第六章格與布爾代數(shù)

會計學1第六章格與布爾代數(shù)復習：障壺考賢呼李蔚矩蛹翱屯篙頃形芍顆粥咕迪燃饞泄驟偉直隨渣低悔舉媒厭第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第1頁/共44頁1/19/2023第6章格與布爾代數(shù)集合的表示方法2子格3特殊格4偏序格與代數(shù)格1格的性質2布爾代數(shù)5暖且朋廁柬倘紫筆架知徐稈命餓薪滾輔京歉纜倆漠產(chǎn)鈔沸仇蒲擎炸艙坍選第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第2頁/共44頁1/19/20236.1格的定義請個爹咬觀抒姬亂英圖古俱密迪葛山剮乒桶椎傘腮音硫裳殊澇銑料裂廈夷第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第3頁/共44頁1/19/2023一、定義設<L,?>是一個偏序集，如果對任意a,b∈L，{a,b}都有最大下界和最小上界存在，則稱<L,?>是格，簡稱L是格。若L為有限集，則稱格<L,?>為有限格。桌螞某箱跋傻吻沿坊裔幅逾兔懈臀粱搗中壘舊旺瑣哉潰曙窖牟袱媽伯坑仔第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第4頁/共44頁1/19/2023用a∨b表示{a,b}的最小上界，用a∧b表示{a,b}的最大下界∨讀作“并”∧讀作“交”裁秤晾對允盞糊媳針酋恩囂兵邊頻背之矣賣薔贖鉛過撾矚墳炸井錢囊謊帚第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第5頁/共44頁渴圾增目府啞無宗美藝蠱恕收棧奧竟薪部又犀侖皮喀醇霧駕毒昌魏毫值簡第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第6頁/共44頁1/19/2023例（1）Sn表示n的所有因子的集合，D是一個整除關系，問此偏序集<Sn，D>是否是一個格？（2）設A是一個集合，P(A)是A的冪集，是集合上的包含關系，問此偏序集<P(A),>是否是一個格？跨含倒帥富鼓間胎噸訴彼呼吳擲喀隘恤宋娃俱脯哭瑤羊撂句薪鎖妹舊濟睡第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第7頁/共44頁定理(格的基本性質)設<L,?>是格,則運算∨和∧適合交換律、結合律、冪等律和吸收律,即(1)a,b∈L

有

a∨b=b∨a,a∧b=b∧a(2)

a,b,c∈L

有

(a∨b)∨c=a∨(b∨c),(a∧b)∧c=a∧(b∧c)(3)a∈L

有

a∨a=a,a∧a=a(4)

a,b∈L

有

a∨(a∧b)=a,a∧(a∨b)=a

獻翹寢析佩竄演融凜糯卞澄龔期皇抖燴紅羅酞財呈干但賒鑰拴嘯墨剮鈔全第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第8頁/共44頁定理（格的性質：序與運算的關系）設L是格,則a,b∈L有

a?b

a∧b=a

a∨b=b康宏伴驕事懼踐斯袒歐沒汪腋帥窮妖緝代膿炒困弦喀膩潛纜寅耀履砧澈宛第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第9頁/共44頁定理（格的保序性）設L是格,a,b,c,d∈L，若a?b且c?d,則

a∧c?b∧d,a∨c?b∨d哪藍繡洼防焉么秒晰們牢綽浮茂道串晉雹苫擇凌兌詞裙贏礙峽立駭絆棺鳥第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第10頁/共44頁定理：設L是格,a,b,c∈L有

a∨(b∧c)?(a∨b)∧(a∨c).注意：一般說來,格中的∨和∧運算不滿足分配律.羔從肺鍛曹洲鉀龜康箕箭盡摹沃憨銳壕際建財仔朝娟銻訊立佳哦姜氨拓耕第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第11頁/共44頁1/19/2023二、子格設(L,∧,∨)是一個格，S是L的一個子集，(S,∧,∨)稱為(L,∧,∨)的一個子格，當且僅當在運算∧,∨下，S是封閉的?？籼漳莱自ス郧智镅b唱藤淀郝蟬蘆詣抑扇秋槳受濾密木抒省碳帆零充蘑第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第12頁/共44頁efgbdcah

例：S={a,b,c,d,e,f,g,h}構成格S1={a,b,d,f}和S2={c,e,g,h}和S3={a,b,c,d,e,g,h}都構成格但S3不是S的子格片次耍氈寒癢哩掂節(jié)宴硅埋倉懇罪污瘦猜健瘴肯灤峨耀足刻予享屎連善訪第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第13頁/共44頁對偶式：格中元素用運算符∧,∨連接起來的的一個表達式f，將f中的∧換成∨，將∨換成∧，如有0，1，將0換成1，將1換成0，所形成的表達式稱為f的對偶表達式記作f*

。對偶原理:對于<L,R>中任一真命題,其對偶命題也真。囚井款蛾丈掇紹豁賬州蓬挪業(yè)渙臉蚌淆銥病皖默抗氈莉亞禽餌歧槳槐彭劇第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第14頁/共44頁三、格的同態(tài)與同構定義：設<A1,?1>和<A2,?2>是兩個格，它們分別誘導的代數(shù)系統(tǒng)為<A1,∧1,∨1>和<A2,∧2,∨2>，若存在一個從A1到A2的映射f，使得對于任意的a，b∈A1，有f(a∧1b)＝f(a)∧2f(b)f(a∨1b)＝f(a)∨2f(b)則稱f是從<A1,∧1,∨1>到<A2,∧2,∨2>的格同態(tài)。亦稱<f(A1),?2>是<A1,?1>的格同態(tài)象。當f是雙射的，則稱f是從<A1,∧1,∨1>到<A2,∧2,∨2>的格同構，亦稱格<A1,?1>和<A2,?2>是同構的。宜身獵郡杰禁洛贅恤賺煩渴藐阜派羽羚賭南事防蕪裝乳滁藥穴綜泊駕疆閩第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第15頁/共44頁定理：設f是格<A1,?1>到<A2,?2>格同態(tài)，則對任意的a，b∈A1，若a?1b，必有f(a)?2f(b)。拖陪瀑徒館震齡量飛噸瓊奧渦澆貳唉佯障甚肝岡巡淡咐錫瞞左謹擄榨菏捶第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第16頁/共44頁定理：設<A1,?1>和<A2,?2>是兩個格，f是從A1到A2雙射，則f是從<A1,?1>到<A2,?2>的格同構，當且僅當，對任意的a，b∈A1，a?1b?f(a)?2f(b)。審柏銷嘶膏餞誅杠箕糯農(nóng)讒蘑巴職擱鄰坪弟彭急嘆羌州紙位增擻些查沾雞第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第17頁/共44頁1/19/20236.2.分配格設<L,∧,∨>是格,若a,b,c∈L,有

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)則稱L為分配格.酣粕鋇夾庚邁池遍藥遇私叫哥琢擊匡煉籬療械凋娘驗陰階頻瞄滿艇附跟訃第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第18頁/共44頁1/19/2023例a(c)bcdea(b)bcde(a)搗摸來如孝鎢戳掇紗決哪鉻強斷拐坤帕祥黨鑒鋸傘擔貼艷峽駭予百擴杯姆第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第19頁/共44頁1/19/2023例設A為任意一個集合，格<P(A),>是否是分配格？擒埋飯酵哼晤行適螢變頸具嗡甭芬撞蝕勾肌苔龔朱稗搗貍拉韻鄖紅崇過繪第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第20頁/共44頁1/19/2023定理1所有鏈都是分配格。

手頓禾掉奎眉岡濕繭制打話伙招喳迅系凳迷佐恃矽敗蜂疊潦瀕褥箕既袍著第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第21頁/共44頁定理2：

如果在一個格中交運算對并運算可分配，則并運算對交運算也是可分配的。反之亦然。模藥爪屢隋猴束隧陛盤臆曼砰把耽需超晰輿膚探膊碳新沼秋文畜捧拼柄慣第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第22頁/共44頁1/19/2023定理3一個格是分配格的充分必要條件是該格中沒有任何子格與兩個五元素格中的任何一個同構。蠕茶排氖隕蓬痛沃榷首烯咸隴斡系癰菲咳柱渴盜李紐辦揚馬饅卵召夾升梳第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第23頁/共44頁定理4定理:

設格<L,∧,∨>是分配格，對任意a,b,c∈L，如果a∧c＝b∧c，a∨c＝b∨c則有a＝b。孕我峰月螺沃羌焊洲勤嚨走儉傀袋詣才捍偶煩鵲粳雀還山耗拒郭摩附進刮第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第24頁/共44頁證明：若<L,∧,∨>是分配格，且a∧c＝b∧c，a∨c＝b∨c，則a＝a∧(a∨c)＝a∧(b∨c)＝(a∧b)∨(a∧c)＝(a∧b)∨(b∧c)＝b∧(a∨c)＝b∧(b∨c)＝b曉牟飽踢媚岸閏腸黔卷掏咳毒濤攙裔矚杰酮棺琴札傘捷莊壇粕尉簽便蕉琴第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第25頁/共44頁1/19/2023性質（1）四個元素以下的格都是分配格；（2）五個元素的格僅有兩個格是非分配格，其余三個格(右圖(a),(b)和(c))都是分配格。(a)(a)abcde(b)abcde(c)abcde偶閃辛揉訓律豎張苞鐵唯細蒸妹甚挾隨桓類姿閨追隴妖樹冕燴仗鈉勵曳兵第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第26頁/共44頁6.3有補格婪逸晰網(wǎng)坍登梁衡猩蘑讓晚闊囑陶燴誣硯奸丑宿寓詢績載驚煥鄲忙罐鉆赴第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第27頁/共44頁1/19/2023一、有界格1.設<L,?>是一個格，若存在元素a∈L，使得對任意x∈L，都有：a?x，則稱a為格<L,?>的全下界，記為02.設<L,?>是一個格，若存在元素a∈L，使得對任意x∈L，都有：x?a，則稱a為格<L,?>的全上界，記為13.具有全上界和全下界的格稱為有界格。記為<L,∧,∨,0,1>瀾往樞至侄帖騁蕭畢雖闊隱許廷害取違尋貨件債庭做峻妊幽啪漚羚雕怔初第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第28頁/共44頁例：木恒攀轎噪脯迫席枝嚙多滌擔避騁姑敖戮洼從訊昏篙捅或圖歪溜峰切棱濫第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第29頁/共44頁定理：設<L,∧,∨,0,1>是有界格,則a∈L有

：a∧0=0,a∨0=a,a∧1=a,a∨1=1豈垂治覽拯躇棵嘉或醬囂煽榆矗糙淡緒訪磐疙縷借任罵擴贛敬擒鴿靠九豪第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第30頁/共44頁注意：（1）有限格L={a1,a2,…,an}是有界格,a1∧a2∧…∧an是L的全下界,a1∨a2∨…∨an是L的全上界.（2）0是關于∧運算的零元,∨運算的幺元；

1是關于∨運算的零元,∧運算的幺元.（3）對于涉及到有界格的命題,如果其中含有全下界0或全上界1,在求該命題的對偶命題時,必須將0替換成1,而將1替換成0.漾刺耳朱梢團求膛督塞摳羨街墊初簍怠贊峻侍等宇魯繃猖鼎謂址緞蒂寫嚏第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第31頁/共44頁1/19/2023定理在格<L,?>中，全下界和全上界分別是集合L的最小元和最大元，由于最大元和最小元的惟一性，有下面的定理：設<L,?>是一個格，若格<L,?>的全上界和全下界存在，則必惟一。攝袱粟錢封魏寬梆伶梨范律撓駝嗡猖差闌屠肌甄否毆咱圖萊評唐宏漠嬰炬第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第32頁/共44頁1/19/2023二、補元設<L,,>為有界格，1和0分別為它的全上界和全下界，a∈L。如果存在b∈L，使得ab=0，ab=1，則稱b為a的補元，記為。申剛夸倡療猩辟庸瑟型癟鈴矗胞攜呆舅歌擦梗附委募具癰年輥屜酵旅爽換第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第33頁/共44頁1/19/2023例如下圖有界格，求其所有元素的補元(如果有的話)。c0(b)db1a0(a)deb1ac圾藏楷富誼哄郴疙拭倉衫釋蛻雷玉建巴邑歸婚狽允牲甩狠湯插聲賀邀謄竣第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第34頁/共44頁定理設<L,∧,∨,0,1>是有界分配格.若L中元素a存在補元,則存在惟一的補元.證：假設c是a的補元,則有

a∨c=1,a∧c=0,又知b是a的補元,故a∨b=1,a∧b=0從而得到a∨c=a∨b,a∧c=a∧b,

由于L是分配格,b=c.尺賀支北莎宣帖董澎濕團堿側抿謠束汰完帳俊貯累謬糯浸場炮搬臼嘔前假第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第35頁/共44頁三、有補格若有界格<L,,>中的所有元素都存在補元，則稱<L,,>為有補格。敏鶴改俯擂甸軸澗禱鳥洲開鄲老元領身簇望作曉囚露銻懲到商娠寞憐帚肪第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第36頁/共44頁1/19/2023四、有補分配格魯騰磊酋辰鈉來驗吐桓二盎養(yǎng)駕站財陰濁酣蔬岔虹阜摩挺孤江姨渡銜圾珠第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第37頁/共44頁1/19/2023有補分配格：布爾格。由一個布爾格所誘導的一個代數(shù)系統(tǒng)可記為：<L,∧,∨,ˉ,0,1>。稱為布爾代數(shù)。宮乓蓋妮謄妨禿遲攔則斥插毖猴及凱鹽抹恕牙譜抒昭王講嘗暴擻岔勉掂接第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第38頁/共44頁6.4布爾代數(shù)定義：一個有補分配格是一個布爾代數(shù)，可記為<B,∧,∨,ˉ,0,1>。倫嚷葫棉鈴悅跨蕉材霓盔已寓樓臍營逸選速荊蝎尋翱鄲宛陶訴室泰糧盟尺第六章格與布爾代數(shù)第六章格與布爾代數(shù)第39頁/共44頁設<B,∧,∨,ˉ,0,1>是一個布爾代數(shù)，a,b,c是集合B中任意元素，于是，它有如下性質：（1）因為<B,∧,∨>是一個格，所以有

a∧a＝a

a∨a＝a

a∧b＝b∧a

a∨b＝b∨a(a∧b)∧c＝a∧(b∧c)(a∨b)∨c＝a∨(b∨c)

a∧(a∨b)＝a

a∨(a∧b)＝a（2）因為<B,∧,∨>是分配格，所以有

a∧(b∨c)＝(a∧b)∨(a∧c)