橢圓 測(cè)試卷-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

2.1橢圓測(cè)試卷一、單選題1．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則（）A．2 B．－2 C． D．43．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，直線的斜率分別為，則（

）A． B． C． D．4．已知直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的方程為（

）A． B．C． D．5．若m，，且則“”是“方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．若橢圓和橢圓的焦點(diǎn)相同且．給出如下四個(gè)結(jié)論：①橢圓與橢圓一定沒(méi)有公共點(diǎn)；②；③；④其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③④7．在撫順二中運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式中，某班級(jí)的“蝴蝶振翅”節(jié)目獲得一致稱贊，其形狀近似于雙曲線，在“振翅”過(guò)程中，雙曲線的漸近線與對(duì)稱軸的夾角為某一范圍內(nèi)變動(dòng)，，則該雙曲線的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知橢圓）的焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，且，若的內(nèi)切圓的半徑滿足，則（其中為橢圓的離心率）的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，其焦點(diǎn)到中心的距離為4，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為（

）A． B． C． D．10．設(shè)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．點(diǎn)P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為B．點(diǎn)P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為C．點(diǎn)P到左焦點(diǎn)距離的最大值為D．點(diǎn)P到左焦點(diǎn)距離的最大值為11．如圖，一縷陽(yáng)光從圓形的窗孔射入，在水平地面上形成橢圓形光斑（輪廓為橢圓），若光線與水平地面所成的角為，則下列是說(shuō)法正確的是（

）A．橢圓的離心率B．橢圓的離心率C．橢圓的離心率隨的增大而減小D．橢圓的離心率隨的增大而增大12．橢圓離心率為稱為“黃金橢圓”.如圖，分別為左右頂點(diǎn)，為上下頂點(diǎn)，分別為左右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（

）A．B．C．四邊形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)D．軸，且三、填空題13．我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”.寫出一個(gè)焦點(diǎn)在軸上，對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的“黃金橢圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程__________.14．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_________．15．已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，且橢圓C的離心率為，點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)，且，則__________.16．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形滿足，，，若點(diǎn)，分別為橢圓：（）的上?下頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)不在橢圓上，則橢圓的焦距為_(kāi)__________.四、解答題17．求以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，并且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（0，2）和B（，）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.18．若直線與橢圓總有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．19．設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為，．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l：與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若，求k的值．20．已知，分別是橢圓（，）的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，(1)若，的最大值為12，求的值；(2)若，直線與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求橢圓的方程.21．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求證：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).22．設(shè)橢圓Γ：的左、右焦點(diǎn)分別為．直線l若與橢圓Γ只有一個(gè)公共點(diǎn)P，則稱直線l為橢圓Γ的切線，P為切點(diǎn)．(1)若直線l：y＝x+2與橢圓相切，求橢圓的焦距；(2)求證：橢圓Γ上切點(diǎn)為的切線方程為；(3)記到直線l的距離為，到直線l的距離為，判斷“”是“直線l與橢圓Γ相切”的什么條件？請(qǐng)給出你的結(jié)論和理由．參考答案1．A【分析】利用橢圓的定義求出，然后在中利用余弦定理即可求解.【詳解】由橢圓的定義可知：，因?yàn)椋?，在中，由余弦定理可得：，化?jiǎn)整理可得：，所以，故選：.2．C【分析】先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍求解.【詳解】將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，所以，解得，故選：C．3．A【分析】由橢圓方程得到的坐標(biāo)，再結(jié)合斜率公式即可求解【詳解】由題意知．設(shè)，則，為橢圓上一點(diǎn)，，即，即．故選：A4．C【分析】求出直線與兩坐標(biāo)軸的焦點(diǎn)為，.根據(jù)，可設(shè)橢圓的方程為，求出即可.【詳解】令，可得；令，可得.則由已知可得，橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，.因?yàn)?，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上.設(shè)橢圓的方程為，則，，所以橢圓的方程為.故選：C.5．B【分析】由可得：，由方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓可得：，然后根據(jù)充分、必要條件的概念即可判斷.【詳解】由可得：，又因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在y軸上的橢圓，所以，由不一定能推出，但由一定能推出，所以“”是“方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的必要不充分條件，故選：.6．B【分析】對(duì)①，聯(lián)立兩橢圓方程求解即可判斷；對(duì)②，由可得，即可變形判斷；對(duì)③，，即可變形判斷；對(duì)④，由，即可變形判斷.【詳解】對(duì)①，聯(lián)立兩橢圓方程得，則，由兩橢圓焦點(diǎn)相同得，又，∴，即，∴，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故橢圓與橢圓一定沒(méi)有公共點(diǎn)，①對(duì)；對(duì)②，由①得，則，∴，②錯(cuò)；對(duì)③，由，③對(duì)；對(duì)④，由③得，則，∴，④對(duì).故選：B7．C【分析】由題可知雙曲線的漸進(jìn)線方程傾斜角的范圍是，進(jìn)而得到的范圍，再根據(jù)離心率公式和的關(guān)系可求得范圍.【詳解】雙曲線的漸近線為，由題可知雙曲線的漸進(jìn)線方程傾斜角的范圍是，，，即，故選：C8．B【分析】由已知即向量數(shù)量積定義可得，應(yīng)用余弦定理求得，根據(jù)等面積法可得，再由正弦定理列方程求離心率，結(jié)合目標(biāo)式、基本不等式求其最小值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由題設(shè)，故，又，則，由余弦定理知：，所以，而，因?yàn)榈膬?nèi)切圓的半徑，故，所以，則，由，即，所以，整理得且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以目標(biāo)式最小值為.故選：B9．BD【分析】由題意得到，再根據(jù),求出，分焦點(diǎn)在x軸和y軸上寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可【詳解】解：因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，其焦點(diǎn)到中心的距離為4，所以，解得，又，所以當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)橢圓的焦?在y軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：BD10．AC【分析】利用橢圓的定義可判斷A，B選項(xiàng)，離左焦點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)為右頂點(diǎn)，可判斷C,D選項(xiàng)【詳解】由題意得，，由橢圓的定義可知，P到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，故A正確，B錯(cuò)誤；又，所以，即，到左焦點(diǎn)距離的最大值為，故選：AC11．BC【分析】可由題意做出平面圖，利用投影關(guān)系，分別對(duì)應(yīng)出橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，利用橢圓結(jié)合夾角即可做出判斷.【詳解】可根據(jù)題意做出平面圖，如圖所示，窗孔的圓心為，圓心在水平面的投影即橢圓的中心為，光線與水平面的交點(diǎn)為，光線與水平地面所成的角為，連接，過(guò)作的垂線交于交于，由題意可知，窗孔在平面內(nèi)的投影橢圓，故為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即，為橢圓的短軸長(zhǎng)，即，所以，，故，而，故橢圓的離心率，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；，，因?yàn)樵谑菃握{(diào)遞減的，所以橢圓的離心率隨的增大而減小，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC12．BC【分析】根據(jù)各選項(xiàng)條件列出含有，，的齊次方程，再根據(jù)離心率及得到含離心率的方程，解出各選項(xiàng)的離心率即可判斷是否為“黃金橢圓”.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)題意得，，，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，解得?舍)，所以選項(xiàng)A不能使橢圓為“黃金橢圓”；對(duì)于B，根據(jù)題意得，，，因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，解得?舍)，所以選項(xiàng)B能使橢圓為“黃金橢圓”；對(duì)于C，因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)，所以利用對(duì)稱的性質(zhì)可得四邊形的內(nèi)切圓的圓心為半徑為，記四邊形的面積為，故四邊形可分成四個(gè)全等的三角形根據(jù)面積相等法可得，因?yàn)?，所以原式化?jiǎn)得，又因?yàn)?，所以，解得?舍)，又因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)C能使橢圓為“黃金橢圓”；對(duì)于D，軸，且，可得，因?yàn)檩S，所以，代入中，解得(負(fù)值舍去)，所以，根據(jù)，得，解得，又因?yàn)?，，所以，所以選項(xiàng)D不能使橢圓為“黃金橢圓”.故選：BC.13．（答案不唯一）【分析】由題可設(shè)，根據(jù)離心率結(jié)合條件即得.【詳解】由題可設(shè)，令，由題可知，所以，，所以“黃金橢圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程可為.故答案為：.14．4【分析】根據(jù)橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程確定，即可得長(zhǎng)軸長(zhǎng).【詳解】解：橢圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，即所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故答案為：4.15．##【分析】由已知，根據(jù)題意畫出示意圖，分別設(shè)出點(diǎn)P、A，B坐標(biāo)，并表示出直線、直線的斜率，根據(jù)已知的離心率得到，再根據(jù)，結(jié)合已知得到，然后利用正切和差公式可直接求解.【詳解】由已知，橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，如圖所示，橢圓C的離心率為，所以，設(shè)點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)，，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以為直線的傾斜角，為直線的傾斜角，則，，而，所以，所以.故答案為：.16．4【分析】先由，判斷出，，，四點(diǎn)共圓，再由題設(shè)求出圓心，表示出圓的方程，將代入橢圓及圓的方程，可求出，即可求得焦距.【詳解】由題意得，，設(shè)，.連接，由，，可知，，，在以為直徑的圓上，且，又原點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，所以圓心在的垂直平分線上，即在軸上，則，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，則0，若，則四邊形為矩形，則點(diǎn)也在橢圓上，與點(diǎn)不在橢圓上矛盾，所以，所以，故圓的圓心坐標(biāo)為，所以圓的方程為，將代入可得，又，所以，故橢圓的焦距為.故答案為：4.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：“，，”的化簡(jiǎn)?轉(zhuǎn)化，由此得到，，，在以為直徑的圓上以及該圓的方程.17．.【分析】設(shè)橢圓方程，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上列方程組求出橢圓參數(shù)，進(jìn)而得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】令橢圓方程為，所以，可得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.18．【分析】先根據(jù)直線方程可知直線恒過(guò)點(diǎn)，要使直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，需在橢圓上或橢圓內(nèi)，注意橢圓的參數(shù)范圍，進(jìn)而求得的范圍．【詳解】解：直線恒過(guò)點(diǎn)，由直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，所以在橢圓上或橢圓內(nèi)，∴，∴，又∵橢圓，∴且．∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．19．(1)；(2).【分析】（1）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可求得，.則橢圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意可得.易知直線的方程為，由方程組可得.由方程組可得.結(jié)合，可得，解出，或.經(jīng)檢驗(yàn)的值為.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得．又，所以，，所以，橢圓的方程為．（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以有，，，所以，即．易知直線的方程為，由方程組消去y，可得．由方程組消去，可得．由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或．當(dāng)時(shí)，由可得，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，由可得，，.所以，.20．(1)或(2)【分析】(1)由可得橢圓方程為：，結(jié)合焦點(diǎn)三角形面積的最大值得出，然后解方程組即可求解；(2)當(dāng)，聯(lián)立方程組，根據(jù)得到，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.【詳解】（1）由，則橢圓方程為：，由的最大值為12，則，即解得或所以或.（2）若，聯(lián)立方程組消去得設(shè)，，則，解得：或由可知，所以，解得所以橢圓的方程為.21．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意可得所以，，解得，進(jìn)而可得橢圓的方程．（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程可得關(guān)于的一元二次方程，設(shè)，，，，由韋達(dá)定理得，，由點(diǎn)到直線的距離公式可得原點(diǎn)到直線的距離，解得，計(jì)算為0，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為；（2）證明：設(shè),，,，由，可得，由題意，，即，所以，，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，所以，即，因?yàn)?，所以．因此以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)．22．(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消元，根據(jù)題意可得，求得a2即可得解.（2）分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，判斷方程組有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)解作答.（3）根據(jù)（2）分別求出，，計(jì)算即可，再分和結(jié)合充分條件和必要條件的定義推理作答．【詳解】（1）由消去y并整理得，因?yàn)橹本€l：y＝x+2與橢圓相切，于是得，解得，令橢圓半焦距為c，有，所以橢圓的焦距.（2）當(dāng)時(shí)，，顯然直線與橢圓相切，當(dāng)時(shí)，由消去y并整理得：，又，則，即，因此，即直線l與橢圓Γ只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線l與橢圓Γ相