九年級下學期數(shù)學中考復習《軸對稱最短路徑問題》解答題專題訓練

九年級數(shù)學中考復習《軸對稱最短路徑問題》解答題專題訓練（附答案）1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，EF垂直平分AC，交AC于點E，交AB于點F，M是直線EF上的動點．（1）當MD⊥BC時．①若ME＝1，則點M到AB的距離為；②若∠CMD＝30°，CD＝3，求△BCM的周長；（2）若BC＝8，且△ABC的面積為40，則△CDM的周長的最小值為．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交AC于點M．（1）若∠B＝70°，求∠BAC的大小．（2）連接MB，若AB＝8cm，△MBC的周長是14cm．①求BC的長；②在直線MN上是否存在點P，使PB+CP的值最小，若存在，標出點P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，說明理由．3．如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）若△A1B1C1與△ABC關于y軸成軸對稱，則△A1B1C1三個頂點的坐標分別為；（2）△ABC的面積是；（3）在x軸上作一點P，使PA+PB的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡，不寫作法）4．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，1），B（3，2）．（1）如圖1，在y軸上是否存在一點P，使PA+PB最小，若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（2）如圖2，點C坐標為（4，1），點D由原點O沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動，求點D運動幾秒時，四邊形ABCD是平行四邊形．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝60°，G，H分別是AD，BC邊上的點，且AG＝CH，E，O，F(xiàn)分別是對角線BD上的四等分點，順次連接G，E，H，F(xiàn)，G．（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形；（2）填空：①當AG＝時，四邊形GEHF是矩形；②當AG＝時，四邊形GEHF是菱形；（3）求四邊形GEHF的周長的最小值．6．如圖，C為線段BD上﹣動點，分別過點B、D作AB⊥BD于點B，ED⊥BD于點D，連接AC、EC，已知AB＝3、DE＝2、BD＝12，設CD＝x．（1）直接寫出用含x的代數(shù)式表示的AC+CE的長（無需化簡）；（2）觀察圖形并說明在什么情況下AC+CE的值最小？最小值是多少？寫出計算過程；（3）綜上，直接寫出代數(shù)式的最小值．7．在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點，以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．設∠BAC＝α，∠BCE＝β．（1）如圖（1），點D在線段BC上移動時，①角α與β之間的數(shù)量關系是；②若線段BC＝2，點A到直線BC的距離是3，則四邊形ADCE周長的最小值是；（2）如圖（2），點D在線段BC的延長線上移動時，①請問（1）中α與β之間的數(shù)量關系還成立嗎？如果成立，請說明理由；②線段BC、DC、CE之間的數(shù)量是．8．問題提出我們在分析解決某些數(shù)學問題時，經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問題的策略一般要進行一定的轉化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所謂“作差法”：就是通過作差、變形，并利用差的符號確定他們的大?。纾海?）對于任意兩個代數(shù)式M，N的大小比較，有下面的方法：當M﹣N＞0時，M＞N；當M﹣N＝0時，M＝N；當M﹣N＜0時，M＜N．反過來也成立．因此，我們把這種比較兩個代數(shù)式大小的方法叫做“作差法”．（2）對于比較兩個正數(shù)a，b的大小，我們還可以用它們的平方進行比較：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0，∴（a2﹣b2）與（a﹣b）的符號相同．當a2﹣b2＞0時，a﹣b＞0，得a＞b；當a2﹣b2＝0時，a﹣b＝0，得a＝b；當a2﹣b2＜0時，a﹣b＜0，得a＜b．問題解決（3）課堂上，老師讓同學們制作幾種幾何體，張麗同學用了3張A4紙，7張B5紙；李明同學用了2張A4紙，8張B5紙．設每張A4紙的面積為x，每張B5紙的面積為y，且x＞y，張麗同學的用紙總面積為S1，李明同學的用紙總面積為S2，回答下列問題：①S1＝（用含x，y的代數(shù)式表示）；S2＝（用含x，y的代數(shù)式表示）；②試比較誰的用紙總面積更大？（4）如圖1所示，要在燃氣管道l上修建一個泵站，向A，B兩鎮(zhèn)供氣，已知A，B到l的距離分別是3km，4km（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，現(xiàn)設計兩種方案：方案一：如圖2所示，AP⊥l于點P，泵站修建在點P處，該方案中管道長度a1＝AB+AP．方案二：如圖3所示，點A′與點A關于l對稱，A′B與l相交于點P，泵站修建在點P處，該方案中管道長度a2＝AP+BP．①在方案一中，a1＝km（用含x的代數(shù)式表示）；②在方案二中，a2＝km（用含x的代數(shù)式表示）；③請分析說明哪種方案鋪設的輸氣管道較短？（5）甲、乙兩位采購員同去一家飼料公司購買兩次飼料，兩次購買的價格有變化，兩位采購員的購貨方式也不同，其中，甲每次購買1000kg，乙每次用去1000元，而不管購買多少飼料．設兩次購買的飼料單價分別為m元/kg和n元/kg（m，n是正數(shù)，且m≠n），試分析哪位采購員的購貨方式合算？9．在平面直角坐標系xOy中，點A、B分別在y軸和x軸上，已知點A（0，4），以AB為直角邊在AB左側作等腰直角△ABC，∠CAB＝90°．（1）當點B在x軸正半軸上，且AB＝8時，①求AB解析式；②求C點坐標；（2）當點B在x軸上運動時，連接OC，求AC+OC的最小值及此時B點坐標．10．如圖，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．（1）求證：∠ACB＝∠ACD；（2）過點E作ME∥AB，交AC的延長線于點M，過點M作MP⊥DC，交DC的延長線于點P．①連接PE，交AM于點N，證明AM垂直平分PE；②點O是直線AE上的動點，當MO+PO的值最小時，證明點O與點E重合．11．如圖，菱形ABCD的邊長為1，∠ABC＝60°，點E是邊AB上任意一點（端點除外），線段CE的垂直平分線交BD，CE分別于點F，C，AE，EF的中點分別為M，N．（1）求證：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值．12．已知點P在∠MON內．（1）如圖1，點P關于射線OM的對稱點是G，點P關于射線ON的對稱點是H，連接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，則∠GOH＝；②若PO＝5，連接GH，請說明當∠MON為多少度時，GH＝10；（2）如圖2，若∠MON＝60°，A、B分別是射線OM、ON上的任意一點，當△PAB的周長最小時，求∠APB的度數(shù)．13．如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC和BD相交于點O、點E是CD的中點，過點C作AC的垂線，與OE的延長線交于點F，連接FD．（1）求證：四邊形OCFD是矩形；（2）若四邊形ABCD的周長為4，△AOB的周長為3+，求四邊形OCFD的面積；（3）在（2）問的條件下，BD上有一動點Q，CD上有一動點P，求PQ+QE的最小值．14．如圖1，在△ABC中，∠ABC的平分線與邊AC的垂直平分線相交于點D，過點D作DF⊥BC于點F，DG⊥BA交BA的延長線于點G．（1）求證：AG＝CF；（2）如圖2，點M，N分別是線段AB，射線BD上的動點，若BC＝5，S△ABC＝5，求MN+AN的最小值．15．如圖，在平面直角坐標系中，點A（﹣2，0），B（2，0），點C是y軸正半軸上一點，點P在BC的延長線上．（1）若點P的坐標為（﹣1，2），①求△PAB的面積；②已知點Q是y軸上任意一點，當△PAQ周長取最小值時，求點Q的坐標；（2）連接AC，若∠APC＝∠ACP，∠APC比∠PAB大20°，求∠ABC的度數(shù)．16．已知如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD邊上一點，連接BE，CE，BE＝CE，BE⊥CE，點F是EC上一動點，連接BF．（1）如圖1，當BF⊥AB時，連接DF，延長BE，CD交于點K，求證：FD＝DK；（2）如圖2，以BF為直角邊作等腰Rt△FBG，∠FBG＝90°，連接GE，若DE＝，當點F在運動過程中，求△BEG周長的最小值．17．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，對角線AC、BD交于點O，BD平分∠ABC，過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于點E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若，AC＝4，求OE的長；（3）若點P是BD上一動點，在（2）的條件下，請求出△PCE周長的最小值．18．如圖，在平面直角坐標系中，OA＝OB＝6，OD＝1，點C為線段AB的中點．（1）直接寫出點C的坐標為；（2）點P是x軸上的動點，當PB+PC的值最小時，求此時點P的坐標；（3）在平面內是否存在點F，使得以A、C、D、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．19．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為BC為邊上的定點，E、G分別是AB、CD邊上的動點，AF和EG交于點H且AF⊥EG．（1）求證：AF＝EG；（2）若AB＝6，BF＝2．①若BE＝3，求AG的長；②連結AG、EF，求AG+EF的最小值．20．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點E為邊AB上一點，連接CE．（1）如圖1，以CE為邊作等腰三角形DCE，DE＝DC，連接AD，且滿足條件AB⊥AD，∠B＝∠ADE，∠ACD＝3∠B，求證：DE⊥DC．（2）如圖2，∠BAC＝120°，過點A作直線AM⊥BC交BC于點M，點F為直線M上一點，BE＝AF，連接CF，當CE+CF最小時，直接寫出∠ECF的度數(shù)．參考答案1．解：（1）①∵MD⊥BC，AB＝AC，D是BC的中點，∴A、M、D共線，∴AD是△ABC的對稱軸，∵ME＝1，∴點M到AB的距離為1，故答案為：1；②∵D是BC的中點，MD⊥BC，∴MB＝MC，∴MD平分∠BMC，∴∠BMC＝2∠CMD＝60°，∴△BCM是等邊三角形，∴BC＝BM＝MC，∵D是BC的中點，∴BC＝2CD＝6，∴BM＝MC＝BC＝6，∴△BCM的周長為BC+BM+MC＝18；（2）連接AD交EF于點M，∵EF是AC的垂直平分線，∴AM＝CM，∴CM+MD＝AM+MD＝AD，此時△CMD的值最小，最小值為AD+CD，∵BC＝8，△ABC的面積為40，∴AD＝10，∵D是BC的中點，∴CD＝4，∴AD+CD＝14，∴△CMD的周長最小值為14，故答案為：14．2．解：（1）∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°；（2）∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周長是14cm，∴AC+BC＝14cm，∴BC＝6cm．（3）當點P與點M重合時，PB+CP的值最小，為AC長，最小值是8cm．3．解：（1）如圖A1（﹣1，1）B1（﹣4，2）C1（﹣3，4），故答案為：（﹣1，1）、（﹣4，2）、（﹣3，4）；（2）△A1B1C1的面積＝（2+3）×3÷2﹣＝7.5﹣1﹣3＝3.5．（3）如圖所示，作點A關于x軸的對稱點A'，再連接A'B，與x軸的交點P即為所求．4．解：（1）作A點關于y軸的對稱點M（﹣1，1），連接BM后與y軸的交點即為所求的點P，如下圖所示：設直線BM的解析式為y＝kx+b，代入M（﹣1，1），B（3，2），，解之得，∴直線BM解析式為，令x＝0，解得y＝，∴存在點P的坐標，且P（0，）；（2）當四邊形ABCD是平行四邊形，只能是AC為一條對角線，另一條對角線為BD，設D（m，0），由中點坐標公式可知：線段AC的中點坐標為，即，線段BD的中點坐標為，即，又線段AC與BD中點為同一個點，∴，解得m＝2，故四邊形ABCD是平行四邊形，D點的坐標為（2，0），又速度為1個單位每秒，∴經(jīng)過2秒后，四邊形ABCD是平行四邊形．5．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠GDF＝∠HBE，∵AG＝CH，∴DG＝BH，∵E，O，F(xiàn)分別是對角線BD上的四等分點，∴DF＝BE，在△DGF和△BHE中，，∴△DGF≌△BHE（SAS），∴GF＝HE，∠DFG＝∠BEH，∴∠EFG＝∠FEH，∴GF∥HE，∴四邊形GEHF是平行四邊形；（2）①當AG＝時，四邊形GEHF是矩形．理由如下：連接GH，如下圖，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝60°，∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝4，∴AD＝，∵AG＝CH＝，AD＝BC＝2，∴，∵AG∥BH，∴四邊形ABHG是平行四邊形，∵GH＝AB＝2，∵E，O，F(xiàn)分別是對角線BD上的四等分點，∴EF＝BD＝2，∴EF＝GH，∵四邊形GEHF是平行四邊形，∴四邊形GEHF是矩形，故答案為：；②當AG＝時，四邊形GEHF是菱形．理由如下：連接BG、DH、GH，如下圖，∵AG＝CH，AD＝BC，∴DG＝BH，∵DG∥BH，∴四邊形BHDG是平行四邊形，∵AG＝，AB＝2，∠A＝90°，∴DG＝AD﹣AG＝，BG＝，∴BG＝DG，∴四邊形BHDG是菱形，∴GH⊥BD，即GH⊥EF，∵四邊形GEHF是平行四邊形，∴四邊形GEHF是菱形．故答案為：；（3）解：過E作EM⊥AD于M，延長EM到點N，使得MN＝EM，連接FN，NG，過F作FP⊥EM于點P，如下圖，則MN＝EM＝DE＝，F(xiàn)P∥AD，EG＝NG，∴∠EFP＝∠ADB＝30°，∴EP＝EF＝1，∴PN＝EM+MN﹣EP＝2，PF＝，∵EG+FG＝NG+FG≥FN，當F、G、N三點共線，EG+FG＝NG+FG＝FN的值最小，其值為FN＝，∴四邊形GEHF的周長的最小值為：2（EG+FG）＝2．6．解：（1）∵AB⊥BD，AB＝3，CD＝x，∴BC＝12﹣x，在Rt△ABC中，AC＝＝，∵ED⊥BD，DE＝2，在Rt△DEC中，CE＝＝，∴AC+CE＝，故答案為：；（2）如圖，當C是AE和BD交點時，延長ED與AB的垂線AF交于點F，∴AC+CE＝AE＝＝＝13，∴AC+CE的最小值為13；（3）如圖，AB＝3，ED＝2，DB＝4，連接AE交BD于點C，∴AE＝的最小∴AE的長即為代數(shù)式的最小值，∵四邊形ABDF為矩形，∴AB＝DF＝1，AF＝BD＝4，在Rt△AEF中，由勾股定理得，AE＝＝＝5，即代數(shù)式的最小值為5．7．解：（1）①α+β＝180°；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC∴∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝180°，即α+β＝180°，故答案為：α+β＝180°；②由①知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，AD＝AE，∴CD+CE＝BD+CD＝BC＝2，當AD⊥BC時，AD最短，即四邊形ADCE周長的值最小，∵點A到直線BC的距離是3，∴AD＝AE＝3，∴四邊形ADCE周長的最小值是2+3+3＝8，故答案為：8；（2）①成立，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACD＝∠ABD+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∴∠BAC+∠BCE＝∠DCE+∠BCE＝180°，即α+β＝180°；②∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD，故答案為：CE＝BC+CD．8．解：（3）①S1＝3x+7y，S2＝2x+8y．故答案為：3x+7y，2x+8y．②S1﹣S2＝（3x+7y）﹣（2x+8y）＝x﹣y，∵x＞y∴x﹣y＞0∴S1﹣S2＞0∴S1＞S2∴張麗同學的用紙總面積更大．（4）①a1＝AB+AC＝（3+x）km，故答案為：（3+x）．②作BF⊥A′A于點F，在Rt△BAF中，由勾股定理得BF2＝AB2﹣AF2＝x2﹣1，在Rt△BFA′中，由勾股定理得A′B＝A′P+BP＝AP+BP＝＝km，∴a2＝km，故答案為：．③a12﹣a22＝（x+3）2﹣（）2＝6x﹣39，由6x﹣39＝0，得，此時a12﹣a22＝0，即a1＝a2，兩種方案鋪設的輸氣管道一樣長；由6x﹣39＞0，得，此時a12﹣a22＞0，即a1＞a2，方案二鋪設的輸氣管道較短；由6x﹣39＜0，得，此時a12﹣a22＜0，即a1＜a2，方案一鋪設的輸氣管道較短．（5）＝＝＝∵m≠n∴所以乙采購員的購貨方式合算．9．解：（1）①∵A（0，4），AB＝8，∴OB＝＝4，∴B（4，0），設直線AB的解析式為y＝kx+4，∴0＝4k+4，k＝﹣，∴AB解析式：y＝﹣x+4；②過點A作x軸的平行線，分別過點C、B作y軸的平行線，交于G、H．則△AHB≌△CGA（AAS）∴AG＝HB＝4，CG＝AH＝4，∴C（﹣4，4﹣4）；（2）由△AGC≌△BHA可知AG＝4，（B在x軸負半軸同理可說明）點C在直線x＝﹣4上運動，作點O關于直線x＝﹣4的對稱點O'，∴OC＝O'C＝4，OO'＝4+4＝8，∴AC+OC＝AC+O'C．AC+OC的最小值為AO'＝＝＝4，此時OB＝AH＝CG＝2，∴B（2，0）．10．證明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，AC＝AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠ACB＝∠ACD；（2）①∵Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠BAC＝∠CAD，∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∵∠EBA＝90°，∴∠BEA＝∠BAC＝∠CAE＝30°，∵PD⊥AE，MP⊥PD，∴AE∥MP，∴∠PMC＝∠MAE＝30°，∵ME∥AB，∴∠MEB＝∠ABE＝90°，∴∠MEA＝90°+30°＝120°，∵∠MAE＝30°，∴∠EMA＝30°，∵CP⊥MP，CE⊥ME，∠MCP＝∠MCE＝60°，∴△NEC≌△NPC（SAS），∴EN＝PN，∴N是EP的中點，NC⊥PE，∴AM垂直平分PE；②延長PD、ME交于Q點，由①知，∠BEA＝30°，∠MEB＝90°，∴∠MEA＝120°，∴∠DEQ＝60°，∵PD⊥AE，∴∠EDQ＝90°，∴∠EQD＝30°，∵∠CPN＝30°，∴∠EPD＝∠DQE，∴PE＝EQ，∴ME+PE＝QE+ME≥MQ，此時ME+PE的值最小，∵點O是直線AE上的動點，∴當MO+PO的值最小時，E點與O點重合．11．解：（1）證明：連接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF＝EF，∵四邊形ABCD為菱形，∴A和C關于對角線BD對稱，∴CF＝AF，∴AF＝EF；（2）連接AC，∵M和N分別是AE和EF的中點，點G為CE中點，∴MN＝AF，NG＝CF，即MN+NG＝（AF+CF），當點F與菱形ABCD對角線交點O重合時，AF+CF最小，即此時MN+NG最小，∵菱形ABCD邊長為1，∠ABC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，AC＝AB＝1，即MN+NG的最小值為；12．解：（1）①∵點P關于射線OM的對稱點是G，點P關于射線ON的對稱點是H，∴OG＝OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，故答案為：100°；②∵PO＝5，∴GO＝HO＝5，當∠MON＝90°時，∠GOH＝180°，∴點G，O，H在同一直線上，∴GH＝GO+HO＝10；（2）如圖所示：分別作點P關于OM、ON的對稱點P′、P″，連接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于點A、B，連接PA、PB，則AP＝AP'，BP＝BP“，此時△PAB周長的最小值等于P′P″的長．由軸對稱性質可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∴∠OPA＝∠OP'A＝30°，同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，∴∠APB＝30°+30°＝60°．13．（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∵AC⊥CF，CF∥BD∴∠ODE＝∠FCE，∵E是CD中點，∴CE＝DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；∴OD＝FC，∵CF∥BD，∴四邊形OCFD是平行四邊形，∴四邊形OCFD是矩形；（2）解：∵菱形ABCD的周長為4，∴AB＝BC＝CD＝DA＝，∠COD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，∵△AOB的周長為3+，∴AB+AO+BO＝3+，∴AO+BO＝3，∴CO+DO＝3，在Rt△COD中，CO2+DO2＝（CO+DO）2﹣2CO?DO＝CD2，∴32﹣2CO?DO＝（）2，∴CO?DO＝2，∴四邊形OCFD的面積＝CO?DO＝2；（3）解：如圖，過點O作OG⊥AD于點G，過點E作EH⊥AD于點H，則四邊形OGHE是矩形．∴OG＝EH，由（2）可知，OA?OD＝2，AD＝，∴?OA?OD＝?AD?OG，∴OG＝，∴EH＝OG＝∵四邊形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，作點P關于DB的對稱點P′，連接QP′，∴PQ+QE＝EQ+QP′≥EH＝，∴PQ+QE的最小值為．14．（1）證明：如圖1，連接AD，DC，∵BD平分∠ABC，DG⊥BA，DF⊥BC，∴DG＝DF．又∵點D在邊AC的垂直平分線上，∴DA＝DC．在Rt△DGA和Rt△DFC中，，∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）．∴AG＝CF．（2）解：∵BD平分∠ABC，點M在線段AB上，∴點M關于BD的對稱點M′在邊BC上．如圖2，作點M關于BD的對稱點M′，連接M′N，過點A作AP⊥BC于點P，∴MN＝M′N．∴MN+AN＝M′N+AN≥AP．∴當點A，N，P在同一條直線上且AP⊥BC時，MN+AN的值最小，最小值即為AP的長．∵S△ABC＝5，∴．∵BC＝5，∴AP＝2．∴MN+AN的最小值為2．15．解：（1）①∵點A（﹣2，0），B（2，0），P（﹣1，2），∴△PAB的面積為4×2＝4；②如圖，連接QB，∵A和B關于y軸對稱，∴QA＝QB，∴QA+QP＝QB+QP，∴當P、Q、B三點共線時QB+QP最小，即△PAQ周長取最小，∴點Q為直線PB與y軸的交點，設直線PB為y＝kx+b，直線過點B（2，0），P（﹣1，2），∴，解得，∴y＝﹣x+，∵當x＝0時，y＝，∴Q（0，），∴當△PAQ周長取最小值時，點Q的坐標（0，）；（2）如圖，連接AC，設∠ABC＝x，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝x，∴∠PCA＝∠CAB+∠ABC＝2x，∴∠APC＝∠ACP＝2x，∴∠PAB＝2x﹣20°，∵∠PAB+∠PBA+∠APB＝180°，∴2x﹣20°+2x+x＝180°，解得x＝40°，∴∠ABC的度數(shù)為40°．16．（1）證明：如圖1中，延長BF交CD于點T．∵EB＝EC，∠BEC＝90°，∴∠ECB＝∠EBC＝45°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DEC＝∠ECB＝45°，∵∠CEK＝90°，∴∠DEK＝∠DEF，∵AB⊥BF，AB∥CD，∴BT⊥CD，∴∠BEF＝∠CTF＝90°，∵∠EFB＝∠TFC，∴∠EBF＝∠ECK，在△BEF和△CEK中，，∴△BEF≌△CEK（ASA），∴EF＝EK，在△DEK和△DEF中，，∴△DEK≌△DEF（SAS），∴DK＝DF；（2）解：如圖2，作BK⊥BE，GK⊥BK于點K，延長KG交射線CE于點P，∵∠EBK＝∠FBG＝90°，∴∠KBG＝∠EBF＝90°﹣∠GBE，∵∠K＝∠BEF＝90°，BG＝BF，∴△BKG≌△BEF（AAS），∴BK＝BE；∵∠EBK＝∠K＝∠BEP＝90°，∴四邊形BEPK是正方形，∴PE＝BE＝CE，∴當點F在CE上運動時，點G在PK上運動；延長EP到點Q，使PQ＝PE，連接BQ交PK于點G，∵PK垂直平分EQ，∴點Q與點E關于直線PK對稱，∵兩點之間，線段最短，∴此時GE+GB＝GQ+GB＝BQ最小，∵BE為定值，∴此時GE+GB+BE即△BEG的周長最?。蛔鱀H⊥CE于點H，則∠DHE＝∠DHC＝90°，∵∠ECB＝∠EBC＝45°，∴∠HED＝∠ECB＝45°，∴∠HDE＝45°＝∠HED，∴DH＝EH，∴DH2+EH2＝2DH2＝DE2＝（）2，∴DH＝EH＝1；∴CH＝＝＝2，∴BE＝CE＝EH+CH＝1+2＝3，∴EQ＝2PE＝2BE＝6，∵∠BEQ＝90°，∴BQ＝＝3，∴GE+GB+BE＝3+3，∴△BEG周長的最小值為3+3．17．（1）證明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝4，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵OB＝OD，∴OE＝BD＝4．（3）如圖，連接AE交BD于點P，連接PC，∵A，C關于BD對稱，∴PC+PE＝PA+PE＝AE，此時PC+PE最小，即△PCE周長的最小，根據(jù)菱形ABCD的面積得BC?DE＝BD?AC，∴2DE＝8×4×，∴DE＝，∴AE＝，∵CE＝，∴△PCE周長的最小值為+．18．解：（1）∵OA＝OB＝6，∴A（6，0），B（0，6），∵點C為線段AB的中點，∴點C的坐標為（3，3）；故答案為：（3，3）．（2）作點B關于x軸的對稱點B'，連接CB'交x軸于點P，此