第八 灰色決策模型

會(huì)計(jì)學(xué)1第八灰色決策模型

這里我們主要介紹灰色系統(tǒng)的四種方法：灰色關(guān)聯(lián)分析方法、灰色預(yù)測(cè)方法、灰色統(tǒng)計(jì)（灰色評(píng)價(jià)）、灰色局勢(shì)決策。

因素分析的基本方法過(guò)去采用的主要方法是統(tǒng)計(jì)方法。如回歸分析（包括線性回歸、多因素回歸、單因素回歸、逐步回歸、非逐步回歸）。回歸分析雖然是一種較通用的方法，但一般認(rèn)為回歸分析有下述不足：（1）要求大量數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)量少難以找到規(guī)律；（2）要求分布是線性的，或是指數(shù)的，或是對(duì)數(shù)（3）計(jì)算工作量大；（4）有可能出現(xiàn)反常的現(xiàn)象，使正相關(guān)變成負(fù)相關(guān)，以致正確現(xiàn)象受到歪曲或顛倒。1、灰色關(guān)聯(lián)分析方法第1頁(yè)/共47頁(yè)

灰色系統(tǒng)考慮到上述種種弊病和不足，采用關(guān)聯(lián)分析的方法來(lái)作系統(tǒng)分析。作為一個(gè)發(fā)展變化的系統(tǒng)，關(guān)聯(lián)度分析事實(shí)上是動(dòng)態(tài)過(guò)程發(fā)展態(tài)勢(shì)的量化分析。說(shuō)得確切一點(diǎn)，是發(fā)展態(tài)勢(shì)的量化比較分析、發(fā)展態(tài)勢(shì)的比較，也就是系統(tǒng)歷年來(lái)有關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)列幾何關(guān)系的比較?？紤]有三個(gè)數(shù)據(jù)列，一個(gè)是某地區(qū)的年總收入，一個(gè)是某地區(qū)的養(yǎng)豬收入，一個(gè)是某地區(qū)的養(yǎng)兔收入?？偸杖腽B(yǎng)豬養(yǎng)兔從圖中可以觀察到，總收入曲線與養(yǎng)豬曲線趨勢(shì)較接近，而與養(yǎng)兔曲線差距較大，因此可以認(rèn)為該地區(qū)對(duì)收入影響較大的是養(yǎng)豬而不是養(yǎng)兔。第2頁(yè)/共47頁(yè)這種因素分析的比較，實(shí)質(zhì)上是幾種曲線間幾何形狀的分析比較，即認(rèn)為幾何形狀越接近，則發(fā)展變化態(tài)勢(shì)越接近，關(guān)聯(lián)程度越大。因此按這種觀點(diǎn)作因素分析，至少不會(huì)出現(xiàn)異常的，將正相關(guān)當(dāng)作負(fù)相關(guān)的情況。此外對(duì)數(shù)據(jù)量也沒(méi)有太高的要求，即數(shù)據(jù)量多或數(shù)據(jù)量少都可以分析。（1）關(guān)聯(lián)系數(shù)作關(guān)聯(lián)分析要指定參考數(shù)據(jù)列和待比較的數(shù)據(jù)列參考數(shù)據(jù)列表示為待比較的數(shù)據(jù)列也稱為母序列也稱為子序列第3頁(yè)/共47頁(yè)下式稱為序列與在時(shí)刻k的關(guān)聯(lián)系數(shù)。應(yīng)該注意，對(duì)原始數(shù)據(jù)列計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)時(shí)，要作無(wú)量綱化和初值化處理。上式中0.5是分辯系數(shù),記為ξ,一般在0-1之間選取.（2）關(guān)聯(lián)度序列各時(shí)刻關(guān)聯(lián)系數(shù)的平均值稱為子序列對(duì)母序列的關(guān)聯(lián)度，記作第4頁(yè)/共47頁(yè)例1果樹(shù)產(chǎn)量因素分析某農(nóng)業(yè)研究所在研究果樹(shù)的產(chǎn)量時(shí)發(fā)現(xiàn)影響果樹(shù)單產(chǎn)的因素很多，有數(shù)據(jù)的因素就達(dá)12種之多。如樹(shù)齡、剪枝、硝氨、磷肥、農(nóng)肥、澆水、藥物人防、畜耕人耕、彌霧、噴霧等等。經(jīng)過(guò)詳細(xì)的定量分析找出4種認(rèn)為是對(duì)果樹(shù)單產(chǎn)有較大影響的因素，其數(shù)據(jù)如下：年序號(hào)190019911992199319941995199619971998單產(chǎn)X01.141.491.692.123.434.325.926.077.85剪枝X13.33.473.613.844.194.424.614.8農(nóng)肥X26667.57.57.5999澆水X31.21.21.81.81.82.42.73.64藥物X44.875.896.767.978.8410.0511.3112.2511.64①首先需要將數(shù)據(jù)列進(jìn)行無(wú)量綱化處理。第5頁(yè)/共47頁(yè)年序號(hào)190019911992199319941995199619971998單產(chǎn)X011.311.481.863.013.795.195.326.86剪枝X111.051.091.151.211.271.341.401.45農(nóng)肥X21111.251.251.251.51.51.5澆水X3111.51.51.52.02.253.03.33藥物X411.211.391.641.822.062.322.522.39②然后再計(jì)算各子數(shù)據(jù)列與母數(shù)據(jù)列的差值年序號(hào)190019911992199319941995199619971998單產(chǎn)X011.311.481.863.013.795.195.326.86剪枝X100.260.390.751.82.523.853.925.41農(nóng)肥X200.310.480.611.762.543.693.825.36澆水X300.310.020.361.61.792.942.323.53藥物X400.100.070.221.191.732.872.804.47③計(jì)算極大差和極小差=0=6.86第6頁(yè)/共47頁(yè)④計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)⑤計(jì)算關(guān)聯(lián)度計(jì)算得到的關(guān)聯(lián)度分別如下：因此，藥物對(duì)果樹(shù)單產(chǎn)的影響最大，農(nóng)肥次之，剪枝再次之，澆水對(duì)果樹(shù)單產(chǎn)的影響最小。年序號(hào)190019911992199319941995199619971998單產(chǎn)X0111111111剪枝X110.91230.87400.78290.60040.51770.41270.40830.3333農(nóng)肥X210.89630.84810.81460.60360.51340.42070.41230.3333澆水X31藥物X41第7頁(yè)/共47頁(yè)2、灰色預(yù)測(cè)模型灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，隨機(jī)量可以看作是在一定范圍內(nèi)變化的灰色量。對(duì)于貧信息的灰色系統(tǒng)，灰色變量所取的值十分有限，并且數(shù)據(jù)變化無(wú)規(guī)律。對(duì)這些灰色變量作生成運(yùn)算處理，處理后的數(shù)據(jù)變化有一定規(guī)律，與原始數(shù)據(jù)相比，增加了數(shù)據(jù)變化的確定性。從而在生成數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上建立灰色系統(tǒng)模型?；疑到y(tǒng)中數(shù)據(jù)的生成運(yùn)算有累加生成運(yùn)算AGO(AccumulatedGeneratingOperation)和累減生成運(yùn)算IAGO(InverseAccumulatedGeneratingOperation)。第8頁(yè)/共47頁(yè)(1)累加生成運(yùn)算（AGO）設(shè)有原始數(shù)據(jù)列對(duì)作一次累加生成運(yùn)算得到一次累加生成序列對(duì)作二次累加生成運(yùn)算得到二次累加生成序列第9頁(yè)/共47頁(yè)例如，某公司1990~1994年的產(chǎn)品銷售額原始數(shù)據(jù)列為其一次累加生成后的序列為其二次累加生成后的序列為生成前的序列生成后的序列第10頁(yè)/共47頁(yè)(2)累減生成運(yùn)算（IAGO）累減生成運(yùn)算是累加生成的逆運(yùn)算。累減生成運(yùn)算公式為：(3)灰色系統(tǒng)建模用灰色系統(tǒng)理論和方法建立的模型稱為灰色模型GM（GreyModel)。一般的GM模型是一個(gè)n階，h個(gè)變量的微分方程模型，簡(jiǎn)記為GM(n,h)。GM模型的建模機(jī)理是，將隨機(jī)量看作是一定范圍內(nèi)變化的灰色量，對(duì)無(wú)規(guī)律的原始數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)生成處理后，建立生成數(shù)據(jù)序列的微分方程模型。并用不同的數(shù)據(jù)生成建立不同模型來(lái)提高模型的精度。模型采用三種方式檢驗(yàn)，即殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)檢驗(yàn)和后驗(yàn)檢驗(yàn)。第11頁(yè)/共47頁(yè)①GM（1，1）模型GM（1，1）是一階常微分方程模型。設(shè)有原始數(shù)據(jù)列作一次累加生成后的數(shù)據(jù)列為

則可建立下述白化形式的微分方程記參數(shù)列為按最小二乘法求第12頁(yè)/共47頁(yè)白化形式的微分方程的解為：第13頁(yè)/共47頁(yè)綜上所述，GM（1，1）模型建模的計(jì)算步驟：1）對(duì)原始數(shù)據(jù)序列作一次累加生成得到2）用最小二乘法估計(jì)得到參數(shù)3）解一階線性微分方程

得到時(shí)間響應(yīng)函數(shù)4）模型檢驗(yàn)5）利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)例題某公司1990~1994年的年銷售額（單位：百萬(wàn)元）數(shù)據(jù)為試建立GM（1，1）模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)。第14頁(yè)/共47頁(yè)解：1）對(duì)原始數(shù)據(jù)作一次累加生成，得到2）用最小二乘法估計(jì)得到參數(shù)從而可得第15頁(yè)/共47頁(yè)得到一階線性微分方程其時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為3）模型檢驗(yàn)：這里僅對(duì)模型進(jìn)行殘差檢驗(yàn)。用時(shí)間響應(yīng)函數(shù)計(jì)算，用公式計(jì)算還原數(shù)據(jù)，并求出各時(shí)期的殘差值q(k)和相對(duì)誤差值e(k)。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表k%2(1991)6.113.2363.2780.0421.4023(1992)9.460583.35453.337-0.0175-0.52594(1993)12.942293.48173.39-0.0917-2.7055(1994)16.55593.61363.6790.06541.7755第16頁(yè)/共47頁(yè)由此看出，模型的相對(duì)誤差不超過(guò)3%。4）利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)當(dāng)k=5時(shí)，利用模型求得②GM（1，h）模型GM（1，h）模型上含有h個(gè)變量的一階微分方程，形如其中為待估參數(shù)，均為一次累加生成變量第17頁(yè)/共47頁(yè)模型反映了h-1個(gè)變量對(duì)因變量變化率的影響，故稱GM（1，h）為h個(gè)序列的一階線性動(dòng)態(tài)模型。與GM（1，1）建模原理相仿，GM（1，h）模型的建模步驟是：設(shè)有h個(gè)變量組成的原始數(shù)據(jù)序列1）對(duì)原始數(shù)據(jù)序列作一次累加生成運(yùn)算，得累加生成序列2）計(jì)算GM（1，1）模型的待估參數(shù)，用最小二乘法得到估計(jì)值第18頁(yè)/共47頁(yè)其中，B為累加數(shù)據(jù)矩陣，YN為參數(shù)項(xiàng)向量，分別是3）將參數(shù)的估計(jì)值代入方程，求得微分方程的解4）模型檢驗(yàn)。檢驗(yàn)方法與GM（1，1）模型檢驗(yàn)類似。第19頁(yè)/共47頁(yè)3、灰色統(tǒng)計(jì)模型(評(píng)價(jià)模型)

以灰數(shù)的白化函數(shù)為基礎(chǔ)，將一些具體數(shù)據(jù)，按某種灰數(shù)所描述的類別進(jìn)行歸納整理，稱為灰色統(tǒng)計(jì)。記I、II、III…為決策群體。記1#、2#、3#…為決策方案。記1、2、3…為決策的灰類。記dij為i個(gè)決策群體，對(duì)第j個(gè)決策方案所提出的白化決策值，記為

dij

或i=I、II、III…;j=1#、2#、3#…則灰色決策的任務(wù)是將dij按灰類作白化函數(shù)生成，以明確I、II、III…各個(gè)決策群體所提出的白化決策值，從整體來(lái)說(shuō)屬于哪幾個(gè)灰類。

灰色決策可用在生產(chǎn)投資決策、教學(xué)安排、因子分析、農(nóng)業(yè)計(jì)劃等方面。不同場(chǎng)合，上述各要素的含義不同。第20頁(yè)/共47頁(yè)灰色統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)模型按五步進(jìn)行：第一步，給出決策量白化值dij。按不同i與j可得下述矩陣：第二步，給出決策灰類：即給出決策灰類的灰數(shù)與灰數(shù)的白化函數(shù)。比如說(shuō)投資量“多”這一灰類，指投資在80萬(wàn)以上，則對(duì)灰數(shù)可給出下圖所示的白化函數(shù)。用同樣的方法可以得到投資“中”40萬(wàn)左右的灰類與投資“低”1萬(wàn)以下灰類的白化函數(shù)。1#2#3#第21頁(yè)/共47頁(yè)f3d1

低0

的白化函數(shù)

高80f10

的白化函數(shù)df240中0

的白化函數(shù)d第三步，求決策系數(shù)：記Ni為第i個(gè)決策群體中決策者人數(shù)。記，k=1,2,3i=I,II,III,…,Nb為第i個(gè)決策群體對(duì)j決策方案所提的決策量白化值。記為第j決策方案屬于第k個(gè)灰類的系數(shù)，則第22頁(yè)/共47頁(yè)第四步，求決策權(quán):第五步，確定決策行向量rj：按決策行分量最大確定決策方案屬于的類別。可以看出，灰色統(tǒng)計(jì)事實(shí)上是一種白數(shù)的灰化處理，或者說(shuō)是白數(shù)的灰化歸納。第23頁(yè)/共47頁(yè)例題：考慮產(chǎn)品投資決策問(wèn)題?，F(xiàn)有5個(gè)決策群體（如5位專家），三種產(chǎn)品，按“多”投資，“中”投資，“少”投資，“不”投資進(jìn)行決策。現(xiàn)取得5位置專家對(duì)于三種產(chǎn)品的投資額數(shù)據(jù)如下：第一步：第二步：給出決策灰類灰類1：投資80萬(wàn)以上（多）灰類2：投資40萬(wàn)左右（中）灰類3：投資10萬(wàn)左右（少）灰類2：投資1萬(wàn)以下（不）第24頁(yè)/共47頁(yè)給出白化函數(shù)：80萬(wàn)40萬(wàn)1萬(wàn)10萬(wàn)多投資中投資不投資少投資第三步：求決策系數(shù)假設(shè)5個(gè)決策群體的人數(shù)都1，即第25頁(yè)/共47頁(yè)則有：由上圖可知：這即是5位專家對(duì)第一種產(chǎn)品按“多”投資的決策系數(shù)。同理，可得到第一種產(chǎn)品按“中”投資的決策系數(shù)第一種產(chǎn)品按“少”投資的決策系數(shù)第一種產(chǎn)品按“不”投資的決策系數(shù)第26頁(yè)/共47頁(yè)第四步，求決策權(quán):產(chǎn)品1按多投資的決策權(quán)產(chǎn)品1按中投資的決策權(quán)產(chǎn)品1按少投資的決策權(quán)產(chǎn)品1按不投資的決策權(quán)第五步：按決策權(quán)最大進(jìn)行決策。產(chǎn)品1按決策權(quán)最大進(jìn)行決策，應(yīng)該多投資。類似，可對(duì)產(chǎn)品2、產(chǎn)品3作出決策。第27頁(yè)/共47頁(yè)4、灰色局勢(shì)決策

事件與對(duì)策的二元組合稱為局勢(shì)。而灰事件和灰對(duì)策所對(duì)應(yīng)的為灰局勢(shì)，在灰局勢(shì)中，選擇一組最好的局勢(shì)的方法就稱為灰色局勢(shì)決策?；疑謩?shì)決策的關(guān)鍵是局勢(shì)效果的量化。對(duì)局勢(shì)效果進(jìn)行量化之前，一般要考慮如何從局勢(shì)效果的白化值轉(zhuǎn)化為各種目標(biāo)可以比較的效果測(cè)度。效果白化值是指表示該局勢(shì)的實(shí)際效果的數(shù)值。第28頁(yè)/共47頁(yè)注:某個(gè)只知道大概的范圍而不知道其確切的數(shù),稱為灰數(shù).灰數(shù)并不是一個(gè)數(shù),而是一個(gè)數(shù)集,一個(gè)數(shù)的區(qū)間.記灰數(shù)為令a為區(qū)間,ai為a中的數(shù),若灰數(shù)在a區(qū)間內(nèi)取值,則稱ai為的一個(gè)可能的白化值.第29頁(yè)/共47頁(yè)當(dāng)效果白化值是靜態(tài)值時(shí)，可用上限效果測(cè)度、下限效果測(cè)度、適中效果測(cè)度等。上限效果測(cè)度：記Sij為事件ai與對(duì)策bj的局勢(shì).若Sij在目標(biāo)p下，有效果白化值，考慮事件ai有好多個(gè)，比如事件有第30頁(yè)/共47頁(yè)若對(duì)策bj也有好多個(gè)，即則局勢(shì)Sij的上限效果測(cè)度為上限效果測(cè)度主要是著眼于衡量白化值偏離最大白化值的程度。第31頁(yè)/共47頁(yè)下限效果測(cè)度：下限效果測(cè)度的關(guān)系式是下限效果測(cè)度表明，本測(cè)度只著限于白化值偏離下限的程度。適中效果測(cè)度：適中效果測(cè)度的關(guān)系式為：u0為指定的適中值，適中效果測(cè)度表明，白化值越接近固定值u0越好.第32頁(yè)/共47頁(yè)

這三種測(cè)度分別適用于不同的場(chǎng)合：比如希望局勢(shì)越大越好，則可用上限效果測(cè)度；希望局勢(shì)損失越小越好，則用下限效果測(cè)度，希望效果是某個(gè)指定值的附近，則用適中效果測(cè)度。作為一個(gè)決策問(wèn)題，一般認(rèn)為：（1）思維越多，意味著決策者思維越嚴(yán)密，意味著各種可能的情況都考慮到了；（2）對(duì)策越多，意味著對(duì)付同一個(gè)事件能夠找出多種解決的途徑，不局限于少數(shù)的措施。換句話說(shuō)，對(duì)策多反映了決策的科學(xué)性，反映了決策者的足智多謀。第33頁(yè)/共47頁(yè)一般離散可數(shù)局勢(shì)空間的決策，按下述步驟進(jìn)行：第一步：給出事件與對(duì)策；第二步：構(gòu)造局勢(shì)；第三步：給出目標(biāo)；第四步：給出不同目標(biāo)的白化值；第五步：計(jì)算不同目標(biāo)的局勢(shì)效果測(cè)度；第六步：將多目標(biāo)問(wèn)題化為單目標(biāo)問(wèn)題；第七步：按最佳效果，選最佳局勢(shì)，進(jìn)行決策。第34頁(yè)/共47頁(yè)例題1：農(nóng)業(yè)種植決策第一步：給出事件與對(duì)策事件a1：種大豆；事件a2：種玉米；事件a3：種向日葵