新高考數學高頻考點專項練習：專題九 考點25 數列求和及其綜合應用（A卷）

新高考數學高頻考點專項練習：專題九考點25數列求和及其綜合應用（A卷）1.古代數學名著《張丘建算經》中曾出現過高息借貸的題目：“今有舉取他絹，重作券；要過限一日，息絹一尺；二日息二尺；如是息絹，日多一尺.今過限一百日，問息絹幾何？”題目的意思是：債主拿欠債方的絹做抵押品，每過期一天便加納一天利息，債務過期一天要納利息一尺絹，過期二天則第二天便再納利息二尺，這樣，每天利息比前一天增加一尺.若過期100天，欠債方共納利息為()A.100尺 B.4950尺 C.5000尺 D.5050尺2.公元前5世紀，古希臘哲學家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開始，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜的10倍.當比賽開始后，若阿基里斯跑了1000米，此時烏龜便領先他100米；當阿基里斯跑完下一個100米時，烏龜仍然前于他10米.當阿基里斯跑完下一個10米時，烏龜仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永遠追不上烏龜.根據這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜的距離恰好為102米時，烏龜爬行的總距離為()A. B. C. D.3.某公司今年獲利5000萬元，如果以后每年的利潤都比上一年增加，那么總利潤達3億元時大約還需要()

(參考數據:，，，)

A.4年 B.7年 C.12年 D.50年4.《張丘建算經》是我國北魏時期大數學家張丘建所著，約成書于公元466~485年間.其中記載著這么一道“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，且每日增加的數量相同，已知第一日織布5尺，30日共織布390尺，則該女子織布每日增加的尺數為()A. B. C. D.5.已知數列的前n項和滿足，記數列的前n項和為，.則使得的值為()A. B. C. D.6.定義為n個正數，，，…，的“快樂數”.若已知正項數列的前n項的“快樂數”為，則數列的前2021項和為()A. B. C. D.7.在公比q為整數的等比數列中，是數列的前n項和.若，，則下列說法中，正確的是()①數列是等比數列；②；③數列是等比數列；④數列是等差數列A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④8.(多選)已知數列滿足，，則下列結論正確的是()A.為等比數列 B.的通項公式為C.為遞增數列 D.的前n項和9.(多選)在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關.”則下列說法中正確的是()A.此人第二天走了96里路B.此人第三天走的路程占全程的C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里D.此人后三天共走了42里路10.(多選)已知數列的前n項和為，，若存在兩項，，使得，則下列結論中正確的是()A.數列為等比數列B.數列為等差數列C.為定值D.設數列的前n項和為，，則數列為等差數列11.設，且，則____________.12.《塵劫記》是在元代的《算學啟蒙》和明代的《算法統(tǒng)宗》的基礎上編撰的一部古典數學著作，其中記載了一個這樣的問題：假設每對老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個月后，有一對老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2個月后，每對老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此類推，假設n個月后共有老鼠只，則__________.13.若數列滿足，，則的通項公式為__________；若數列的前n項和為，則滿足的n的最小值為_____________.14.已知在數列中，且，設數列滿足，對任意正整數n不等式均成立，則實數m的取值范圍為____________.15.已知數列的前n項和為.（1）若，，證明：；（2）在（1）的條件下，若，數列的前n項和為，求證.

答案以及解析1.答案：D解析：由題意知，每天的利息構成一個首項為1，公差為1的等差數列，所以共納利息為尺.2.答案：B解析：根據條件，烏龜每次爬行的距離構成等比數列，公比為當阿基里斯和烏龜的速度恰好為米時，烏龜爬行的總距離為故選B.3.答案：A解析：根據題意，每年的利潤構成一個等比數列，其中首項，公比，.于是得到，整理，得，

兩邊取對數得，解得，故還需要4年.4.答案：B解析：由題意可知該女子每日織布的數量成等差數列，記為，則.記的前n項和為，則.設的公差為d，所以，解得，故選B.5.答案：B解析：數列的前n項和滿足，當時，；當時，，當時，適合上式，所以，則，所以.故選B.6.答案：B解析：設數列的前n項和為，則根據題意，得，，，當時也滿足上式，所以，所以，所以的前2021項和為.7.答案：C解析：由題意，為等比數列，，，由等比數列的性質得，，，或，又公比q為整數，，，，，，，數列，，，且，因此數列為等比數列，故①正確；，故②不正確；數列，，，且，因此數列為等比數列，故③正確；數列，，，因此數列為等差數列，故④正確；故選C.8.答案：AD解析：，，又，是以4為首項，2為公比的等比數列，即，，，為遞減數列，的前n項和.故選AD.9.答案：ACD解析：設此人第n天走里路，則數列是首項為，公比為的等比數列，則，解得，則此人第二天走了96里路，故A正確；此人第三天走48里路，，故B錯誤；此人后五天走的路程是，則第一天走的路程比后五天多6里，故C正確；此人后三天走的路程，故D正確.故選ACD.10.答案：ACD解析：數列的前n項和為，，則當時，，解得；當時，，所以，整理，得，即（常數），所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，所以，當時也符合，所以，故A正確，B錯誤；由于，故存在兩項，，使得，即，則，故C正確；由題意，得，所以，所以符合一次函數的形式，故該數列為等差數列，故D正確.故選ACD.11.答案：10解析：，則，解得.12.答案：解析：由題意可得1個月后老鼠的只數，2個月后老鼠的只數，3個月后老鼠的只數，…，n個月后老鼠.13.答案：；11解析：因為，所以，所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列，所以，.令，即，解得，又，