ch02第二章導數與微分-01第一節(jié)概念

第二章導數與微分部分稱為積分學.微分學與積分學統(tǒng)稱為微積分學.（820-189曾“在一理論成未必再有么像17世紀下葉微培養(yǎng)人們正確世界觀、科學方法論和對人們進行文化熏陶的極好素材（本部分內容詳見光盤）.第一節(jié)數概15世紀初文藝復興時期起，歐洲的工業(yè)、農業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿易得到大規(guī)模的發(fā)展，形成了一個新的經濟時代.而十六世紀的歐洲，正處在萌芽時期，生產力得到了很大的發(fā)展生產實踐的發(fā)展對自然科學提出了新的課題，迫切要求力學、天文學等基礎科學的發(fā)展，而這些學科都是深刻依賴于數學的，因而也推動了數學的發(fā)展在各類學科對數學種種要求中，下列三類問題導致了微分學的產生：程度，即所謂函數的變化率問題牛頓從第一個問題出發(fā)，萊布尼茨從第二個問題出發(fā)，分分布圖

★引 ★引例 ★引例 ★引例★導數的定 ★關于導數的幾點說（12）★例 ★例 ★例 ★例★★★★★★★★★★★★★例 ★例★2-內容要點一、引例：引例1 變速直線運動的瞬時速度；引例2平面曲線的切線引例3 二、導數的定義f

)limy

f(x0x)f(x0 x0

:yyx

x為端點的區(qū)間上的平均變化率，而導數y

x

yf(xx)f

y

f(xx)f(x)

y

y三、

x01yf(xx0yf(xx0處的左、右導五、六、定理 如果函數yf(x)在點x0處可導，則它在x0處連續(xù)分條件.2還知道，若函數在某點處不連續(xù)，則它在該點處一定不可導.認識大相徑庭，從而了數學界和思想界.這就促使人們在微積分研究中從依賴于直觀轉例題選講1E01)yx3x1f(1解x1變到1xy(1x)3133 f(1)limylim(33x(x)2)x0

2E02)試按導數定義求下列各極限(假設各極限均存在

x

f(2x)f(2a)x

f(x)

f(0

解

f(2x)f(2a)x

2

f(2x)f(2a)21(2x2

2

f(2x)f(2a)2f(2a);2x2a(2)f(0)0于是

f(x)

f(x)f(0)

f

x3E04)f(xC(C為常數)的導數 f(x)limf(xh)f(x)limCC0,即(C) 4E05)f(xsin

求(sinx)及(sinx)|x4解(sinx)limsin(xhsin

limcos(xh)

sin2

cosx即(sinx)cos(sin

2 cos 22

2 5E06)yxn(n為正整數)的導數解

n)

(xh)nh

n1

n(n

h

]

即(xn)nxn1.更一般地(x)x1(例如,

x)

11x

1.1

x1(1)x1112 x 26E07)f(xax(a0a1的導數x anh

ah

x

x 解

)

a

alna即

)

lna,

)e7ylogax(a0a1的導數h

(xh)log

loga(1)

h ylim alim x

)h

即(log

x)1

e.(lnx)1x

x

x 8E03)f(xsin

xx

x0處的導數解當x0時yf(0xf(0)sinx0sin

y

sinxx0 當x0時yf(0xf(0x0

limylimxx0 x0f(0f(01f(0)limyx09f(xf(0存在.f(0證因f(x)為偶函數 故有f(x)ff(0)

f(0h)fh

f(h)fh

f(h)f

f(h)ff(0)f(0f(0f(0)f(0f(0)f(0例 求等邊雙曲線y1在點1,2處的切線的斜率,并寫出在該點處的切線方和法線方程

2 2解k

1

1

11xx xx x1xy24x1

即4xy4y21x1

2即2x8y15 4 2x例11(E08)求曲線y 在點(4,2)處的切線方程x12解12y

x)

yx4

11212y21(x4

即x4y412E09)f(x)|x|x0處的連續(xù)性與可導性解如圖，易證函數f(xxx0處是連續(xù)的.下面主要來討論f(x)x在點x0處的可導性f(0hf(0)

hh

f(0h)f

h h0

f(0h)f(0)

h1f(0f(0f(xx0點不可導 證畢

h0注：yf(xx0處出現尖點，則它在該點不可導.因此，如 13E10)f(xxsinx

xx0處的連續(xù)性與可導性x sin1是有界函數,limxsin1 f(0)

f(x0,f(xx0處的連續(xù) (0x)sin x0

y 0

1,當x0時

y在1和1 不存在f(xx0處不可導14f(x

x

問af(x為可導函數x2

0x解x0f(x為可導時a的取值情況.x0

y

f(0x)f

(x)21

x0

y

f(0x)f(0)

a1x0

x0x

a10ax0f(x為可導函數2ex x15f(xx2bxf(xx0處連續(xù)

xab為何值f(xx0處可導

ab為何值解

f(xx0

f(x)

f(x)f(01即2a于是a1,b為任何實數,f(xx0連續(xù)

f(xx0f(0x)f

2exaf(0)

f(0)

f(0x)f

x2bx1

lim(xb)f(0f(0)于是b2,a1f(xx0可導分條件.2還知道，若函數在某點處不連續(xù)，則它在該點處一定不可導.得多數學家特拉構造出一個處處連續(xù)但處處不可導的例子(如第七章第一節(jié)的Koch界這就促使人們在微積分研究中從依賴于直觀轉向理性思維，大大促進了微積分邏輯基礎課堂練f(xx0f(x0f(x有什么區(qū)別與聯系設(xxa處連續(xù)

f(x)x2a2)(x),f(ay2xx3x軸平行的切線方程（Friedrich 31歲，那時他在巴黎，（無窮小的“0）的字頭S拉長。他的這個符號，以及微積分的要領和法則一直保留到的中。萊布a/ba:b上牛頓先于萊布尼茲10年，而在的時間上，萊布尼茲卻早于牛頓三年。強的英國民族抱住牛頓的概念和記號不放使用更為合理的萊布尼茲的微積分符號和技唱贊歌，沉醉于研究和公爵。萊布尼茲生命中的最后7年，是在別人帶給他和牛頓關于微積分發(fā)明權的爭論中度過的。他和牛頓一樣，都在終生未娶。1761年11月14牛頓（NewtonNewtan,幾乎總是建立在作出一點一點滴貢獻的許多人的工作之牛頓(164-172),,母親改嫁后,是由外祖母把他撫養(yǎng)大.并供他上學.他從小在低標準的地方學校接受教育,除對機械設計有外,是個沒有什么特殊的青年人,1661年他進入大學的三一學院學習,大學期間除了巴羅(arow)外,他從他的老師那里只得到了很少的一點鼓舞,他自己做實驗并且研究當時一些數學家的著作,如ecresaeo,Keper等的作。大學課和剛結束，學校為倫敦地區(qū)流行而關閉。他回到家665年和1666他了引的平方反定律（曾已有人提，這是打開那所不包的學科學的象光樣的白光際上是紫到紅各種顏混合而成的“有這些頓后來說：“是在1665和1666兩個年中做的因為在日子里我處在發(fā)力最旺的時期（自然）有，667年他到獲得，被為三一學的研究。1669他的老（Luas