全國高考文科數學試題及全國卷

2013年一般高等學校招生全國一致考試數學（文科）一、選擇題：本大題共12小題，每題5分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的1．設會合U1,2,3,4,5,會合A1,2,則euA（A）1,2（B）3,4,5（C）1,2,3,4,5（D）2．已知a是第二象限角，sina5,則cosa13（A）12（B）5（C）5（D）12131313133．已知向量m1,1,n2,2,若mnmn,則=（A）4（B）3（C）-2（D）-14．不等式x222的解集是（A）-1,1（B）-2,2（C）-1,00,1（D）-2,00,285．x2的張開式中x6的系數是（A）28（B）56（C）112（D）2246．函數fxlog211x0的反函數f-1x=x（A）1x0（B）1x0（C）2x1xR（D）2x1x02x12x17．已知數列an知足3an1an0,a24,則an的前10項和等于3（A）-101-10（C）-10-10-61-3（）1-331-3（）31+398．已知F11,0,F21,0是橢圓C的兩個焦點,過F2且垂直于x軸的直線交于A、B兩點，且AB3，則C的方程為（A）x2y21（B）x2y21（C）x2y2x2y2123241（D）4359．若函數ysinx0的部分圖像如圖，則=（A）5（B）4（C）3（D）2110．已知曲線yx4ax21在點-1，a2處切線的斜率為8，a=（A）9（B）6（C）-9（D）-611．已知正四棱錐ABCDA1B1C1D1中，AA12AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于（A）2（B）3（C）2（D）1333312．已知拋物線C:y28x與點M2,2，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點，若MAMB0，則k（A）1（B）2（C）2（D）222二、填空題：本大題共4小題，每題5分13．設fx是以2為周期的函數，且當x1,3時，fx=.14．從進入決賽的6名選手中決出1名一等獎，2名二等獎，3名三等獎，則可能的決賽結果共有種.（用數字作答）x0,15．若x、y知足拘束條件x3y4,則zxy的最小值為.3xy4,16．已知圓O和圓K是球O的大圓和小圓，其公共弦長等于球O的半徑，3，且圓O與圓K所在的平面所成角為則球O的表面積等于.OK60，2三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．（本小題滿分10分）等差數列an中，a74,a192a9,（I）求a的通項公式；n（II）設bn1,求數列bn的前n項和Sn.nan18．（本小題滿分12分）設ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，(abc)(abc)ac。（I）求B231（II）若sinAsinC，求C。419．（本小題滿分12分）如圖，四棱錐PABCD中，ABCBAD90，BC2AD,PAB與PAD2都是邊長為的等邊三角形.（I）證明：PBCD;（II）求點A到平面PCD的距離.20．（本小題滿分12分）甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，此中兩人競賽，另一人當裁判，每局競賽結束時，負的一方在下一局當裁判，設各局中兩方獲勝的概率均為1,各局競賽的結果都互相獨立，第1局甲2當裁判.I）求第4局甲當裁判的概率；II）求前4局中乙恰巧當1次裁判概率.21．（本小題滿分12分）已知函數fx=x33ax23x1.I）求a2時，討論fx的單一性;；（II）若x2,時，fx0,求a的取值范圍.22．（本小題滿分12分）已知雙曲線C:x2y21a0,b0的左、右焦點分別為F，F，離心率為3，直線a2b2122與C的兩個交點間的距離為6.I）求a,b;；（II）設過F2的直線l與C的左、右兩支分別訂交于A、B兩點，且AF1BF1,證明：AF2、AB、BF2成等比數列3參照答案一、選擇題1．B2.A3.B4.D5.C6.A7.C8.C9.B10.D11.A12.D13.-114.6015.016.1617．（Ⅰ）設等差數列{an}的公差為d，則ana1(n1)d因為a74a16d4.，因此a192a9a118d2(a18d)解得，a111,d.2因此{an}的通項公式為ann12.（Ⅱ）bn121)2n2，nann(nn1因此Sn(22)(22)(2n2)2n.1223n1n118.（Ⅰ）因為(abc)(abc)ac，因此a2c2b2ac.由余弦定理得，cosBa2c2b212ac，2因此，B1200.（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC600，因此cos(AC)cosAcosCsinAsinCcosAcosCsinAsinC2sinAsinCcos(AC)2sinAsinC131322，42故AC300或AC300，因此，C150或C450.（Ⅰ）證明：取BC的中點E，連接DE，則ABED為正方形.過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O.4連接OA，OB,OD,OE.由PAB和PAD都是等邊三角形知PA=PB=PD，因此OA=OB=OD，即點O為正方形ABED對角線的交點，故OEBD，進而PBOE.因為O是BD的中點，E是BC的中點，因此OE//CD.因此，PBCD.（Ⅱ）解：取PD的中點F，連接OF，則OF//PB.由（Ⅰ）知，PBCD，故OFCD.又OD1BD2，OPPD2OD22，2故POD為等腰三角形，因此，OFPD.又PDCDD，因此OF平面PCD.因為AE//CD，CD平面PCD，AE平面PCD，因此AE//平面PCD.因此，O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離，而11，OFPB2因此A至平面PCD的距離為1.（Ⅰ）記A1表示事件“第2局結果為甲勝”，A2表示事件“第3局甲參加競賽時，結果為甲負”，表示事件“第4局甲當裁判”.則A=A1A2.P(A)=P(A1A2)P(A1)P(A2)1.4（Ⅱ）記B1表示事件“第1局結果為乙勝”，B2表示事件“第2局乙參加競賽時，結果為乙勝”，B3表示事件“第3局乙參加競賽時，結果為乙勝”，B表示事件“前4局中恰巧當1次裁判”.則BBBBBBBB.1312312P(B)P(B1B3B1B2B3B1B2)P(B1B3)P(B1B2B3)P(B1B2)P(B1)P(B3)P(B1)P(B2)P(B3)P(B1)P(B2)51115.484821.（Ⅰ）當a-2時，fx=x3-32x23x1.f'(x)3x262x3.令f'(x)0，得，x121，x221.當x(,21)時，f'(x)0，f(x)在(,21)是增函數；當x(21,21)時，f'(x)0，f(x)在(21,21)是減函數；當x(21,)時，f'(x)0，f(x)在(21,)是增函數；（Ⅱ）由f(2)0得，a5.4當a5，x(2,)時，4f'(x)3(x22ax1)3(x25x1)3(x1)(x2)0，22因此f(x)在(2,)是增函數，于是當x[2,)時，f(x)f(2)0.綜上，a的取值范圍是[5,).422.（Ⅰ）由題設知c3，即a2b29，故b28a2.aa2因此C的方程為8x2y28a2.將y=2代入上式，求得，xa21.2由題設知，2a216，解得，a21.2因此a1,b22.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F1(3,0)，F2(3,0)，C的方程為8x2y28.①由題意可設l的方程為yk(x3)，|k|22，代入①并化簡得，(k28)x26k2x9k280.設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則6x11，x21，x1x26k2，x1x29k28.k28k28于是|AF1|(x13)2y12(x13)28x128(3x11)，|BF1|(x23)2y22(x23)28x2283x21由|AF1||BF1|得，(3x11)3x21，即x1x22.36k2224x219故28，解得