元.例3分析：本例中函數(shù)自變量的圍是一個變化的圍，需要對a的取值進行討論.解:(1)當a=-2時，函數(shù)y=X2的圖象僅僅對應(yīng)著一個點(-2,4),所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時x=-2；當-2<a<0時，由圖2.2-6①可知，當x=-2時，函數(shù)取最大值y=4；當x=a時，函數(shù)取最小值y=a2；當0<a<2時，由圖2.2-6②可知，當x=-2時，函數(shù)取最大值y=4；當x=0時，函數(shù)取最小值y=0；當a^2時，由圖2.2-6③可知，當x=a時，函數(shù)取最大值y=a2;當x=0時，函數(shù)取最小值y=0.說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論?此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取部分實數(shù)來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題.例4(1)分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點式，再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a.

解：???二次函數(shù)的最大值為2,而最大值一定是其頂點的縱坐標，???頂點的縱坐標為2?又頂點在直線y=x+1上,所以,2=x+1,.*.x=1頂點坐標是(1,2)設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=a(x一2)2+l(a<0),??二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(3,-1),???-1二a(3-2)2+1,解得a=-2.?二次函數(shù)的解析式為y=-2(x一2)2+1，即y=-2x2+8x-7.說明：在解題時,由最大值確定出頂點的縱坐標,再利用頂點的位置求出頂點坐標,然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點式,最終解決了問題.因此,在解題時,要充分挖掘題目所給的條件,并巧妙地利用條件簡捷地解決問題.(2)分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點實際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標,于是可以將函數(shù)的表達式設(shè)成交點式.解法一：???二次函數(shù)的圖象過點(-3,0),(1,0),???可設(shè)二次函數(shù)為y二a(x+3)(x-l)(a細，展開，-12a2-4a2得y二ax2+2ax-3a,頂點的縱坐標為=-4a，由于二次函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離4a2,???|-4a|=2,即a二+1?所以，二次函數(shù)的表達式為y二jx2+x-1，或y二-|x2-x+12,分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(-3,0),(1,0),所以，對稱軸為直線x=-1，又由頂點到x軸的距離為2,可知頂點的縱坐標為2,或-2,于是,又可以將二次函數(shù)的表達式設(shè)成頂點式來解,然后再利用圖象過點(-3,0),或(1,0),就可以求得函數(shù)的表達式.解法二：??二次函數(shù)的圖象過點(-3,0),(1,0),???對稱軸為直線x=-1?又頂點到x軸的距離為或y二a(x+1)2-2,由于函數(shù)圖象12?所以，所求的二次函數(shù)為y二???頂點的縱坐標為或y二a(x+1)2-2,由于函數(shù)圖象12?所以，所求的二次函數(shù)為y二1過點(1,0),???0二a(1+1)2+2，或0二a(1+1)2-2.???a二-二，或a二112(x+1)2+2，或y二二(x+1)2-2?說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及頂點的坐標這兩個不同角度，利用交點式和頂點式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題.解：設(shè)該二次函數(shù)為y二ax2+bx+c(a主0).由函數(shù)圖象過點(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得—22=a—b+c—8—c8—4a+2b+c解得a=-2,b=12,c=-8.所以，所求的二次函數(shù)為y=-2x2+12x-8.鞏固練習】1?(1)D(2)C(3)D2?(1)y=x2+x-2(2)y=-x2+2x+3?(1)y—2x2—2x—1?(2)y=4(x—l)2—3=4x2—8x+1?(3)y—|(x+3)(x—5)—1x2—|x—3.(4)y=|(x—3》—2=|x2—3x+14?當長為6m,寬為3m時，矩形的面積最大.x,0<x<2,—x,2<x<4,5.(1)函數(shù)f(x)的解析式為y=^x—44<x<68—x,6<x<8.函數(shù)y的圖像如圖所示由函數(shù)圖像可知，函數(shù)y的取值圍是0<y^2.專題六二次函數(shù)的最值問題參考答案例1分析：由于函數(shù)y—2x2—3x—5和y——x2—3x+4的自變量x的取值圍是全體實數(shù)，所以只要確

定它們的圖象有最高點或最低點，就可以確定函數(shù)有最大值或最小值.解:(1)因為二次函數(shù)y=2x2-3x-5中的二次項系數(shù)2>0,所以拋物線y=2x2-3x-5有最低點，即函TOC\o"1-5"\h\z