云南省昆明市立德高級中學2021-2022學年高三數(shù)學理期末試題含解析

云南省昆明市立德高級中學2021-2022學年高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合,下列結論成立的是

(）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.若（x﹣2y）2n+1的展開式中前n+1項的二項式系數(shù)之和為64，則該展開式中x4y3的系數(shù)是（）A．﹣ B．70 C． D．﹣70參考答案：A【考點】二項式系數(shù)的性質．【分析】根據(jù)（x﹣2y）2n+1展開式中前n+1項的二項式系數(shù)之和等于后n+1項的和，求出n的值，再利用展開式的通項公式求出x4y3的系數(shù)．【解答】解：（x﹣2y）2n+1展開式中共有2n+2項，其前n+1項的二項式系數(shù)之和等于后n+1項和，∴22n+1=64×2，解得n=3；∴（x﹣2y）7展開式中通項公式為Tr+1=??（﹣2y）r，令r=3，得展開式中x4y3的系數(shù)是??（﹣2）3=﹣．故選：A．3.已知等差數(shù)列的前項和為，公差，，且，則（

）A．－13 B．－14 C．－15 D．－16參考答案：A，又，，，故選A.

4.已知向量滿足，且關于的函數(shù)在R上有極值，則向量的夾角的取值范圍為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略5.異面直線所成角為，直線，且也與異面，則直線與所成的角的范圍為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略6.在等差數(shù)列中，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略7.已知函數(shù)為奇函數(shù)，時為增函數(shù)且，則=（

）A.

B.C.

D.參考答案：A8.一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，不得分的概率為，，已知他投籃一次得分的期望是2，則的最小值為

（

）A． B． C． D．參考答案：D9.設偶函數(shù)滿足，則（

）A.

B.C.

D.參考答案：B略10.已知,則是的(

)條件.

A．充要

B．充分不必要

C．必要不充分

D．既不充分也不必要參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知．①當a=1時，f（x）=3，則x=

；②當a≤﹣1時，若f（x）=3有三個不等實數(shù)根，且它們成等差數(shù)列，則a=

．參考答案：4，

【考點】分段函數(shù)的應用．【分析】①當a=1時，f（x）=3，利用分段函數(shù)建立方程，即可求出x的值；②由f（x）=3，求得x=﹣1，或x=4，根據(jù)x1＜x2＜x3，且它們依次成等差數(shù)列，可得a≤﹣1，f（﹣6）=3，由此求得a的值．【解答】解：①x≥1，x﹣=3，可得x=4；x＜1，2﹣（x+）=3，即x2+x+4=0無解，故x=4；②由于當x＞a時，解方程f（x）=3，可得x﹣=3，求得x=﹣1，或x=4．∵x1＜x2＜x3，且它們依次成等差數(shù)列，∴x2=﹣1，x3=4，x1=﹣6，∴a≤﹣1．∴x＜a時，方程f（x）=3只能有一個實數(shù)根為﹣6，再根據(jù)f（﹣6）=2a+6+=3，求得a=，滿足a≤﹣1．故答案為4，．【點評】本題主要考查分段函數(shù)，利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最值，等差數(shù)列的性質，體現(xiàn)了分類討論以及轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．12.函數(shù)的反函數(shù)為，則

.參考答案：答案：

13.已知函數(shù)f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={x，y|f（x）﹣f（y）≥0}，則集合M∩N的面積為

．參考答案：π考點：交集及其運算；二次函數(shù)的性質．專題：集合．分析：根據(jù)題意確定出M，N所表示的平面區(qū)域，兩條直線x+y﹣4=0和x﹣y=0把M平均分為4份，其中兩份就是M與N的交集，求出即可．解答： 解：∵f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，∴集合M：（x﹣2）2+（y﹣22≤2，是一個以（2，2）為圓心，為半徑的圓，面積是2π，集合N：（x﹣2）2≥（y﹣2）2，或者（x+y﹣4）（x﹣y）≥0，兩條直線x+y﹣4=0和x﹣y=0把M平均分為4份，其中兩份就是M與N的交集，則M∩N面積=×2π×2=×2=π．故答案為：π．點評：此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．14.在平面直角坐標系中，曲線上任意一點到直線的距離的最小值為

．參考答案：15.若實數(shù)x，y滿足，則x＋2y的值域為＿＿＿＿參考答案：可行域如圖.設則.易知點，為最優(yōu)解.,,又可行域過原點，.

16.（4分）若實數(shù)x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最大值為．參考答案：3【考點】：簡單線性規(guī)劃．【專題】：不等式的解法及應用．【分析】：先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=3x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最小值即可．解：先根據(jù)約束條件實數(shù)x，y滿足約束條件，畫出可行域，當直線z=3x+y過點A（1，0）時，z取得最大值：3，故答案為：3．【點評】：本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．17.如圖,點P是正方形ABCD-A1B1C1D1外的一點,過點P作直線l,記直線l與直線AC1，BC的夾角分別為，，若，則滿足條件的直線l有

條。參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，是方程的兩個根，是的導數(shù)，設，

（）（1）求的值；（2）記

（），求數(shù)列的前項和參考答案：解析：（1）因為，是方程的兩個根，

所以

.........2分（2）證明：①當時，命題成立；...........3分②假設時命題成立，即，所以.........6分又等號成立時，所以時，，所以當時命題成立由①②知對任意均有...........7分（3），由于，即，故.同理.............10分故.即是以為首項,2為公比的等比數(shù)列,又,

所以............12分19.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x．（1）討論函數(shù)f（x）的單調性；（2）當a＜1時，證明：對任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【專題】綜合題；函數(shù)思想；轉化思想；分析法；導數(shù)的綜合應用．【分析】（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，對a分類求解原函數(shù)的單調區(qū)間；（2）利用分析法證明，把要證的不等式轉化為證明成立，即證．令g（x）=，h（x）=x﹣lnx，由導數(shù)求出g（x）的最大值和h（x）的最小值，由g（x）的最大值小于h（x）的最小值得答案．【解答】（1）解：由f（x）=lnx﹣（1+a）x2﹣x，得f′（x）=（x＞0），當a=﹣1時，f′（x）=，當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當時，﹣2（1+a）＞0，﹣2（1+a）x2﹣x+1≥0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；當時，﹣2（1+a）＞0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有兩根，，當x∈（0，x1），x∈（x2，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當a＞﹣1時，﹣2（1+a）＜0，二次方程﹣2（1+a）x2﹣x+1=0有兩根，，，當x∈（0，x2）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，當x∈（x2，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．（2）證明：要證f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即證lnx﹣（1+a）x2﹣x＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1，即，∵a＜1，∴1﹣a＞0，也就是證，即證．令g（x）=，則g′（x）=，當x∈（0，e）時，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，當x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，∴；令h（x）=x﹣lnx，h′（x）=1﹣，當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)，∴h（x）min=h（1）=1，∴成立，故對任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣（1+a）x2﹣a+1．【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，考查邏輯推理能力和運算能力，屬難題．20.（14分）已知函數(shù)

（注：）（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；（2）當時，若直線與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點，求實數(shù)的取值范圍：（3）求證：對大于1的任意正整數(shù)參考答案：解析：（1）因為

所以依題意可得，對恒成立，所以

對恒成立，所以

對恒成立，，即（2）當時，若，，單調遞減；若單調遞增；故在處取得極小值，即最小值又所以要使直線與函數(shù)的圖象在上有兩個不同交點，實數(shù)的取值范圍應為，即；（3）當時，由可知，在上為增函數(shù)，當時，令，則，故，即所以。故相加可得又因為所以對大于1的任意正整書21.如圖，在三棱錐ABC﹣A1B1C1中，側面ACC1A1⊥底面ABC，△A1AC為等邊三角形，AC⊥A1B．（1）求證：AB=BC；（2）若∠ABC=90°，求A1B與平面BCC1B1所成角的正弦值．參考答案：【考點】MI：直線與平面所成的角．【分析】（1）取AC的中點O，連接OA1，OB，推導出AC⊥OA1，AC⊥A1B，從而AC⊥平面OA1B，進而AC⊥OB，由點O為AC的中點，能證明AB=BC．（2）以線段OB，OC，OA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出A1B與平面BCC1B1所成角的正弦值．【解答】解：（1）證明：取AC的中點O，連接OA1，OB，∵點O為等邊△A1AC中邊AC的中點，∴AC⊥OA1，∵AC⊥A1B，OA1∩A1B=A1，∴AC⊥平面OA1B，又OB?平面OA1B，∴AC⊥OB，∵點O為AC的中點，∴AB=BC．（2）由（1）知，AB=BC，又∠ABC=90°，故△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，∵A1O⊥AC，側面ACC1A1O⊥底面上ABC，A1⊥底面ABC以線段OB，OC，OA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O﹣xyz，設AC=2，則A（0，﹣1，0），，B（1，0，0），C（0，1，0），∴，，，設平面BCC1B1的一個法向量，則有，即，令，則，z0=﹣1，∴，設A1B與平面BCC1B1所成角為θ，則．∴A1B與平面BCC1B1所成角的正弦值為．22.（12分）如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別是AC,AB上的中點,點F為線段CD上的一點.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如圖2.(1)求證:DE∥平面A1CB;(2)求證:A1F⊥BE;(3)線段A1B上是否存在點Q,使A1C⊥平面DEQ?說明理由.參考答案：(1)因為D,E分別為AC,AB的中點,所以DE∥BC.又因為DE平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.-3分

(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因為A1F⊥CD,所