南京市高二(上)期末數學試卷(解析版)(理科)

高二（上）期末數學試卷一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分）.1．拋物線y2=4x的焦點坐標為．2．命題：“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是．3．雙曲線﹣=1的漸近線方程是．4．“x＞1”是“x2＞1”的條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5．過點（1，1）且與直線2x﹣y+1=0平行的直線方程為．6．函數f（x）=xex的最小值是．7．兩直線l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，則a=．8．過點（2，1）且與點（1，3）距離最大的直線方程是．9．已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的半圓，則這個圓錐的高是．10．過點A（0，2）且與圓（x+3）2+（y+3）2=18切于原點的圓的方程是．11．底面邊長為2，側棱長為的正四棱錐的體積為．12．已知函數f（x）滿足f（1）=1，對任意x∈R，f′（x）＞1，則f（x）＞x的解集是．13．如圖，過橢圓+=1（a＞b＞0）的左頂點A作直線交y軸于點P，交橢圓于點Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，則橢圓的離心率是．14．已知函數f（x）=，若函數y=f（f（x）﹣2a）有兩個零點，則實數a的取值范圍是．二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答寫出文字說明、證明過程或演算過程．15．（14分）命題p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的單調遞增函數，命題q：方程+=1表示雙曲線．（1）當a=1時，判斷命題p的真假，并說明理由；（2）若命題“p且q“為真命題，求實數a的取值范圍．16．（14分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F(xiàn)為A1B1的中點．求證：（1）B1C∥平面FAC1；（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．17．（14分）如圖，在半徑為30cm的半圓形鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD（點A，B在直徑上，點C，D在半圓周上），并將其卷成一個以AD為母線的圓柱體罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗）．（1）設BC為xcm，AB為ycm，請寫出y關于x的函數關系，并寫出x的取值范圍；（2）若要求圓柱體罐子的體積最大，應如何截??？18．（16分）在平面直角坐標系xOy中，△ABC頂點的坐標為A（﹣1，2），B（1，4），C（3，2）．（1）求△ABC外接圓E的方程；（2）若直線l經過點（0，4），且與圓E相交所得的弦長為2，求直線l的方程；（3）在圓E上是否存在點P，滿足PB2﹣2PA2=12，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．19．（16分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓+=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點（1，），橢圓上頂點為A，過點A作圓（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的兩條切線分別與橢圓E相交于點B，C（不同于點A），設直線AB，AC的斜率分別為kAB，KAC．（1）求橢圓的標準方程；（2）求kAB?kAC的值；（3）試問直線BC是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．20．（16分）已知函數f（x）=lnx+ax，g（x）=ax2+2x，其中a為實數，e為自然對數的底數．（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數y=f（x）的極大值為﹣2，求實數a的值；（3）若a＜0，且對任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

高二（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分）.1．拋物線y2=4x的焦點坐標為（1，0）．【考點】拋物線的簡單性質．【分析】先確定焦點位置，即在x軸正半軸，再求出P的值，可得到焦點坐標．【解答】解：∵拋物線y2=4x是焦點在x軸正半軸的標準方程，p=2∴焦點坐標為：（1，0）故答案為：（1，0）【點評】本題主要考查拋物線的焦點坐標．屬基礎題．2．命題：“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是?x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【考點】命題的否定．【分析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可．【解答】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題：“?x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是?x∈R，x2﹣x﹣1≥0；故答案為：?x∈R，x2﹣x﹣1≥0．【點評】本題考查命題的否定，全稱命題與特稱命題的否定關系，是基礎題．3．雙曲線﹣=1的漸近線方程是y=±x．【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】把曲線的方程化為標準方程，求出a和b的值，再根據焦點在x軸上，求出漸近線方程．【解答】解：雙曲線，∴a=2，b=3，焦點在x軸上，故漸近線方程為y=±x=±x，故答案為y=±．【點評】本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，本題的關鍵是求出a、b的值，要注意雙曲線在x軸還是y軸上，是基礎題．4．“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．【解答】解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1．∴“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要條件．故答案為：充分不必要．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用向量相等的定義是解決本題的關鍵．5．過點（1，1）且與直線2x﹣y+1=0平行的直線方程為2x﹣y﹣1=0．【考點】直線的一般式方程與直線的平行關系．【分析】由直線的平行關系可設要求直線方程為2x﹣y+c=0，代點求c值可得．【解答】解：由直線的平行關系可設要求直線方程為2x﹣y+c=0，由直線過點（1，1）可得2×1﹣1+c=0，解得c=﹣1，∴所求直線方程為2x﹣y﹣1=0，故答案為：2x﹣y﹣1=0．【點評】本題考查直線的一般式方程和平行關系，屬基礎題．6．函數f（x）=xex的最小值是﹣．【考點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值．【分析】求導函數，確定函數的單調性，即可求得函數的最小值．【解答】解：求導函數，可得y′=ex+xex，令y′=0可得x=﹣1令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1∴函數在（﹣∞，﹣1）上單調減，在（﹣1，+∞）上單調增∴x=﹣1時，函數y=xex取得最小值，最小值是﹣，故答案為：﹣．【點評】本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，屬于基礎題．7．兩直線l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，則a=．【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關系．【分析】利用直線相互垂直與斜率的關系即可得出．【解答】解：當a=0或a=1時，不滿足條件，舍去．兩條直線的斜率分別為：，．∴l(xiāng)1⊥l2，∴k1k2==﹣1，解得a=．故答案為：．【點評】本題考查了直線相互垂直的充要條件，屬于基礎題．8．過點（2，1）且與點（1，3）距離最大的直線方程是x﹣2y=0．【考點】確定直線位置的幾何要素．【分析】過點A（2，1）且與點B（1，3）距離最大的直線l滿足：l⊥AB．則kl?kAB=﹣1，即可得出．【解答】解：過點A（2，1）且與點B（1，3）距離最大的直線l滿足：l⊥AB．∴kl?kAB=﹣1，∴kl=．∴直線l的方程為：y﹣1=（x﹣2），化為x﹣2y=0．故答案為：x﹣2y=0．【點評】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系、點斜式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．9．已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的半圓，則這個圓錐的高是．【考點】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】由圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的半圓知，圓錐的軸截面為邊長為2的正三角形．【解答】解：∵圓錐的側面展開圖是一個半徑為2的半圓，∴圓錐的軸截面為邊長為2的正三角形，則圓錐的高h=2×sin60°=．【點評】考查了學生的空間想象力．10．過點A（0，2）且與圓（x+3）2+（y+3）2=18切于原點的圓的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【考點】直線與圓的位置關系．【分析】設所求的圓的圓心為M，可得M、O、C共線，故圓心M在直線y=x上，設所求的圓的圓心為M（a，a），又所求的圓過點A（0，2），可得圓心M還在直線y=1上，故M（1，1），求得半徑AM的值，可得要求的圓的方程．【解答】解：圓C：（x+3）2+（y+3）2=18的圓心C（﹣3，﹣3）．根據兩圓相切于原點，設所求的圓的圓心為M，可得M、O、C共線，故圓心M在直線y=x上，設所求的圓的圓心為M（a，a），又所求的圓過點A（0，2），故圓心M還在直線y=1上，故M（1，1），半徑為AM=，故要求的圓的方程為：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，故答案為：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．【點評】此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有圓的標準方程，垂徑定理，勾股定理，兩圓相切的性質，屬于中檔題．11．底面邊長為2，側棱長為的正四棱錐的體積為．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】作出棱錐的高，則頂點在底面的射影為底面中心，利用正方形的性質可求出底面中心到底面頂點的距離，借助勾股定理求出棱錐的高，代入體積公式計算．【解答】解：取底面中心O，過O作OE⊥AB，垂足為E，連接SO，AO，∵四棱錐S﹣ABCD為正四棱錐，∴SO⊥平面ABCD，∵AO?平面ABCD，∴SO⊥AO．∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，∴AE=AB=1，∠OAE=∠BAD=45°，∴OE=AE=1，∵OE2+AE2=AO2，∴AO=，∵SA=，∴SO==1．V=?SABCD?SO=?22?1=．故答案為．【點評】本題考查了正三棱錐的結構特征和體積計算，屬于基礎題．12．已知函數f（x）滿足f（1）=1，對任意x∈R，f′（x）＞1，則f（x）＞x的解集是（1，+∞）．【考點】利用導數研究函數的單調性；導數的運算．【分析】題目給出的函數f（x）為抽象函數，沒法代式求解不等式f（x）＞x，結合題目給出了對任意x∈R，f′（x）＞1這一條件，想到借助于輔助函數解決，令令g（x）=f（x）﹣x，然后分析g（x）在實數集上的單調性，又f（1）=1，可求出g（1）=0，最后用g（x）與0的關系求解不等式f（x）＞x的解集．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x，則，g′（x）=f′（x）﹣1，∵f′（x）＞1，∴g′（x）＞0，所以函數g（x）在（﹣∞，+∞）上為增函數，又g（1）=f（1）﹣1=0，則由g（x）＞0，得g（x）＞g（1），即x＞1，∴f（x）﹣x＞0的解集為（1，+∞），也就是f（x）＞x的解集為（1，+∞）故答案為：（1，+∞）．【點評】本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，解答此題的關鍵是引入輔助函數g（x）．13．如圖，過橢圓+=1（a＞b＞0）的左頂點A作直線交y軸于點P，交橢圓于點Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，則橢圓的離心率是．【考點】橢圓的簡單性質．【分析】利用等腰三角形的性質和向量相等運算即可得出點Q的坐標，再代入橢圓方程即可．【解答】解：∵△AOP是等腰三角形，A（﹣a，0）∴P（0，a）．設Q（x0，y0），∵=2，∴（x0，y0﹣a）=2（﹣a﹣x0，﹣y0）．∴，解得．代入橢圓方程得+=1，化為=．∴e===．故答案：【點評】熟練掌握等腰三角形的性質和向量相等運算、“代點法”等是解題的關鍵．14．已知函數f（x）=，若函數y=f（f（x）﹣2a）有兩個零點，則實數a的取值范圍是?．【考點】函數零點的判定定理．【分析】畫出函數圖象，令f（f（x）﹣2a）=0?f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，?f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，由函數函數f（x）=的值域為R，可得f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一個零點，要使函數y=f（f（x）﹣2a）有兩個零點，必滿足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一個零點．【解答】解：函數y=的定義域是（0，+∞），令y′＞0，解得：0＜x＜e，令y′＜0，解得：x＞e，故函數y=在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，故x=e時，函數y=取得最大值，最大值是，函數y=x2﹣4（x≤0）是拋物線的一部分．∴函數f（x）=的圖象如下：令y=f（f（x）﹣2a）=0?f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，?f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，∵函數函數f（x）=的值域為R，∴f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一個零點，函數y=f（f（x）﹣2a）有兩個零點，則必滿足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一個零點．∵2a+1＞2a﹣3，∴2a﹣2＜﹣4且2a+1＞?a∈?，故答案為?【點評】本題考查了利用數形結合的思想求解函數的零點問題，同時也考查了函數的單調性及分類討論思想，屬于難題．二、解答題：本大題共6小題，共90分．解答寫出文字說明、證明過程或演算過程．15．（14分）（2016秋?淮安期末）命題p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的單調遞增函數，命題q：方程+=1表示雙曲線．（1）當a=1時，判斷命題p的真假，并說明理由；（2）若命題“p且q“為真命題，求實數a的取值范圍．【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】（1）若命題p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的單調遞增函數為真命題，則f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，解出a的范圍，可判斷命題p的真假；（2）若命題“p且q“為真命題，則命題p，命題q均為真命題，進而可得實數a的取值范圍．【解答】解：（1）若命題p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的單調遞增函數為真命題，則f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，故△=4a2﹣12a≤0，解得：a∈[0，3]，故當a=1時，命題p為真命題；（2）若命題q：方程+=1表示雙曲線為真命題，則（a+2）（a﹣2）＜0．解得：a∈（﹣2，2），若命題“p且q“為真命題，則命題p，命題q均為真命題，故a∈[0，2）．【點評】本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，導數法研究函數的單調性，雙曲線的標準方程等知識點，難度中檔．16．（14分）（2016秋?淮安期末）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F(xiàn)為A1B1的中點．求證：（1）B1C∥平面FAC1；（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．【考點】平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．【分析】（1）如圖所示取AB的中點E，連接CE，EB1，可得面B1CE∥平面FAC1，即B1C∥平面FAC1（2）只需證明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．【解答】解：（1）證明：如圖所示取AB的中點E，連接CE，EB1，∵F為A1B1的中點，∴C1F∥CE，AF∥B1E，且C1F∩AF=F，CE∩B1E=E，∴面B1CE∥平面FAC1，∵B1C?B1CE，∴B1C∥平面FAC1（2）證明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥面A1C1B1，∵C1F?面A1C1B1，∴A1A⊥C1F，∵AC=BC，F(xiàn)為A1B1的中點，∴A1B1⊥C1F，且AA1∩A1B1，∴C1F⊥面AA1C1B1B，C1F?面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．【點評】本題考查了線面平行、面面垂直的判定，關鍵是空間位置關系的判定與性質的應用，屬于中檔題．17．（14分）（2016秋?淮安期末）如圖，在半徑為30cm的半圓形鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD（點A，B在直徑上，點C，D在半圓周上），并將其卷成一個以AD為母線的圓柱體罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗）．（1）設BC為xcm，AB為ycm，請寫出y關于x的函數關系，并寫出x的取值范圍；（2）若要求圓柱體罐子的體積最大，應如何截?。俊究键c】旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】（1）設BC=x，求出AB，寫出y關于x的函數關系，并寫出x的取值范圍；（2）用x表示出圓柱的底面半徑，得出體積V（x）關于x的函數，判斷V（x）的單調性，得出V（x）的最大值．【解答】解：（1）連接OC，設BC=x，則y=2，（其中0＜x＜30），（2）設圓柱底面半徑為r，高為x，則AB=2=2πr，解得r=，∴V=πr2h=（900x﹣x3），（其中0＜x＜30）；∴V′=（900﹣3x2），令V′（x）=0，得x=10；因此V（x）=（900x﹣x3）在（0，10）上是增函數，在（10，30）上是減函數；∴當x=10時，V（x）取得最大值V（10）=，∴取BC=10cm時，做出的圓柱形罐子體積最大，最大值為cm3．【點評】本題考查了圓柱的結構特征，圓柱與體積計算，用函數單調性求函數最值，屬于中檔題．18．（16分）（2016秋?淮安期末）在平面直角坐標系xOy中，△ABC頂點的坐標為A（﹣1，2），B（1，4），C（3，2）．（1）求△ABC外接圓E的方程；（2）若直線l經過點（0，4），且與圓E相交所得的弦長為2，求直線l的方程；（3）在圓E上是否存在點P，滿足PB2﹣2PA2=12，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】直線與圓的位置關系．【分析】（1）利用待定系數法求△ABC外接圓E的方程；（2）分類討論，利用韋達定理，結合弦長公式，求直線l的方程；（3）求出P的軌跡方程，與圓E聯(lián)立，即可得出結論．【解答】解：（1）設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，則，解得D=﹣2，E=﹣4，F(xiàn)=1，∴△ABC外接圓E的方程為x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．（2）當直線l的斜率k不存在時，直線l的方程為x=0，聯(lián)立，得或，弦長為2，滿足題意．當直線l的斜率k存在時，設直線l的方程為y﹣4=kx，即t=kx+4，聯(lián)立，得（1+k2）x﹣（2k﹣2）x﹣2=0，△=[﹣（2k﹣2）]2+8（1+k2）=12k2+8k+12＞0，設直線l與圓交于E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則，，∵弦長為2，∴=2，解得k=1，∴直線l的方程為x﹣y+4=0．∴直線l的方程為x=0，或x﹣y+4=0．（3）設P（x，y），∵PB2﹣2PA2=12，A（﹣1，2），B（1，4），∴（x﹣1）2+（y﹣4）2﹣2（x+1）2﹣2（y﹣2）2=12，即x2+y2+6x+16y+5=0．與x2+y2﹣2x﹣4y+1=0相減可得2x+5y+1=0，與x2+y2﹣2x﹣4y+1=0聯(lián)立可得29y2+14y+9=0，方程無解，∴圓E上不存在點P，滿足PB2﹣2PA2=12．【點評】本題考查圓的方程，考查軌跡方程，考查直線與圓、圓與圓的位置關系，屬于中檔題．19．（16分）（2016秋?淮安期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓+=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點（1，），橢圓上頂點為A，過點A作圓（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的兩條切線分別與橢圓E相交于點B，C（不同于點A），設直線AB，AC的斜率分別為kAB，KAC．（1）求橢圓的標準方程；（2）求kAB?kAC的值；（3）試問直線BC是否過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1）由題意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得求出橢圓的方程．（2）設切線方程為y=kx+1，則（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0，設兩切線AB，AD的斜率為k1，k2（k1≠k2），k1?k2=1，由切線方程與橢圓方程聯(lián)立得：（1+4k2）x2+8kx=0，由此能求出直線BD方程，進而得到直線．（3）設B（x1，y1），C（x2，y2），kAB=k1，kAC=k2．設經過點A所作的圓的切線方程為：y=kx+1．與橢圓方程聯(lián)立可得：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，可得：xB，xC．yB，yC，kBC=．可得直線BC的方程，即可得出．【解答】解：（1）由題意可得：2c=2，=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得c=，a=2，b=1．∴橢圓的標準方程為=1．（2）A（0，1），設經過點A的圓（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切線方程為：y=kx+1．則=r，化為：（r2﹣1）k2+2k+r2﹣1=0，則kAB?kAC==1．（3）設B（x1，y1），C（x2，y2），kAB=k1，kAC=k2．設經過點A的圓（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切線方程為：y=kx+1．聯(lián)立，化為：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，∴xB=，xC==．yB=，yC=．∴kBC==．∴直線BC的方程為：y﹣=，令x=0，可得：y=．∴直線B