實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理含解析

黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理含解析黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理含解析PAGE28-黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理含解析黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理(含解析）考試時(shí)間：120分鐘總分:150分一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分）1。已知集合，,則（)A。 B. C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義運(yùn)算即可．【詳解】解:故選【點(diǎn)睛】本題考查集合的交補(bǔ)混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2。下列敘述正確的是（）A。命題“p且q”為真，則恰有一個(gè)為真命題B。命題“已知,則“"是“”的充分不必要條件"C.命題都有，則，使得D.如果函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】由p且q的真值表，可判斷正誤；由充分必要條件的定義和特值法，可判斷正誤；由全稱命題的否定為特稱命題，可判斷正誤;由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可判斷正誤?！驹斀狻拷猓簩?duì)于A，命題“P且q為真，則P,q均為真命題”，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，“a＞b”推不出“a2＞b2”，比如a＝1,b＝﹣1;反之也推不出，比如a＝﹣2，b＝0，“a＞b"是“a2＞b2”的不充分不必要條件,故錯(cuò)誤;對(duì)于C,命題都有,則，使得，故正確；對(duì)于D，如果函數(shù)y＝f（x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）?f（b)＜0，由零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間(a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，故錯(cuò)誤．其中真命題的個(gè)數(shù)為1,故選C．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，考查命題的否定和充分必要條件的判斷,以及函數(shù)零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的單調(diào)性的判斷,考查判斷能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題．3。在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A。 B. C。 D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則,化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得到復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),從而得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到選項(xiàng)．【詳解】復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,就是復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的點(diǎn)為A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法,兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，是一個(gè)基礎(chǔ)題．4.如圖,是水平放置的的直觀圖,則的面積是（）A.6 B. C. D。12【答案】D【解析】由直觀圖畫法規(guī)則,可得是一個(gè)直角三角形,直角邊，，故選D。5.已知直線、，平面、，給出下列命題：①若，，且，則②若,，且,則③若,，且，則④若,，且，則其中正確的命題是（)A。②③ B。①③ C.①④ D.③④【答案】C【解析】分析：①可由面面垂直的判定定理進(jìn)行判斷；②可由面面平行的條件進(jìn)行判斷;③可由面面垂直的條件進(jìn)行判斷；④可由面面垂直的判定定理進(jìn)行判斷。解析：①若，，且，則,正確.，且，可得出或，又，故可得到.②若,，且，則，不正確.兩個(gè)面平行與同一條線平行,兩平面有可能相交。③若，，且，則，不正確.且，可得出，又，故不能得出。④若，，且，則，正確.且,可得出，又，故得出。故選：C.點(diǎn)睛：解決空間位置關(guān)系問題的方法(1）解決空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的問題，首先要明確空間位置關(guān)系的定義,然后通過轉(zhuǎn)化的方法，把空間中位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決．(2）解決位置關(guān)系問題時(shí)，要注意幾何模型的選取，如利用正（長(zhǎng))方體模型來解決問題．6。已知直線過點(diǎn)，且在縱坐標(biāo)軸上的截距為橫坐標(biāo)軸上的截距的兩倍，則直線的方程為（）A。 B。C?；?D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，分直線是否經(jīng)過原點(diǎn)2種情況討論，分別求出直線方程,即可得答案．【詳解】根據(jù)題意,直線分2種情況討論:①當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，又由直線經(jīng)過點(diǎn),所求直線方程為，整理為,②當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得，解得，此時(shí)直線的方程為,整理為．故直線的方程為或。故選D．【點(diǎn)睛】本題考查直線的截距式方程，注意分析直線的截距是否為0，屬于基礎(chǔ)題．7.已知函數(shù)f(x）＝ex＋x，g（x)＝lnx＋x，h(x）＝lnx－1的零點(diǎn)依次為a，b，c，則()A.a<b〈c B.c〈b〈aC。c〈a<b D.b〈a<c【答案】A【解析】【分析】由，,分別為f（x）＝ex＋x，g(x）＝lnx＋x，h（x）＝lnx－1的零點(diǎn),所以依次代入得,，,得，，的關(guān)系式,判斷取值范圍，比較大小【詳解】∵ea＝－a，∴a〈0，∵lnb＝－b，且b〉0，∴0〈b<1，∵lnc＝1，∴c＝e〉1，故選A?！军c(diǎn)睛】根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，確定參數(shù)的取值范圍8.由直線上一點(diǎn)P向圓C：引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（）A。 B. C. D.1【答案】D【解析】分析】由切線性質(zhì),切線長(zhǎng)等于，因此只要最小即可，此最小值即為到直線的距離．【詳解】點(diǎn)P為直線上到圓心C距離最小的點(diǎn)時(shí)，切線長(zhǎng)最小，故有．切線長(zhǎng)最小值為：．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離公式．屬于基礎(chǔ)題．9.已知直線：與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且滿足，則的值是（）A. B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線方程可知直線恒過定點(diǎn)，過分別作準(zhǔn)線的垂線，由，得到點(diǎn)為的中點(diǎn)、連接，進(jìn)而可知，由此求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則點(diǎn)的坐標(biāo)可得，最后利用直線上的兩點(diǎn)求得直線的斜率．【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線,直線：恒過定點(diǎn)，

如圖過分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為；

由，則，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)、連接，

則，

∴在中,,為等腰三角形，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又,

所以,

故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查拋物線的定義,考查直線斜率的計(jì)算，屬于中檔題．10。過雙曲線的右支上一點(diǎn),分別向圓和圓作切線，切點(diǎn)分別為,則的最小值為(）A.10 B.13 C。16 D。19【答案】B【解析】試題分析：由題可知,，因此，故選B．考點(diǎn)：圓錐曲線綜合題．11.設(shè)橢圓C:(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，橢圓C上的兩點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，|FB｜≤｜FA|≤2｜FB|，則橢圓C的離心率的取值范圍是（)A。 B。C。 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱性可知且，可得四邊形AFBF′為矩形,設(shè)｜AF′|＝n,|AF|＝m，根據(jù)橢圓的定義以及題意可知mn＝2b2，從而可求得的范圍,進(jìn)而可求得離心率.【詳解】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，即FA⊥FB，故平行四邊形AFBF′為矩形，所以｜AB|＝|FF′|＝2c.設(shè)｜AF′｜＝n，｜AF｜＝m，則在Rt△F′AF中，m＋n＝2a①,m2＋n2＝4c2②，聯(lián)立①②得mn＝2b2③.②÷③得，令＝t，得t＋.又由｜FB｜≤｜FA|≤2｜FB｜得＝t∈[1，2］，所以t＋∈。故橢圓C的離心率的取值范圍是。故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率的取值范圍的求法,考查了橢圓焦點(diǎn)三角形問題，需掌握橢圓的定義，屬于中檔題。12.設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù),，有，在上有，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C。 D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而研究其單調(diào)性和奇偶性，將變形為，再利用的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令,，有，．所以為R上的偶函數(shù)，又在上有，所以，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。又，所以，即,，解之得，。故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性和奇偶性、利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng),屬難題。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13。已知點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn),并且滿足，的面積為，的面積為，則______.【答案】【解析】【分析】將化為，再構(gòu)造向量和,得出比例關(guān)系，最后求解【詳解】因?yàn)?，所以，分別取,的中點(diǎn)，，則,.所以，即,，三點(diǎn)共線且.如圖所示，則，由于為中點(diǎn),所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，但是在三角形中考查，又和三角形面積綜合在一起，屬于中檔題。14。已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn),且雙曲線的漸進(jìn)線方程為，則此雙曲線方程為_________【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的漸進(jìn)線方程為，設(shè)雙曲線，計(jì)算橢圓焦點(diǎn)為,根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)公式得到答案.【詳解】的焦點(diǎn)為:雙曲線的漸進(jìn)線方程為，則設(shè)雙曲線方程為：，焦點(diǎn)為故，雙曲線方程為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線方程，根據(jù)漸近線設(shè)雙曲線為是解題的關(guān)鍵.15.在中，角的對(duì)邊分別，滿足，則的面積為_____．【答案】【解析】【分析】由二次方程有解的條件，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求B，進(jìn)而可求a，然后結(jié)合余弦定理可求c，代入S△ABCacsinB，計(jì)算可得所求．【詳解】把a(bǔ)2﹣2a(sinBcosB）+4＝0看成關(guān)于a的二次方程，則△≥0，即8（sinBcosB）2﹣16≥0，即為8（sin（B））2﹣16≥0,化為sin2(B)≥1，而sin2（B）≤1，則sin2（B）＝1，由于0＜B＜π，可得B，可得B，即B,代入方程可得，a2﹣4a+4＝0，∴a＝2，由余弦定理可得，cos,解可得,c＝2∴S△ABCacsinB2×2．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．16。如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)，若垂直于，則的面積的最小值為__________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥拷⒖臻g直角坐標(biāo)系，由，求得，得到,進(jìn)而求得三角形的面積的最小值，得到答案?！驹斀狻恳訢點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以DC所在直線為y軸，以DA所在直線為x軸，以為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)，所以。因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?所以，因?yàn)锽（2,2,0）,所以,所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.因?yàn)锽C⊥BP，所以。故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的應(yīng)用，其中解答建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得的最小值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題。三、解答題（本大題共6小題，第17題10分,其余小題每題12分，共70分）17.已知函數(shù)，且的解集為。(1）求的值；（2）若正實(shí)數(shù)，滿足。求的最小值?！敬鸢浮?1）（2）9【解析】試題分析：（1）由得,解得其解集為，即可得到實(shí)數(shù)的值；（2）由（1)知，又是正實(shí)數(shù)，利用柯西不等式，即可求解其最小值。試題解析：（1）因?yàn)樗杂傻糜捎薪?，得，且其解集為又不等式解集為，故?）由（1)知，又是正實(shí)數(shù),由柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故的最小值為918.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且。（1）證明：是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2)若,令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）?！窘馕觥吭囶}分析：（1）利用，可知數(shù)列為等比數(shù)列，由此求得其通項(xiàng)公式。（2）先求得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法求的前項(xiàng)和.試題解析:（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，,，兩式相減得，所以。因此是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。于是.（2）由,所以，.19。已知函數(shù)。（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱中心；（2）當(dāng)時(shí)，方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1）對(duì)稱中心為(,1），(k∈Z）．單調(diào)遞增區(qū)間為［kπ，kπ］,（k∈Z）．（2）［，］.【解析】【分析】（1）利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性求得該函數(shù)的對(duì)稱中心;利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．（2）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)ysin（2x）在上的最值即得的取值范圍．【詳解】(1)∵函數(shù)f（x）sin（2x)+1,∴令2xkπ，解得x，∴對(duì)稱中心為（，1），(k∈Z）．由ysin（2x）的減區(qū)間滿足：2kπ2x2kπ，（k∈Z）,解得kπx≤kπ，∴函數(shù)f（x）sin（2x）+1的單調(diào)遞增區(qū)間為［kπ,kπ]，（k∈Z）．（2）方程有解，即為sin（2x)=m有解，令ysin（2x）則當(dāng)時(shí)，2x∈[，]，∴當(dāng)2x,即x時(shí)，函數(shù)ysin（2x）取得最大值1，當(dāng)2x，即x時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值．∴y∈［，],即m∈[，]?！军c(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、定義域和值域以及它的圖象的對(duì)稱性，考查了方程有解的問題的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．20.如圖，直三棱柱中，,,分別為、中點(diǎn)。（1)證明：平面;（2）已知與平面所成的角為,求二面角的余弦值.【答案】(1)見證明(2）【解析】【分析】解法1：（1)建立空間直角坐標(biāo)系,利用直線的向量和平面法向量平行證明線面垂直；(2）設(shè)，利用與平面所成的角為得到的值，再求出兩個(gè)面的法向量之間的夾角余弦值，得到二面角的余弦值。解法2：（1）取中點(diǎn),連接、，易證平面，再證明,可得平面（2)設(shè)，利用與平面所成的角為得到的值,再求出兩個(gè)面的法向量之間的夾角余弦值，得到二面角的余弦值.解法3：（1)同解法2（2）設(shè),利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)化,得到到面的距離,利用與平面所成的角為得到與的關(guān)系，解出，在兩個(gè)平面分別找出垂直于交線，得到二面角，求出其余弦值.【詳解】解法1：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．設(shè)，，則,，,，，，，,．因?yàn)椋?，所以?面,面，于是平面．（2)設(shè)平面的法向量，則，,又，，故,取,得．因?yàn)榕c平面所成的角為,，所以，，解得，．由（1）知平面的法向量，，所以二面角的余弦值為．解法2:（1）取中點(diǎn)，連接、,，平面，平面,而平面，平面，平面．為中點(diǎn)，,，，，四邊形為平行四邊形，．平面．（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．設(shè),,，則，,．設(shè)平面的法向量，則，,又，,故,取,得．因?yàn)榕c平面所成的角為,,所以，，解得，．由（1）知平面的法向量，所以二面角的余弦值為．解法3：（1）同解法2．（2）設(shè)，，則，,，,，到平面距離，設(shè)到面距離為，由得,即．因?yàn)榕c平面所成的角為，所以,而在直角三角形中，所以，解得．因?yàn)槠矫妫矫?所以，平面，平面所以,所以平面，平面,平面所以為二面角的平面角，而，可得四邊形正方形,所以,所以二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明，利用幾何關(guān)系構(gòu)造方程求出邊的大小，利用空間向量證明線面垂直，求二面角的大小，屬于中檔題。21.橢圓的離心率是，過點(diǎn)P(0，1)做斜率為k的直線l，橢圓E與直線l交于A，B兩點(diǎn),當(dāng)直線l垂直于y軸時(shí)．(1)求橢圓E的方程；（2）當(dāng)k變化時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)M(m，0）,使得△AMB是以AB為底的等腰三角形,若存在求出m的取值范圍,若不存在說明理由．【答案】(Ⅰ）；（Ⅱ）見解析．【解析】【分析】（Ⅰ）由橢圓的離心率為得到，于是橢圓方程為．有根據(jù)題意得到橢圓過點(diǎn)，將坐標(biāo)代入方程后求得,進(jìn)而可得橢圓的方程．（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn),使得是以為底的等腰三角形,則點(diǎn)為線段AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)．由題意得設(shè)出直線的方程，借助二次方程的知識(shí)求得線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段的垂直平分線的方程,在求出點(diǎn)的坐標(biāo)后根據(jù)基本不等式可求出的取值范圍．【詳解】（