山東省臨沂市費(fèi)城中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

山東省臨沂市費(fèi)城中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.三個(gè)共面向量、、兩兩所成的角相等，且，，，則

等于（

）A．

B．6

C．或6

D．3或6參考答案：C略2.用反證法證明“若a，b，c<3，則a，b，c中至少有一個(gè)小于1”時(shí)，“假設(shè)”應(yīng)為（

）A.假設(shè)a，b，c至少有一個(gè)大于1

B.假設(shè)a，b，c都大于1C.假設(shè)a，b，c至少有兩個(gè)大于1

D.假設(shè)a，b，c都不小于1參考答案：D3.已知i為虛數(shù)單位，為復(fù)數(shù)z的模，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.在A，B兩個(gè)袋中都有6張分別寫有數(shù)字0，1，2，3，4，5的卡片，現(xiàn)從每個(gè)袋中任取一張卡片，則兩張卡片上數(shù)字之和為7的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A5.設(shè)全集，，則右圖中陰影部分表示的集合為(▲) A．

B．

C．

D．參考答案：B略6.設(shè)Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，若，則(

)A．

B.

C.

D.

參考答案：A略7.若，且，則a=（

）A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：D8.“a≤0”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：C9.已知橢圓與軸交于、兩點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），則（▲）

A.

B.

C.

D.參考答案：D10.（12分）如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AA1，D是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是A1B的中點(diǎn)，⑴求證：DF∥平面ABC；⑵求證：AF⊥平面BDF．參考答案：（1）證明：取AB的中點(diǎn)E，連接EF，CE，因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以EF是的中位線，所以，且，又因?yàn)镈是的中點(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又在平面中，所以DF∥平面ABC（2）因?yàn)锳B＝AA1且F是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，所以AF⊥平面BDF。略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.把一個(gè)長(zhǎng)方體切割成個(gè)四面體，則的最小值是

.參考答案：；解析：據(jù)等價(jià)性，只須考慮單位正方體的切割情況，先說(shuō)明個(gè)不夠，若為個(gè)，因四面體的面皆為三角形，且互不平行，則正方體的上底至少要切割成兩個(gè)三角形，下底也至少要切割成兩個(gè)三角形，每個(gè)三角形的面積，且這四個(gè)三角形要屬于四個(gè)不同的四面體，以這種三角形為底的四面體，其高，故四個(gè)不同的四面體的體積之和，不合；所以，另一方面，可將單位正方體切割成個(gè)四面體；例如從正方體中間挖出一個(gè)四面體，剩下四個(gè)角上的四面體，合計(jì)個(gè)四面體.12.在三棱椎P-ABC中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面PAB是直角三角形，且，，則該三棱椎外接球的表面積為__________．參考答案：12π由于PA＝PB，CA＝CB，PA⊥AC，則PB⊥CB，因此取PC中點(diǎn)O，則有OP＝OC＝OA＝OB，即O三棱錐P－ABC外接球球心，又由PA＝PB＝2，得AC＝AB＝，所以PC＝，所以．點(diǎn)睛：多面體外接球，關(guān)鍵是確定球心位置，通常借助外接的性質(zhì)—球心到各頂點(diǎn)的距離等于球的半徑，尋求球心到底面中心的距離、半徑、頂點(diǎn)到底面中心的距離構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求出半徑，如果圖形中有直角三角形，則學(xué)借助于直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)來(lái)確定球心．13.已知等比數(shù)列中，，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和=________.參考答案：14.直線的傾斜角為_______；在y軸上的截距為_________.參考答案：45°，－1；15.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線DE與D1C所成角的余弦值為_____．參考答案：【分析】過(guò)E作EF，則即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，在三角形DEF中，計(jì)算可得cos.【詳解】取的中點(diǎn)F，連接EF，則EF，∴即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，不妨設(shè)，則在△DEF中，DE=,,∴在等腰三角形DEF中，可得cos,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查異面直角所成角的定義，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．16.若一個(gè)底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則這個(gè)棱柱的體積為

.參考答案：17.已知等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且公差為d，若的方差為8，則d=______．參考答案：2【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出平均數(shù)，利用方差的定義和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出等式，求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)有，，，，的平均值為，所以方差為所以，由是遞增數(shù)列，則.所以本題答案為2.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，以及方差的定義，利用方差的公式列出方程是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分10分)某農(nóng)家旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿．公司欲提高檔次，并提高租金．如果每間日房租每增加1元，客房出租數(shù)就會(huì)減少5間．若不考慮其他因素，旅游公司將房間租金提高元，每天客房的租金總收入元．（1）寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）旅游公司將房間租金提高到多少元時(shí)，每天客房的租金總收入最高？參考答案：（1）由題知即

……………5分（2）時(shí)所以旅游公司將房間租金提高到40元時(shí)，每天客房的租金總收入最高…………10分19.已知p:關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的負(fù)根；q:關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)根。若為真，為假，求m的取值范圍參考答案：若方程有兩個(gè)不等的負(fù)根，則，解得，即………3分若方程無(wú)實(shí)根，則，解得，即q：……6分因?yàn)檎?，為假，所以p、q兩命題中應(yīng)一真一假，即p為真，q為假或q為真，p為假

或，………10分解得或所以的取值范圍是或………12分20.等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.參考答案：(1)設(shè){an}的公比為q，由已知得16＝2q3，解得q＝2.

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2·2n－1＝2n.

(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，則b3＝8，b5＝32.

設(shè){bn}的公差為d，則有解得，

從而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，

所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝＝6n2－22n.21.在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為、，右焦點(diǎn)為，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線、與此橢圓分別交于點(diǎn)、，其中，，⑴設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程；⑵設(shè)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；⑶若點(diǎn)在點(diǎn)的軌跡上運(yùn)動(dòng)，問(wèn)直線是否經(jīng)過(guò)軸上的一定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．

參考答案：解：⑴設(shè)，依題意知代入化簡(jiǎn)得故的軌跡方程為⑵由及得，則點(diǎn)，從而直線的方程為；同理可以求得直線的方程為聯(lián)立兩方程可解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為⑶假設(shè)直線過(guò)定點(diǎn)，由在點(diǎn)的軌跡上，直線的方程為，直線的方程為點(diǎn)滿足得又，解得，從而得點(diǎn)滿足，解得若，則由及解得，此時(shí)直線的方程為，過(guò)點(diǎn)若，則，直線的斜率，直線的斜率，得，所以直線過(guò)點(diǎn)，因此，直線必過(guò)軸上的點(diǎn)

略22.如圖，中心在原點(diǎn)的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在過(guò)M（0，2）的直線與橢圓交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為：，由繼而求出b2=a2﹣c2=1，繼而得出橢圓方程．（Ⅱ）設(shè)直線斜率為k，則直線l的方程為：y=kx+2，由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0，由OA⊥OB得到x1x2+y1y2=0．代入求解即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為：，∵2a=4∴a=2…（1分）∵…（2分）∴b2=a2﹣c2=1…（3分）所以，橢圓的方程為：…（4分）（Ⅱ）法一：假設(shè)存在過(guò)M（0，2）的直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，依題意可知OA⊥OB．①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A、B分別為橢圓短軸的端點(diǎn)，不符合題意

…（5分）②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線l的方程為：y=kx+2由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0…（6分）令△＞0，得：（16k）2﹣4?（4k2+1）?12=4k2﹣3＞0∴…（7分）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則…（8分）又y1=kx1+2，y2=kx2+2∴==…（9分）∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…（10分）∴∴∴k=±2…（11分）∴直線l的方程為：y=±2x+2，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0，所以，存在過(guò)M（0，2）的直線與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，其方程為：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0．…（12分）（Ⅱ）法二：假設(shè)存在過(guò)M（0，2）的直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，依題意可知OA⊥OB，設(shè)直線l的方程為：x=m（y﹣2）…（5分）由得：（m2+4）y2﹣4m2y+4m2﹣4=0…（6分）令△＞0，得：16m4﹣4?（m2+4）?（4m2﹣4）=64﹣48m2＞0∴…（7