復(fù)數(shù)的概念-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步講義（機(jī)構(gòu)專用）

PAGE7.1復(fù)數(shù)的概念知識梳理知識梳理1、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)復(fù)數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up13(→))的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)平面向量eq\o(OZ,\s\up13(→))＝(a，b)．知識典例知識典例題型一復(fù)數(shù)的概念例1實數(shù)取怎樣的值時，復(fù)數(shù)是：（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？【答案】（1）或；（2）且；（3）.【分析】根據(jù)實部和虛部的不同取值決定何時是實數(shù)、虛數(shù)和純虛數(shù).【詳解】（1）若，則為實數(shù)，此時或者.（2）若，則為虛數(shù)，此時且.（3）若，則為純虛數(shù)，此時.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A．1 B．2 C．1或2 D．-1【答案】B【解析】由得，且，．題型二基本概念例2（多選）給出下列命題，其中是真命題的是（）A．純虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是 B．若，則C．若，則與互為共軛復(fù)數(shù) D．若，則與互為共軛復(fù)數(shù)【答案】AD【分析】A．根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義判斷.B.若，則，與關(guān)系分實數(shù)和虛數(shù)判斷.C.若，分可能均為實數(shù)和與的虛部互為相反數(shù)分析判斷.D.根據(jù)，得到，再用共軛復(fù)數(shù)的定義判斷.【詳解】A．根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，顯然是真命題；B．若，則，當(dāng)均為實數(shù)時，則有，當(dāng)，是虛數(shù)時，，所以B是假命題；C．若，則可能均為實數(shù)，但不一定相等，或與的虛部互為相反數(shù)，但實部不一定相等，所以C是假命題；D.若，則，所以與互為共軛復(fù)數(shù)，故D是真命題.故選：AD鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)（多選）已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，復(fù)數(shù)z滿足，下列結(jié)論正確的是（）A．點的坐標(biāo)為 B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與點關(guān)于虛軸對稱C．復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z在一條直線上 D．與z對應(yīng)的點Z間的距離的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標(biāo)，判斷A選項的正確性.根據(jù)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)坐標(biāo)的對稱關(guān)系，判斷B選項的正確性.設(shè)出，利用，結(jié)合復(fù)數(shù)模的運算進(jìn)行化簡，由此判斷出點的軌跡，由此判讀C選項的正確性.結(jié)合C選項的分析，由點到直線的距離公式判斷D選項的正確性.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，A正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與點關(guān)于實軸對稱，B錯誤；設(shè)，代入，得，即，整理得，；即Z點在直線上，C正確；易知點到直線的垂線段的長度即為、Z之間距離的最小值，結(jié)合點到直線的距離公式可知，最小值為，故D正確.故選：ACD題型三模例3已知復(fù)數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式結(jié)合條件可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解出即可.【詳解】，且，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限，則的取值范圍是_______.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，再根據(jù)該點位于第二象限，得即，而，再用二次函數(shù)法求其取值范圍.【詳解】因為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，又因為該點位于第二象限，所以解得.所以，因為，所以.故答案為：題型四幾何意義例4在復(fù)平面內(nèi)，已知為坐標(biāo)原點，點、分別對應(yīng)復(fù)數(shù)，，若，則_____________.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出向量、的坐標(biāo)，然后由，得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求出實數(shù)的值.【詳解】因為，，所以，.因為，則，即.故答案為：.鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】試題分析：要使復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限,應(yīng)滿足，解得，故選A.鞏固提升鞏固提升1、復(fù)數(shù)，則的模等于（）A．2 B．4 C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，可得，所以.故選：C.2、若復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)是實數(shù)，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)實數(shù)的充要條件，得出關(guān)于的關(guān)系式，求解得出結(jié)論.【詳解】∵是實數(shù)，，.故選：B.3、已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)得對應(yīng)點坐標(biāo)，再由點在第三象限得不等關(guān)系．【詳解】復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，）對應(yīng)點坐標(biāo)為點在第二象限，則，解得，即的取值范圍是.故選：A.4、復(fù)數(shù)的實部與虛部分別是（）A．0，2 B．0，0 C．， D．，0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)實部和虛部的定義即得解.【詳解】的實部為0，虛數(shù)部為.故選:C5、已知復(fù)數(shù)，則“”是“為純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】解出復(fù)數(shù)為純虛數(shù)a的取值范圍，即可得解.【詳解】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，且，解得，所以“”是“為純虛數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.6、復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義，即可求解.【詳解】由共扼復(fù)數(shù)的定義，知的共軛復(fù)數(shù)為.故選:A.7、在復(fù)平面內(nèi),O為坐標(biāo)原點,向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(i為虛數(shù)單位),若點B關(guān)于原點的對稱點為A,點A關(guān)于虛軸的對稱點為C,則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為______.【答案】【分析】首先求得點坐標(biāo)，根據(jù)對稱性，依次求得的坐標(biāo)，從而求得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù).【詳解】由題知,點B的坐標(biāo)為,所以點A的坐標(biāo)為,所以點C的坐標(biāo)為,所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故答案為：8、已知復(fù)數(shù)，它們所對應(yīng)的點分別為A，B，C．若，則的值是．【答案】-3【解析】解：由題意可得（3，-2）=x（-1，2）+y（-1，-1）=（-x-y，2x-y），∴-x-y=3，2x-y=-2，解得x=-，y=-，∴x+y=-3，9、當(dāng)為何值時，復(fù)數(shù)是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？【答案】（1）（2）或且（3）或【分析】（1）根據(jù)實數(shù)的定義，由實部中根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，虛部等于0，列式求解；（2）根據(jù)虛數(shù)的定義，由實部中根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，虛部不等于0，列式求解；（3）根據(jù)純虛數(shù)的定義，由實部中根式內(nèi)部的代數(shù)式等于0，虛部不等于0，列式即可求解．【詳解】（1）由題意知，所以，故當(dāng)時，復(fù)數(shù)為實數(shù).（2）由題意得，即，所以或且，故當(dāng)或且時，為虛數(shù).（3）由題意得，所以，所以或，故當(dāng)或時，復(fù)數(shù)為純虛數(shù).10、已知為實數(shù)，設(shè)復(fù)