2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)-初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)

2020-2021備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)一一初中數(shù)學(xué)旋轉(zhuǎn)的綜合壓軸題專題復(fù)習(xí)一、旋轉(zhuǎn)1.操作與證明：如圖1,把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合，點E、F分別在正方形的邊CBCD上,連接AF.取AF中點M,EF的中點N,連接MD、MN.（1）連接AE,求證：4AEF是等腰三角形；猜想與發(fā)現(xiàn)：（2）在（1）的條件下，請判斷MD、MN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，得出結(jié)論.結(jié)論1：DM、MN的數(shù)量關(guān)系是結(jié)論2:DM、MN的位置關(guān)系是一；拓展與探究：（3）如圖2,將圖1中的直角三角板ECF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180°,其他條件不變，則（2）中的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.【答案】（1）證明參見解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由參見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的知識證明出 CE=CF繼而證明出△ABE^^ADF,得到AE=AF，從而證明出4AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結(jié)論 .位置關(guān)系是垂直，利用三角形外角性質(zhì)和等腰三角形兩個底角相等性質(zhì)，及全等三角形對應(yīng)角相等即可得出結(jié)論；（3）成立，連接AE,交MD于點G,標(biāo)記出各個角，首先證明出11MN//AE,MN=^AE,利用三角形全等證出AE=AF,而DM=^AF,從而得到DM,MN數(shù)量相等的結(jié)論，再利用三角形外角性質(zhì)和三角形全等，等腰三角形性質(zhì)以及角角之間的數(shù)量關(guān)系得到/DMN=/DGE=90,從而得到DM、MN的位置關(guān)系是垂直.試題解析：（1）二.四邊形ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD/B=/ADF=90,=△CEF是等腰直角三角形， /C=90,.-.CE=CF..BC-CE=C>CF,即BE=DF，.?.△ABE^AADF,AE=ARAAEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數(shù)量關(guān)系是相等，DM、MN的位置關(guān)系是垂直；二,在Rt^ADF中DM是斜邊AF的中線，，AF=2DM,/MN是4AEF的中位線，AE=2MN,-.AE=AF,..DM=MN;-/DMF=/DAF+/ADM,AM=MD???/FMN=ZFAE/DAF=ZBAE, /ADM=/DAF=ZBAE,AM=MD./DMN=/FMN+/DMF=/DAF+/BAE+ZFAE》BAD=90 .DM，MN;(3)(2)中的兩個結(jié)論還成立，連接AE,交MD于點G,二?點M為AF的中點，點N為EF的中點，1.MN//AE,MN=?AE,由已知得，AB=AD=BC=CD/B=/ADF,CE=CF又.?BC+CE=CD+CF即BE=DR/.AABE^AADF,，AE=AF,在Rt^ADF中，??點M為AF的巴中點，DM=2AF, DM=MN,???AABE^AADF,，/1=/2,-.AB//DF,，/1=/3,同理可證：Z2=Z4,.l.Z3=Z4,1??DM=AM,，/MAD=/5,ZDGE=Z5+Z4=ZMAD+Z3=90,°/MN//AE,../DMN=/DGE=90.DM，MN.所以(2)中的兩個結(jié)論還成立.考點：1.正方形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定與性質(zhì)； 3.三角形中位線定理；4.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).2.已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF±BD交BC于F,連接DF,G為DF中點，連接EG,CG.(1)請問EG與CG存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)將圖①中4BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖②所示，取DF中點G,連接EG,CG.問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.(3)將圖①中4BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？(請直接寫出結(jié)果，不必寫出理由)【解析】【分析】(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出 CG=EG.(2)結(jié)論仍然成立，連接AG,過G點作MN，AD于M,與EF的延長線交于N點；再證明△DA84DCG,得出AG=CG;再證出△DMG^^FNG,得到MG=NG;再證明△AMG^AENGi,得出AG=EG;最后證出CG=EG.(3)結(jié)論依然成立.【詳解】CG=EG.理由如下：.?.四邊形ABCD是正方形，ZDCF=90:在Rt^FCD中，;G為DF的中點，CG=-FD,2同理.在Rt^DEF中，EG=1FD..CG=EG2(1)中結(jié)論仍然成立，即EG=CG.證法一：連接AG,過G點作MNLAD于M,與EF的延長線交于N點.在4DAG與4DCG中，「AD=CD,ZADG=ZCDG,DG=DG,.1.ADAG^ADCG(SAS),.AG=CG；在4DMG與4FNG中，/ZDGM=ZFGN,FG=DG,ZMDG=ZNFG,.1.△DMG^AFNG(ASA), MG=NG.??ZEAM=ZAEN=ZAMN=90；，四邊形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN.在△AMG與4ENG中，/AM=EN,ZAMG=ZENG,MG=NG,.1.AAMG^AENG(SAS),.?.AG=EG,EG=CG.證法二：延長CG至M,使MG=CG,連接MF,ME,EC.在ADCG與AFMG中，.FG=DG,/MGF=/CGDMG=CG,..△DC?"MG,?.MF=CD,/FMG=/DCG,?.MF//CD//AB, EF±MF.在Rt^MFE與Rt^CBE中，/MF=CB,ZMFE=ZEBC=90°,EF=BE,.1.AMFE^ACBEZMEF=ZCEB, ZMEC=ZMEF+ZFEC=ZCE?/CEF=90；..△MEC為直角三角形..MG=CG EG=-MC..EG=CG2 ,(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下：過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC；過F作FN垂直于AB于N.由于G為FD中點，易證△CD84MFG,得到CD=FM,又因為BE=EF,易證/EFM=/EBC,貝HEFMZ^EBCZFEM=ZBECEM=EC???/FEG/BEC=90； ZFEC+ZFEM=90；即/MEC=90；. MEC是等腰直角三角形.?.G為CM中點，EG=CG,EG±CG

圖②（一） 圖②（二上 圖電圖②（一） 圖②（二上 圖電【點睛】本題是四邊形的綜合題.（1）關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答;（2）關(guān)鍵是利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)解答.3.請認(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列，完成所提出的問題:1探究1:3.請認(rèn)真閱讀下面的數(shù)學(xué)小探究系列，完成所提出的問題:1探究1:如圖1,在等腰直角三角形ABC中,ACB90°，BCa,將邊AB繞點B12順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.求證：VBCD的面積為一a2.（提示：過點D作BC2邊上的高DE,可證VABC^VBDE）2探究2：如圖2,在一般的RtVABC中，ACB90°,BCa,將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.請用含a的式子表示VBCD的面積，并說明理由.3探究3：如圖3,在等腰三角形ABC中，ABAC,BCa,將邊AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD,連接CD.試探究用含a的式子表示VBCD的面積，要有探究過程.12【答案】（1）詳見解析；（2）VBCD的面積為一a,理由詳見解析；（3）VBCD的面2…12積為—a.4【解析】【分析】1如圖1,過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E,由垂直的性質(zhì)就可以得出

VABC^VBDE,就有DEBCa.進而由三角形的面積公式得出結(jié)論；2如圖2,過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E,由垂直的性質(zhì)就可以得出VABC^VBDE,就有DEBCa.進而由三角形的面積公式得出結(jié)論；3如圖3,過點A作AFBC與F,過點D作DEBC的延長線于點E,由等腰三角形1__ ____的性質(zhì)可以得出BF—BC,由條件可以得出VAFB且VBED就可以得出BFDE,由2三角形的面積公式就可以得出結(jié)論.1如圖1如圖1,過點D作DECB交CB的延長線于E,BEDACB90o由旋轉(zhuǎn)知,ABADABD由旋轉(zhuǎn)知,ABADABD900,ABCDBE900,QAABC900,ADBE,在VABC和VBDE中,ACBBEDADBEABBDVABC^VBDEAASBCDEa,QSvBCDSVBCD122VBCD的面積為一a,2理由：如圖2,過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E,

BEDACB90°，Q線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE,ABBD,ABD90°,ABCDBE90°,QAABC90°,ADBE,在VABC和VBDE中，ACBBEDBEDACB90°，Q線段AB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE,ABBD,ABD90°,ABCDBE90°,QAABC90°,ADBE,在VABC和VBDE中，ACBBEDADBE,ABBDVABC^VBDEAAS,BCDEa,QSvBCD-BC2FABABFBC與F,SVBCD90°，過點D作DEBC的延長線于點E,QABD90°,ABFDBEFABEBD1-BFBC290°，Q線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的,ABBD

在VAFB和VBED中,AFBEFABEBD,ABBDVAFBVBEDAAS,1BFDE-a,2一一1―― 11 12QSvbcd BCDEaaa,2 22 412VBCD的面積為一a.4【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積等，綜合性較強，有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握和靈活運用相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.4.如圖所示，（1）正方形ABCD及等腰Rt^AEF有公共頂點A,/EAF=90；連接BE、DF.將R「AEF繞點A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中， BE、DF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？結(jié)合圖 （1）給予證明；（2）將（1）中的正方形ABCD變?yōu)榫匦蜛BCD,等腰Rt^AEF變?yōu)镽tAAEF7,且AD=kAB,AF=kAE,其他條彳不變.（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖（2）說明理由；（3）將（2）中的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BCD）,將RtAAEF變?yōu)椤鰽EF,且/BAD=/EAF=a其他條彳不變.（2）中的結(jié)論是否發(fā)生變化？結(jié)合圖 （3）,如果不變，直接寫出結(jié)論；如果變化，直接用k表示出線段BE、DF的數(shù)量關(guān)系，用a表示出直線BE、DF形成的銳角3.形成的銳角3.【答案】（1）DF=BE且DFLBE,證明見解析；（2）數(shù)量關(guān)系改變，位置關(guān)系不變，即DF=kBE,DF±BE;(3)DF=kBE,DF±BE;(3)不改變.DF=kBE,3=18?！啊痉治觥浚?）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的過程中線段的長度不變，得到 AF=AE,又/BAE與/DAF都與/BAF互余，所以/BAE=/DAF,所以△FAg4EAB,因此BE與DF相等，延長DF交BE于G,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于 360。求出/EGF=90。，所以DF±BE；（2）等同（1）的方法，因為矩形的鄰邊不相等，但根據(jù)題意，可以得到對應(yīng)邊成比例，

所以△FAg^EAB,所以DF=kBE,同理，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360°求出/EHF=90°,所以DF，BE；(3)與(2)的證明方法相同，但根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等和四邊形的內(nèi)角和等于360°求出/￡人5+/EHF=180°,所以DF與BE的夾角3=180-a.【詳解】(1)DF與BE互相垂直且相等.證明：延長DF分別交ARBE于點P、G在正方形ABCD在正方形ABCD和等腰直角4AEF中AD=AB,AF=AE,/AD=AB,AF=AE,/BAD=/EAF=90°/FAD=/EAB?.△FAD^AEABZAFD=ZAEB,DF=BE??/AFD+ZAFG=180:??/AEG+/AFG=180；??/EAF=90°,/EGF=180-90=90；??DFXBE(2)數(shù)量關(guān)系改變，位置關(guān)系不變.延長DF交EB于點H,DF=kBE,DF±BE.?.AD=kAB,AF=kAE?.AD=kAB,AF=kAE股k,處ABAEADAFABAE???/BAD=/EAF=a/FAD=/EAB??.△FAD^AEABDFAF,——kBEAE.?.DF=kBE.△FAD^AEAEJ,??/AFA/AEB,??/AFD+/AFH=180:??/AEH+ZAFH=180；??/EAF=90°,/EHF=180-90=90；??DFXBE(3)不改變.DF=kBE,3=180°-a.延長DF交EB的延長線于點H,?J.AD=kAB,AF=kAE處 ”AB AEADAFABAE??/BAD=/EAF=a??/FAA/EAB?.△FAD^AEABDFAF,————kBEAE.?.DF=kBE由△FAD^△EAB得/AFD=/AEB??/AFD+/AFH=180°??/AEB+/AFH=180°??四邊形AEHF的內(nèi)角和為360；??/EAF+ZEHF=180°??/EAF=a,/EHF=3?-a+3=180:3=180-a【點睛】本題（1）中主要利用三角形全等的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)進行證明；（ 2）（3）利用相似三角形的判定和性質(zhì)證明，要解決本題，證明三角形全等和三角相似是解題的關(guān)鍵，也是難點所在.5.如圖，矩形OABC的頂點A在x軸正半軸上，頂點C在y軸正半軸上，點B的坐標(biāo)為

(4,m)(5Wm^,反比例函數(shù)y=16(x>0)的圖象交邊AB于點D.x(1)用m的代數(shù)式表示BD的長；(2)設(shè)點P在該函數(shù)圖象上，且它的橫坐標(biāo)為 m,連結(jié)PB,PD①記矩形OABC面積與4PBD面積之差為S,求當(dāng)m為何值時，S取到最大值；當(dāng)點E恰好落在x軸上時，求m的值.S取到最大值②S取到最大值②m=2+2jg【分析】(1)先確定出點D橫坐標(biāo)為4,代入反比例函數(shù)解析式中求出點 D橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；(2)①先求出矩形OABC的面積和三角形PBD的面積得出得出結(jié)論；②利用一線三直角判斷出【詳解】解：(1):四邊形OABC是矩形，一1 一CS=——(m—8)2+24,即可2P的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.DG=PF,進而求出點丁點/.占八、、一1 一CS=——(m—8)2+24,即可2P的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.DG=PF,進而求出點丁點/.占八、、B(4,m),D的橫坐標(biāo)為4丁點D在反比例函數(shù)y—3上y—— —，x??D(4,4),.?.BD=m-4;(2)①如圖1,二,矩形OABC的頂點二.S矩形oabc=4m,由(1)知，D(4,4),B的坐標(biāo)為(4,m)Sapbd=—(m-4)(m-4)2(m—4)2,c 1??.S=S矩形oabc—Sapbd=4m——2(m—4)2=-―(m-8)22+24,，拋物線的對稱軸為 m=8,??.m=7時，S取到最大值;②如圖2,過點P作PF±x軸于F,過點D作DG,FP交FP的延長線于G,/DGP=/PF『90???/DPG+/PDG=90由旋轉(zhuǎn)知，PD=PE,/DPE=90。,???/DPG+ZEPF=90°,/PDG=/EPF,.,.△PDG^AEPF(AAS),.?.DG=PF,-'DG=AF=m-4,1?P(m,m—4),???點P在反比例函數(shù)16???點P在反比例函數(shù)16y=—，

x(舍).m(m—4)=16,此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，矩形的性質(zhì)，三角形的面積公式，全等三角形的判定，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵.6.已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF±BD交BC于F,連接DF,G為DF中點，連接EGCG⑴求證：EG=CG；(2)將圖①中4BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖②所示，取DF中點G,連接EGCG問⑴中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)將圖①中4BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能彳#出什么結(jié)論(均不要求證明).

(2)(1)中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即 EG=CG證明：連接AG,過G點作MNXAD于M,與EF的延長線交于N點.圖2在4DAG與4DCG中，???AD=CD,/ADG=/CDG,DG=DG,△DAG^△DCG.AG=CG在4DMG與4FNG中，???/DGM=/FGN,FG=DG,ZMDG=ZNFG,ADMG^AFNG.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在RtAAMG與Rt^ENG中，???AM=EN,MG=NG,AAMG^AENG.AG=EGEG=CG(3)(1)中的結(jié)論仍然成立.EE試題分析：(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG(2)結(jié)論仍然成立，連接AG,過G點作MNLAD于M,與EF的延長線交于N點；再證明△DAG24DCG,得出AG=CG再證出△DMG^^FNG,得到MG=NG;再證明△AMG^AENG,得出AG=EG最后證出CG=EG(3)結(jié)論依然成立.還知道EG±CG;試題解析：解：(1)證明：在RtAFCD中，??.G為DF的中點，同理，在R「DEF中，EG=-FD,2.?.CG=EQ(1)中結(jié)論仍然成立，即EG=CG連接AG,過G點作MNLAD于M,與EF的延長線交于N點，如圖所示：在^DAG與4DCG中，.AD=CD,/ADG=/CDG,DC=DC.?.△DAG^ADCG,.AG=CG在4DMG與4FNG中，??/DGM=ZFGN,DG=FG/MDG=ZNFG,?.△DMG^AFNG,.?.MG=NG,在矩形AENM中，AM=EN.,在RtAAMG與Rt^ENG中，.AM=EN,MG=NG,?.△AMG^AENG,."EQEG=CG(1)中的結(jié)論仍然成立，即 EG=CG且EG±CG過F作CD的平行線并延長CG交于M點，連接EM、EC,過F作FN垂直于AB于N,如圖所示：由于G為FD中點，易證△CD84MFG,得到CD=FM,又因為BE=EF易證/EFM=/EBC,貝U△EFM/△EBGZFEM=ZBECEM=EC???/FEEBEC=90,°???/FEEFEM=90；即/MEC=90；△MEC是等腰直角三角形，??.G為CM中點，，EG=CGEG±CGo【點睛】本題解題關(guān)鍵是作出輔助線，且利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較大。7.小明在矩形紙片上畫正三角形，他的做法是： ①對折矩形紙片ABCD(AB>BC)使AB與DC重合，得到折痕EF,把紙片展平；②沿折痕BG折疊紙片，使點C落在EF上的點P處，再折出PB、PC,最后用筆畫出4PBC圖1).(1)求證：圖1中的Z\PBC是正三角形：(2)如圖2,小明在矩形紙片HIJK上又畫了一個正三角形IMN,其中IJ=6cm,且HM=JN.①求證：IH=IJ②請求出NJ的長；(3)小明發(fā)現(xiàn)：在矩形紙片中，若一邊長為 6cm,當(dāng)另一邊的長度a變化時，在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形，但位置會有所不同.請根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，畫出不同情形的示意圖(作圖工具不限，能說明問題即可 )，并直接寫出對應(yīng)的a的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析；②12-6J3(3)3j3va〈4j3,a>4.3【解析】分析：(1)由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出 PB=PCPB=CB得出PB=PC=CEHP可；(2)①利用"Hl>M△IHM^Rt^IJN即可得；②IJ上取一點Q,使QI=QN,由RtAIHM^Rt^IJN知/HIM=/JIN=15:繼而可得ZNQJ=30°,設(shè)NJ=x,貝UIQ=QN=2x、QJ=J3x,根據(jù)IJ=IQ+QJ求出x即可得；(3)由等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進行計算，畫出圖形即可.(1)證明：二.①對折矩形紙片ABCD(AB>BC)使AB與DC重合，得到折痕EF?.PB=PC???沿折痕BG折疊紙片，使點C落在EF上的點P處.PB=BCPB=PC=BC?.△PBC是正三角形：(2)證明：①如圖MKI..矩形AHIJ/H=ZJ=90°??△MNJ是等邊三角形.?.MI=NI在RtAMHI和Rt^JNI中MINIMHNJ??RtAMHI^RtAJNI(HL).?.HI=IJ②在線段IJ上取點Q,使IQ=NQ/\Jxj.41Ll—[JrQJ???RtAIHM^RtAIJN,/HIM=ZJIN,???/HIJ=90、/MIN=60；h/HIM=ZJIN=15,°由QI=QN知/JIN=/QNI=15,/NQJ=30,°

x,設(shè)NJ=x,貝UIQ=QN=2x,QJ=qn2NJ2=x,IJ=6cm,2x+3x=6,??.x=12-673,即NJ=12-673(cm).(3)分三種情況：設(shè)等邊三角形的邊長為b,則設(shè)等邊三角形的邊長為b,則0vbW6,則匕"=.?,a=Jb,.?,a=Jb,2??.0<b?3=352②如圖②如圖當(dāng)DF與DC重合時，DF=DE=6a=sin60xDE6^3=373,6當(dāng)DE與DA重合時，a=sin60373<a<4瓜；③如圖

???△DEF是等邊三角形°/FDC=30???△DEF是等邊三角形°61?DF=cos30■-a>4^3點睛：本題是四邊形的綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，難度較大.8.如圖(1)所示，將一個腰長為2等腰直角△BCD和直角邊長為2、寬為1的直角4CED拼在一起.現(xiàn)將4CED繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至ACED'旋轉(zhuǎn)角為a.(1)如圖(2),旋轉(zhuǎn)角a=30。時，點D'到CD邊的距離DA=.求證：四邊形ACED'為矩形；(2)如圖(1),4CED繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，在BC上如何取點G,使得GD=E'p并說明理由.(3)4CED繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中， /CE=90。時，直接寫出旋轉(zhuǎn)角a的值.【答案】1【解析】分析：(1)過D作DN，CD于N.由30°所對直角邊等于斜邊的一半即可得結(jié)論.由D'A//CE且D'A=CE=1,得到四邊形ACED為平行四邊形.根據(jù)有一個角為 90。的平行四邊形是矩形，即可得出結(jié)論；(2)取BC中點即為點G,連接GD'.易證△DCE'^^D'CG,由全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論.(3)分兩種情況討論即可.

詳解：(1)D'A=1.理由如下:過D作DNLCD于N.1??/NCD'=30CD'CD=2,?.ND=—CD'=12由已知，D'A//CE,且D'A=CE=1,???四邊形ACED為平行四邊形.又「/DCE=90°,???四邊形ACED為矩形；(2)如圖，取BC中點即為點G,連接GD'.??/DCE=/D'CE'=90°???/DCE￡D'CG.又.D'C=DC,CG=CE',..△DC三△D'CG,?.GD'E'D.(3)分兩種情況討論： ①如圖1./CED=90；CD=2,CE'=1.-./CDE=30:/ECD=60:「./ECB=30；「.旋轉(zhuǎn)角=/ECE=180°+30°=210°El

點睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.9.已知Rt^DAB中，/ADB=90°,扇形DEF中，/EDF=30；且DA=DB=DE將Rt^ADB的邊與扇形DEF的半徑DE重合，拼接成圖1所示的圖形，現(xiàn)將扇形 DEF繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到扇形DEF'設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<180°)(1)如圖2,當(dāng)0°<a<90°,且DF'//AB時，求a；(2)如圖3,當(dāng)a=120；求證：AF'=BE【答案】(1)15。；(2)見解析.【解析】試題分析：(1)?./ADB=90,DA=DB,../BAD=45,..DF'//AB,??/ADF2BAD=45a=45-30=15；(2)???a=120；，/ADE=120；，/ADF=120°+30°=150/BDE=360-90°-CDA=DB120=150°,「./ADF'2BDE',在△ADF'和△BDE'中，(二/BDE',辰，RF，??.△ADF^ABDE；..AF'=BE'考點：①旋轉(zhuǎn)性質(zhì)；②全等三角形的判定和性質(zhì).3個扇形，乙轉(zhuǎn)盤被等分成43個扇形，乙轉(zhuǎn)盤被等分成4個扇當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，計算指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和.如果指針恰好指在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個數(shù)字(1)率；(1)率；⑵10的概請你通過畫樹狀圖或列表的方法分析，并求指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字和小于小亮和小穎小亮和小穎利用它們做游戲，游戲規(guī)則是：指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字和小于10,小穎獲勝；指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和等于 10,為平局；指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于10,小亮獲勝.你認(rèn)為該游戲規(guī)則是否公平？請說明理由；若游戲規(guī)則不公平，請你設(shè)計出一種公平的游戲規(guī)則.一一1 ，一【答案】(1)1;(2)不公平.3【解析】試題分析：(1)依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率.(2)判斷游戲的公平性，首先要計算出游戲雙方贏的概率，概率相等則公平，否則不公平.試題解析：(1)共有12種等可能的結(jié)果，小于10的情況有4種,所以指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字和小于 10的概率為1.3攀261891]789103口1011124101112134 1(2)不公平，因為小穎獲勝的概率為 R五年弋子m=—=-;123 5 小亮獲勝的概率為一.小亮獲勝的可能性大，所以不公平.12可以修改為若這兩個數(shù)的和為奇數(shù)，則小亮贏；積為偶數(shù)，則小穎贏.考點：1.游戲公平性；2.列表法與樹狀圖法..如圖所示，在4ABC中，D、E分別是ARAC上的點，DE//BC,如圖①，然后將△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖②，然后將BD、CE分別延長至M、N,使DM=：BD,EN=±CE,得到圖③，請解答下列問題：(1)若AB=AC,請?zhí)骄肯铝袛?shù)量關(guān)系：在圖②中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是；②在圖③中，猜想AM與AN的數(shù)量關(guān)系、/MAN與/BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)若AB=kAC(k>1),按上述操作方法，得到圖④，請繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關(guān)系、/MAN與/BAC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，不必證

【答案】(1)①BD=CE;AM=AN,/MAN=/BAC理由如下：??在圖①中，DE〃BC,AB=AC?.AD="AE."AR=AC,=￡.CAEfTOC\o"1-5"\h\z.A-A_,AD-AE _在^ABD與AACE中 AABD^AACE.BD=CE/ACE玄ABD.在ADAM與△EAN中,\o"CurrentDocument"1 11???/AEN=ZACE-+ZCAE,DM’BD,EN』CE,BD=CE，DM=EN,/ADM=/ABD+ZBAD,???/AEN=ZACE-+ZCAE,y.'AE=AD, AADM^AAEN..'.AM=AN,/DAM=/EAN.，/MAN=/DAE=/BAC..?.AM=AN,/MAN=/BAC.(2)AM=kAN,/MAN=/BAC.【解析】(1)①根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△AE?4ADB,所以BD=CE;②根據(jù)題意可知ZCAE=BADAB=AC,AD=AE,所以得到△BA44CAE,在△ABM和△ACN中，1 1DM=—BD,EN=—CE：,可證△ABM0^ACN,所以AM=AN,即/MAN=/BAC.工 人(2)直接類比(1)中結(jié)果可知AM=k?AN,/MAN=/BAC.12.如圖1,在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC,CD上，且BE=DF^點P是AF的中點，點Q是直線AC與EF的交點，連接PQ,PD.(1)求證：AC垂直平分EF;(2)試判斷4PDQ的形狀，并加以證明；（3）如圖2,若將4CEF繞著點C旋轉(zhuǎn)180°,其余條件不變，則（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）4PDQ是等腰直角三角形；理由見解析（3）成立；理由見解析.【解析】試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD/B=/ADF=90,ZBCA=ZDCA=45,°由BE=DF，得出CE=CF△CEF是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；111II（2）由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出 PD=AF,PQ=AF,得出PD=PQ再證明/DPQ=90；即可得出結(jié)論；111II（3）由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出 PD=AF,PQ?AF,得出PD=PQ再證明點A、FQ、P四點共圓，由圓周角定理得出 /DPQ=2/DAQ=90°,即可得出結(jié)論.試題解析：（1）證明：二?四邊形ABCD是正方形，?.AB=BC=CD=AD/B=ZADF=90,°/BCA=ZDCA=45；,.BE=DR.?.CE=CF??AC垂直平分EF;(2)解：4PDQ是等腰直角三角形；理由如下：??點P是AF的中點，/ADF=90,11.PD=AF=PA/DAP=/ADP,.「AC垂直平分EF,/AQF=90；RPQ=AF=PA??/PAQ土AQP,PD=PQ,??/DPF=ZPAD+ZADP,/QPF=ZPAQ+ZAQP,/DPQ=2/PAD+2/PAQ=2(/PAD+ZPAQ=2X4590；

??.△PDQ是等腰直角三角形；(3)成立；理由如下：???點P是AF的中點，/ADF=90,°11，PD=AF=PA???BE=DRBC=CQ/FCQ=/ACD=45,°/ECQ4ACB=45,??.CE=CF/FCQ=ZECQ.-.CQ±EF,/AQF=90,°111PQ=AF=AP=PFPD=PQ=AP=PF???點A、FQ、P四點共圓，/DPQ=2/DAQ=90；△PDQ是等腰直角三角形.考點：四邊形綜合題.EFG的兩邊.若EF,EG分13.如圖1,矩形ABCD中，E是ADEFG的兩邊.若EF,EG分EF,EG分別過點B,C,/F=30°.（1）求證：BE=CE（2）將4EFG繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到 EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動別與AB,BC相交于點M,N.（如圖2）①求證：△BEM^^CEN;②若AB=2,求4BMN面積的最大值；③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時，點B恰好在FG上（如圖3）,求sin/EBG的值.【答案】（1）詳見解析；（【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②2;③品五【分析】(1)只要證明△BA?4CDE即可；(2)①利用(1)可知4EBC是等腰直角三角形，根據(jù)ASA即可證明；②構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；利用面③如圖3中，作EH，BG于H.設(shè)NG=m,貝UBG=2m,BN=EN=/3m,EB=/6m.利用面積法求出EH,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問題 .【詳解】(1)證明：如圖1中，Si???四邊形ABCD是矩形，.?.AB=DC,/A=/D=90；?.E是AD中點,，AE=DE??ABAEVAODE,.?.BE=CE(2)①解：如圖2中，由(1)可知，AEBC是等腰直角三角形,/EBO=Z