內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市內(nèi)蒙古市第二中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市內(nèi)蒙古市第二中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有女子善織,日益功,疾,初日織五尺,今一月織九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),問日益幾何?”其意思為:“有一女子擅長織布,每天比前一天更加用功,織布的速度也越來越快,從第二天起,每天比前一天多織相同量的布,第一天織5尺,一月織了九匹三丈,問每天增加多少尺布?”若一個月按31天算,記該女子一個月中的第天所織布的尺數(shù)為，則的值為（）A.

B.

C. D.參考答案：B2.雙曲線﹣=1（a，b＞0）離心率為，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點，∠F1PF2的平分線為l，點F1關(guān)于l的對稱點為Q，|F2Q|=2，則雙曲線方程為（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由題意可得直線l為F1Q的垂直平分線，且Q在PF2的延長線上，可得|PF1|=|PQ|=|PF2|+|F2Q|，由雙曲線定義可得a=1，再由離心率公式可得c，由a，b，c的關(guān)系，可得b的值，進而得到所求雙曲線的方程．【解答】解：由∠F1PF2的平分線為l，點F1關(guān)于l的對稱點為Q，可得直線l為F1Q的垂直平分線，且Q在PF2的延長線上，可得|PF1|=|PQ|=|PF2|+|F2Q|，即|PF1|﹣|PF2|=|F2Q|，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由|F2Q|=2，可得a=1，由e==，可得c=，b==，則雙曲線的方程為x2﹣=1．故選：B．3.已知集合A={x|x≥2}，B={x|x≤2m2}，且A??RB，那么m的值可以是(

) A．1 B．0 C．﹣1 D．參考答案：B考點：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．專題：計算題；集合．分析：化簡求集合?RB={x|x＞2m2}，從而可得2m2＜2，從而確定答案即可．解答： 解：?RB={x|x＞2m2}，∵A??RB；∴2m2＜2；即m2＜1；故選：B．點評：本題考查了集合的運算與集合包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.若從區(qū)間內(nèi)隨機取兩個數(shù)，則兩個數(shù)之比不小于的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.某程序框圖如圖1所示，若該程序運行后輸出的值是,則A． B．C． D．參考答案：C略6.下列各式中，值為的是（A）

（B）（C）

（D）參考答案：答案：B解析：7.設(shè)、是關(guān)于的方程的兩個不相等的實數(shù)根，那么過兩點、的直線與圓的位置關(guān)系是---(

)

（A）相離

（B）相切

（C）相交

（D）隨的變化而變化參考答案：C【測量目標】分析問題與解決問題的能力/能綜合運用基本知識、基本技能、數(shù)學(xué)基本思想方法和適當?shù)慕忸}策略，解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題.【知識內(nèi)容】函數(shù)與分析/函數(shù)及其基本性質(zhì)/簡單的冪函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)；圖形與幾何/曲線與方程/圓的標準方程和一般方程;圖形與幾何/平面直線的方程/點到直線的距離.【試題分析】因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，且，解得，因為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，則圓的圓心到直線的距離，令，，易知其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，，又圓的半徑為1，所以直線與圓相交，故答案為C.8.如果的展開式中各項系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是(

) A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣21參考答案：C考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)．專題：計算題．分析：給二項式中的x賦值﹣1，求出展開式的各項系數(shù)和，列出方程，求出n；將n的值代入二項式，利用二項展開式的通項公式求出通項，令x的指數(shù)為﹣3，求出r的值，將r的值代入通項，求出展開式中的系數(shù)．解答： 解：令x=1得展開式的各項系數(shù)之和2n，∴2n=128，解得n=7．∴展開式的通項為，令，解得r=6．所以展開式中的系數(shù)是3C76=21．故選C點評：本題考查通過給二項式中的x賦值求展開式的系數(shù)和、考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．9.若函數(shù)為奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)，又，則的解集為（

）A.(－3,3)

B.C.

D.

參考答案：D10.設(shè)為虛數(shù)單位，若（，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.更相減損術(shù)是出自《九章算術(shù)》的一種算法.如圖所示的程序框圖是根據(jù)更相減損術(shù)寫出的，若輸入，則輸出的值為_____.參考答案：13由輸入，代入程序框圖計算可得輸出的的值為13.12.已知，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

參考答案：13.對定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x）和g（x），如果對任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，那么稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上可被G（X）替代，D稱為“替代區(qū)間”．給出以下命題：①f（x）=x2+1在區(qū)間（﹣∞，+∞）上可被g（x）=x2替代；②f（x）=x可被g（x）=1﹣替代的一個“替代區(qū)間”為[，]；③f（x）=lnx在區(qū)間[1，e]可被g（x）=x﹣b替代，則e﹣2≤b≤2；④f（x）=lg（ax2+x）（x∈D1），g（x）=sinx（x∈D2），則存在實數(shù)a（a≠0），使得f（x）在區(qū)間D1∩D2上被g（x）替代；其中真命題的有

．參考答案：①②③考點：函數(shù)的值域．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：命題①直接由替代的定義得出為真命題；命題②|f（x）﹣g（x）|=，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)x+在區(qū)間上的最值，從而可說明|f（x）﹣g（x）|＜1，從而可判斷該命題正確；命題③，根據(jù)替代的定義，|f（x）﹣g（x）|≤1在[1，e]上恒成立，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)lnx﹣x+b在[1，e]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出函數(shù)lnx﹣x+b的值域，該值域應(yīng)為區(qū)間[﹣1，1]的子集，從而可得出b的取值范圍，從而判斷該命題的正誤；命題④可先找出一個D1∩D2區(qū)間，可以在此區(qū)間找到一個x使對任意a|f（x）﹣g（x）|＞1，從而便可判斷出該命題錯誤，這樣便可最后找出所有的真命題．解答： 解：①∵|f（x）﹣g（x）|=＜1；f（x）可被g（x）替代；∴該命題為真命題；②|f（x）﹣g（x）|=；設(shè)h（x）=，h′（x）=；∴時，h′（x）＜0，x∈（]時，h′（x）＞0；∴是h（x）的最小值，又h（）=，h（）=；∴|f（x）﹣g（x）|＜1；∴f（x）可被g（x）替代的一個替代區(qū)間為[]；∴該命題是真命題；③由題意知：|f（x）﹣g（x）|=|lnx﹣x+b|≤1在x∈[1，e]上恒成立；設(shè)h（x）=lnx﹣x+b，則h′（x）=；∵x∈[1，e]；∴h′（x）≤0；∴h（x）在[1，e]上單調(diào)遞減；h（1）=b﹣1，h（e）=1﹣e+b；1﹣e+b≤h（x）≤b﹣1；又﹣1≤h（x）≤1；∴；∴e﹣2≤b≤2；∴該命題為真命題；④1）若a＞0，解ax2+x＞0得，x，或x＞0；可取D1=（0，+∞），D2=R；∴D1∩D2=（0，+∞）；可取x=π，則|f（x）﹣g（x）|=aπ2+π＞1；∴不存在實數(shù)a（a＞0），使得f（x）在區(qū)間D1∩D2上被g（x）替代；2）若a＜0，解ax2+x＞0得，x＜0，或x；∴可取D1=（﹣∞，0），D2=R；∴D1∩D2=（﹣∞，0）；取x=﹣π，則|f（﹣π）﹣g（﹣π）|=|aπ2﹣π|＞1；∴不存在實數(shù)a（a＜0），使得f（x）在區(qū)間D1∩D2上被g（x）替代；綜上得，不存在實數(shù)a（a≠0），使得f（x）在區(qū)間D1∩D2上被g（x）替代；∴該命題為假命題；∴真命題的有：①②③．故答案為：①②③．點評：考查對替代定義的理解，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法，以及根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0求函數(shù)定義域的方法，解一元二次不等式，在說明f（x）不能被g（x）替代的舉反例即可．14.（不等式選做題）函數(shù)的值域為

。參考答案：[2，＋∞)略15.在實數(shù)集R中定義一種運算“△”，且對任意，具有性質(zhì)：①；

②；③，則函數(shù)的最小值為

.參考答案：3略16.給出定義：若(其中為整數(shù))，則叫做離實數(shù)最近的整數(shù)，記作，即.在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個命題：①的定義域是，值域是；②點是的圖像的對稱中心，其中；③函數(shù)的最小正周期為1；

④函數(shù)在上是增函數(shù)．則上述命題中真命題的序號是

．參考答案：①③17.計算定積分___________。參考答案：8略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，四邊形是正方形，平面，，，、、分別為、、的中點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的大小.參考答案：（1）證明：，分別為，的中點，

2分又平面，平面，平面

4分（2）平面，平面平面，.四邊形是正方形，.以為原點,分別以直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，,，，，，，，，.，，分別為，，的中點，，，，，，設(shè)為平面的一個法向量，則,即，令，得.設(shè)為平面的一個法向量,則,即，令，得.所以.

10分所以平面與平面所成銳二面角的大小為（或）

12分19.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，滿足，且是、的等差中項，數(shù)列滿足，其前項和為，且.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）數(shù)列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：（1），；（2）.（2）∵，∴.不等式化為，∵，∴對一切恒成立.而，當且僅當即時等號成立，∴.考點：數(shù)列.20.已知數(shù)列{an}前n項的和為Sn且,.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）證明：當時,.參考答案：（1）當時，，，從而構(gòu)成以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，，當時，從而21.(本題滿分14分)已知橢圓：，左、右兩個焦點分別為、，上頂點，為正三角形且周長為6.

（1）求橢圓的標準方程及離心率；

（2）為坐標原點，是直線上的一個動點，求的最小值，并求出此時點的坐標．參考答案：解：（Ⅰ）解：由題設(shè)得

………………2分

解得：，……3分故的方程為.……5分

離心率

…6分（2）直線的方程為，……7分

設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，則（聯(lián)立方程正確，可得分至8分）所以點的坐標為

………………9分∵，，……10分的最小值為

……………11分直線