2018-2019學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第一章特殊平行四邊形1菱形的性質(zhì)與判定《菱形》知識(shí)講解及例題演練含解

菱形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】.理解菱形的概念..掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、菱形的定義TOC\o"1-5"\h\z有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形 .要點(diǎn)詮釋：菱形的定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等 .即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件 ^要點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：.菱形的四條邊都相等；.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角 ^.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線） ，對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.要點(diǎn)詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)稱圖形，過(guò)中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.（2）菱形的面積由兩種計(jì)算方法： 一種是平行四邊形的面積公式： 底X高;另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.（3）菱形可以用來(lái)證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問(wèn)題.要點(diǎn)三、菱形的判定菱形的判定方法有三種：TOC\o"1-5"\h\z.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 ..對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 ..四條邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來(lái)判定菱形， 后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等 .【典型例題】類型一、菱形的性質(zhì)01、如圖所示，菱形ABCD^,E、F分別是BCCD上的點(diǎn)，/B=/EA已60°,/BAE=18°.求/CEF的度數(shù).【思路點(diǎn)撥】由已知/B=60°,/BAE=18°,則/AEC=78°.欲求/CEF的度數(shù)，只要求出/AEF的度數(shù)即可，由/EAF=60°,結(jié)合已知條件易證△AEF為等邊三角形，從而/AEF

【答案與解析】解：連接AC.???四邊形ABC虛菱形，AB=BC,/ACB=/ACF又「ZB=60°,△ABC是等邊三角形./BAC=ZACB=60°,AB=AC?? /AC已/B=60°.又「 /EA已/BAC=60°ZBAE=/CAF??AABEE^AACFAE=AF.??^AEF為等邊三角形./AEF=60°.:/AE斗/CEF=/B+/BAE/BAE=18ZCEF=18°.【總結(jié)升華】當(dāng)菱形有一個(gè)內(nèi)角為60。時(shí)，連接菱形較短的對(duì)角線得到兩個(gè)等邊三角形，有助于求相關(guān)角的度數(shù).在求角的度數(shù)時(shí)，一定要注意已知角與所求角之間的聯(lián)系.2、如圖，在周長(zhǎng)為12的菱形ABC邛，AE=1,AF=2,若P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+FP的最小值為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【思路點(diǎn)撥】作F點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)F',則PF=PF,由兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng) E、P、F'在一條直線上時(shí)，EP+FP有最小值，然后求得EF'的長(zhǎng)度即可.【答案】C.【解析】解：作F點(diǎn)關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)F',則PF=PF,連接EF'交BD于點(diǎn)P.?.EP+FP=EP+FP.由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng) E、P、F'在一條直線上時(shí)， EP+FP的值最小，此時(shí)ep+fp=ep+fp=ef.???四邊形ABC陰菱形，周長(zhǎng)為12,.?.AB=BC=CD=DA=AB//CD?.AF=2,AE=1,DF=AE=1??四邊形AEFD是平行四邊形，.EF'=AD=3.?.EP+FP的最小值為3.故選：C.

EP、F'EP、F'舉一反三：【變式】(2015春?濰坊期中)如圖，在菱形ABCN,對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)O,E是AB的中點(diǎn)，如果EO=Z求四邊形ABCD勺周長(zhǎng).【答案】解：.??四邊形ABCM菱形，，BO=DO即O為BD的中點(diǎn)，又TE是AB的中點(diǎn)，??.EO是4ABD的中位線，，AD=2EO=22=4,???菱形ABCM周長(zhǎng)=4AD=4<4=16.類型二、菱形的判定部▼3、如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm射線AG/BG點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AG以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿線射BC以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).(1)連接EF,當(dāng)EF經(jīng)過(guò)AC邊的中點(diǎn)D時(shí)，求證：△AD且ACDF(2)當(dāng)t為多少時(shí)，四邊形ACFE是菱形.【思路點(diǎn)撥】(1)由題意得到AD=CD再由AG與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到兩對(duì)角相等，利用AAS即可得證；(2)若四邊形ACF弱菱形，則有CF=AC=AE=6由E的速度求出E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可.【答案與解析】(1)證明：A(G/BG??/EADWDCF/AEDWDFC??D為AC的中點(diǎn)，.AD=CD在4ADE和4CDF中，<ZEAD=ZDCF,ZAED=ZDFCtAD=CD,??.△AD且ACDF(AAS;(2)解：①若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6則此時(shí)的時(shí)間t=6+1=6(s).故答案為：6s.【總結(jié)升華】此題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)， 弄清題意是解本題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】已知，在^ABC中，AB=AC=a,M為底邊BC上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作ABAC的平行線交AC于巳交AB于Q.⑴求四邊形AQMP勺周長(zhǎng)；⑵)M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形AQM耽菱形？說(shuō)明你的理由.【答案】解：(1).MQ/AP,MP/AQ???四邊形AQM髭平行四邊形.?.QM=APX/AB=AGMP/AQ，/2=/C,△PMC是等腰三角形，PM=PC???QMFPM=AP+PC=AC=a，四邊形AQMP勺周長(zhǎng)為2aM位于BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AQM耽菱形.位于BC的中點(diǎn)時(shí)，易證△QBMW△PCMi:等,.?.QM=PM,，四邊形AQM的菱形類型三、菱形的綜合應(yīng)用砂4、如圖所示，菱形ABCM,AB=4,/ABC=60°,/EAF=60°,/EAF的兩邊分別交BGCD^E、F.當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊BGCD上時(shí)，求CE+CF的值.(2)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在CBDC的延長(zhǎng)線時(shí)，CECF又存在怎樣的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【思路點(diǎn)撥】(1)由菱形的性質(zhì)可知AB=BC而/ABC=60°,即聯(lián)想到△ABC為等邊三角形，ZBAC=60°,又/EAF=60°,所以/BAE=/CAF可證△BA9ACAf^得至U BE=CF,所以CE+CF=BC.(2)思路基本與(1)相同但結(jié)果有些變化.【答案與解析】解：(1)連接AC.在菱形ABCD43,BC=AB=4,AB//CDZABC=60°, AB=AC=BC,/BAC=ZACB=60°ZACF=60°,即/ACF=/B./EAF=60°,/BAC=60°,/BAE=/CAF△AB珞△ACF(ASA)BE=CF.CE+CF=C曰BE=BC=4.(2)CE-CF=4.連接AC如圖所示./BAC=/EAF=60°,/EAB=ZFAC/ABC=/ACD=60°,/ABE=/ACF=120°.A