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文檔簡介

§5.3正定二次型

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的標(biāo)準(zhǔn)形中所含項數(shù)是確定的(即是二次型的秩)

在變換為實變換時標(biāo)準(zhǔn)形中正負(fù)系數(shù)的個數(shù)是不變的

定理1(慣性定理)

設(shè)有二次型fxTAx

它的秩為r

有兩個可逆變換xCy及xPz使fk1y12k2y22

kryr2(ki0)

及f1z122z22

rzr2(i0)則k1

k2

kr中正數(shù)的個數(shù)與1

2

r中正數(shù)的個數(shù)相等

正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個數(shù)稱為二次型的正慣性指數(shù)負(fù)系數(shù)的個數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)的差稱為符號差

若二次型f的正慣性指數(shù)為p

秩為r

則f有如下標(biāo)準(zhǔn)形

fy12

yp2yp12

yr2

稱為f的規(guī)范形.

定義1

設(shè)實二次型fxTAx

如果對任何x0

都有f(x)0

則稱f為正定二次型對稱陣A是正定的

如果對任何x0

都有f(x)0

則稱f為負(fù)定二次型對稱陣A是負(fù)定的

為正定二次型為負(fù)定二次型例如

定理2

二次型fxTAx為正定的充分必要條件是它的標(biāo)準(zhǔn)形的n個系數(shù)全為正即它的正慣性指數(shù)等于n

設(shè)可逆變換xCy使f(x)f(Cy)k1y12k2y22

knyn2

充分性設(shè)ki0(i12

n)

任給x0

則yC1x0

故f(x)k1y12k2y22

knyn20

必要性用反證法假設(shè)有ks0

則當(dāng)yes(單位坐標(biāo)向量)時

f(Ces)ks0

顯然Ces0

這與f為正定矛盾

證明

推論

對稱陣A為正定的充分必要條件是

A的特征值全為正

對稱陣A為正定的充分必要條件是

A的各階順序主子式都為正即

對稱陣A為負(fù)定的充分必要條件是奇數(shù)階順序主子式為負(fù)而偶數(shù)階順序主子式為正即

定理3(霍爾維茨定理)

例1

判別二次型fx22y26z22xy2xz6xz的正定性

f的矩陣為

解

因為順序主子式a1110

根據(jù)定理3(霍爾維茨定理)知f為正定

例2

判定二次型f5x26y24z24xy4xz的正定性

f的矩陣為

解

因為順序主子式a1150

根據(jù)定理3(霍爾維茨定理)知f為負(fù)定

正定矩陣的一些簡單性質(zhì)

定義2

設(shè)實二次型fxTAx

如果對任何x0

都有f(x)≥0

則稱f為半正定二次型對稱陣A是半正定的

如果對任何x0

都

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