四川省達州市青龍鄉(xiāng)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

四川省達州市青龍鄉(xiāng)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.圓的圓心是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.現(xiàn)有四個函數(shù)：①②③④的圖象(部分)如下，但順序被打亂，則按照從左到右將圖象對應(yīng)的函數(shù)序號安排正確的一組是

A．④①②③

B．①④③②

C．①④②③

D．③④②①參考答案：C略3.(理科)已知隨機變量服從正態(tài)分布N(M,4)，且P(＜)+P(≤0)=1，則M=（

）

A.

B.2

C.1

D.參考答案：D略4.已知集合，集合，從集合中隨機選取一個數(shù)，從集合中隨機選取一個數(shù)，則的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C考點：古典概型的計算公式及運用．5.在等比數(shù)列中，若是方程的兩根，則a6的值是A.

B.

C.

D.參考答案：A6.已知

,

(>0,)，A、B為圖象上兩點，B是圖象的最高點，C為B在x軸上射影，且點C的坐標(biāo)為則·(

).

A.

B.

C.

4

D.

參考答案：D7.． ．

． ．參考答案：C8.已知（其中為正數(shù)）,若,則的最小值是（

） A.2 B.

C. D.8參考答案：C9.設(shè)在函數(shù)的圖象上的點處的切線斜率為k，若，則函數(shù)的圖像大致為參考答案：A10.在直角坐標(biāo)系中，定義兩點之間的“直角距離”為，現(xiàn)給出四個命題：①已知，則為定值；②用表示兩點間的“直線距離”，那么；③已知為直線上任一點，為坐標(biāo)原點，則的最小值為；④已知三點不共線，則必有.A．②③

B．①④

C．①②

D．①②④參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等差數(shù)列的前項和為,則數(shù)列的前100項和為

參考答案：略12.等差數(shù)列中，則該數(shù)列的通項公式_________..參考答案：【知識點】等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項和D2【答案解析】3n-5

∵等差數(shù)列{an}中，a5=10，a12=31，∴，

解得a1=-2，d=3，∴an=-2+3（n-1）=3n-5．故答案為：3n-5．【思路點撥】由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式求出首項和公差，由此能求出該數(shù)列的通項公式．13.已知i為虛數(shù)單位，則=________參考答案：2

略14.已知與的等差中項為，則下列命題正確的是

（寫出所有正確命題的編號）．①

②

③；④若則；⑤若，則.參考答案：①②④⑤15.若函數(shù)f（x）=4x﹣2x﹣a，x∈[﹣1，1]有零點，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意可得方程4x﹣2x﹣a=0在[﹣1，1]上有解，從而化為求函數(shù)a=4x﹣2x=（2x﹣）2﹣，x∈[﹣1，1]上的值域．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=4x﹣2x﹣a，x∈[﹣1，1]有零點，∴方程4x﹣2x﹣a=0在[﹣1，1]上有解，即a=4x﹣2x=（2x﹣）2﹣，∵x∈[﹣1，1]，∴2x∈[，2]，∴（2x﹣）2﹣∈；故答案為：．【點評】本題考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系應(yīng)用及函數(shù)的值域的求法．16.如圖，在半徑為1的扇形中，，為弧上的動點，與交于點，則的最小值是 參考答案：17.函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若有極值點，求證：必有一個極值點在區(qū)間內(nèi)；(2)求證：對任意，有.參考答案：(1)易知，設(shè)，若有極值點，則有兩個不相等的實根，∴，∴或，此時，，∴有兩個零點，且有一個在區(qū)間內(nèi).即有一個極值點在區(qū)間內(nèi).(2)由，得，得，.∴只需證.令，則.∴當(dāng)時，為增函數(shù)，∴，即.∴只需證，即證，令則，∴當(dāng)時，為增函數(shù)，∴，即.∴原不等式成立.19.對于無窮數(shù)列{an}，{bn}，若，，則稱{bn}是{an}的“收縮數(shù)列”.其中，分別表示中的最大數(shù)和最小數(shù).已知{an}為無窮數(shù)列，其前n項和為Sn，數(shù)列{bn}是{an}的“收縮數(shù)列”.（1）若，求{bn}的前n項和；（2）證明：{bn}的“收縮數(shù)列”仍是{bn}；（3）若且，，求所有滿足該條件的{an}.參考答案：（1）；（2）詳見解析；（3），.【分析】（1）根據(jù)可得為遞增數(shù)列，從而可得，利用等差數(shù)列求和公式可得結(jié)果；（2）可證得，即，則可知，可證得結(jié)論；（3）令猜想可得，，整理可知此數(shù)列滿足題意；利用反證法可證得不存在數(shù)列不滿足，的符合題設(shè)條件，從而可得結(jié)論.【詳解】（1）由可得遞增數(shù)列由通項公式可知為等差數(shù)列的前項和為：（2），又的“收縮數(shù)列”仍是（3）由可得：當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，所以；當(dāng)時，，即（*），若，則，所以由（*）可得，與矛盾；若，則，所以由（*）可得所以與同號，這與矛盾；若，則，由（*）可得.猜想：滿足的數(shù)列是：，經(jīng)驗證，左式右式下面證明其它數(shù)列都不滿足（3）的題設(shè)條件由上述時的情況可知，時，，是成立的假設(shè)是首次不符合，的項，則由題設(shè)條件可得（*）若，則由（*）式化簡可得與矛盾；若，則，所以由（*）可得所以與同號，這與矛盾；所以，則，所以由（*）化簡可得.這與假設(shè)矛盾.所以不存在數(shù)列不滿足，的符合題設(shè)條件綜上所述：，【點睛】本題考查新定義運算的問題求解，關(guān)鍵是能夠明確新定義的具體意義，從而將問題轉(zhuǎn)化為最大項與最小項的問題，涉及到遞增數(shù)列、猜想與證明、反證法等知識，對于學(xué)生理解與應(yīng)用能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力要求較高，屬于難題.20.（本小題滿分13分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求的最大值及取得最大值時x的取值集合；（Ⅲ）若，求的值.參考答案：（1）T=

（2）最大值4，相應(yīng)的值略21.如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，，平面A1BC．（1）證明：平面ABC⊥平面；（2）若，，求點B1到平面A1BC的距離．參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）先由線面垂直得到，再通過線線垂直得到平面，從而得到平面平面；（2）取的中點，證明平面，再求出的值，求出三棱柱的體積，再求出與三棱柱同底同高的三棱錐的體積，然后進行等體積轉(zhuǎn)化得到三棱錐的體積，求出的面積，然后得到點到平面的距離.【詳解】（1）證明：平面，．，，平面．又平面，平面平面．（2）解：取的中點，連接．，．又平面平面，且交線為，則平面．平面，，四邊形為菱形，．又，是邊長為2正三角形，．面,面面設(shè)點到平面的距離為．則．，，．所以點到平面的距離為．【點睛】本題考查線線垂直證明線面垂直，再證明面面垂直，通過線面平行和變化頂點和底對三棱錐進行等體積轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.22.（12分）如圖，在五面體ABCDEF中，底面ABCD是正方形，△ADE，△BCF都是等邊三角形，EF∥AB，且EF＞AB，M，O分別為EF，BD的中點，連接MO．（Ⅰ）求證：MO⊥底面ABCD；（Ⅱ）若EF=2AB，求二面角E﹣BD﹣F的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）法一：取BC、AD中點G、H，連接EH、FG、HG，推導(dǎo)出EFGH是等腰梯形，BC⊥平面EFGH，由此能證明MO⊥底面ABCD．法二：連接AC、AM、CM，則O為AC中點，推導(dǎo)出MO⊥AC，MO⊥BD，由此能證明MO⊥底面ABCD．（Ⅱ）法一：過F作OG延長線的垂線交于N點，連接BN，推導(dǎo)出∠FBN為二面角F﹣BD﹣N的平面角，由此能求出二面角E﹣BD﹣F的余弦值．法二：以O(shè)為坐標(biāo)原點，直線HG、OM分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E﹣BD﹣F的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）證法一：取BC、AD中點G、H，連接EH、FG、HG，又因為EF∥AB，所以EF∥平面ABCD，則EF∥HG，由EH=FG，可知EFGH是等腰梯形，…（2分）

M和O分別為EF和HG的中點，則MO⊥HG．因為△ADE，△BCF均為正三角形，所以EH⊥AD、FG⊥BC、HG⊥BC，則BC⊥平面EFGH，…（4分）MO在平面EFGH內(nèi)，所以BC⊥MO；又MO⊥HG，HG和BC是底面ABCD上的兩條相交直線，故MO⊥底面ABCD．…證法二：連接AC、AM、CM，則O為AC中點，因為EF∥AB，所以EF∥平面ABCD，則EF∥CD，因為△ADE，△BCF均為正三角形，則EA=ED=FB=FC，可知EFBA和EFCD是全等的等腰梯形，…（2分）因為M為EF中點，則MA=MB=MC=MD．所以△MAC和△MBD是全等的等腰三角形，…（4分）所以MO⊥AC，MO⊥BD，又AC和BD是底面ABCD上的兩條相交直線，故MO⊥底面ABCD．…解：（Ⅱ）方法一：過F作OG延長線的垂線交于N點，連接BN，因為EF=2AB，所以MF=ON=AB，OG=GN=BG=AB，則BO⊥BN，又FN∥MO，所以FN⊥底面ABCD，則FN⊥BO，所以BO⊥平面BFN，則BO⊥BF，因此∠FBN為二面角F﹣BD﹣N的平面角，…（9分）設(shè)AB=2a，則EM=MF=ON=2a，GN=a，GF=，則FN=，又BN=，所以∠FBN=45°，即二面角F﹣BD﹣N為45°，同樣二面角E﹣BD﹣A為45°，因此二面角E﹣BD﹣F為90°，則所求余弦值為0．…（12分）方法二：以O(shè)為坐標(biāo)原點，直線HG、OM分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，過F作OG延長線的垂線交于N點，連接BN，因為EF=2AB，設(shè)AB=2a，則EM=MF=ON=2a，GN=a，GF=，則FN=，則B（a，a，0），D（﹣a，﹣a，0），F(xiàn)（0，2a，），