新課標(biāo)全國卷2022年高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，則()A． B．C． D．2．已知橢圓的中心為原點(diǎn)，為的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，滿足且，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．3．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，則直線的斜率為()A． B． C． D．4．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，不等式對(duì)于恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．5．若θ是第二象限角且sinθ=，則=A． B． C． D．6．已知，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，其中是實(shí)數(shù)，則等于（）A． B． C． D．8．歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則10．已知雙曲線滿足以下條件：①雙曲線E的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F重合；②雙曲線E與過點(diǎn)的冪函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q，且該冪函數(shù)在點(diǎn)Q處的切線過點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的值域?yàn)?，函?shù)，則的圖象的對(duì)稱中心為（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A．、B．、C．、D．、二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，滿足約束條件，若的最大值是10，則________.14．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則滿足的x的取值范圍為______.15．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計(jì)算公式．如圖所示，弧田是由圓弧AB和其所對(duì)弦AB圍成的圖形，若弧田的弧AB長為4π，弧所在的圓的半徑為6，則弧田的弦AB長是__________，弧田的面積是__________．16．已知向量，，且，則________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數(shù)列中，，，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且其中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669（1）請(qǐng)選擇一個(gè)可能的組合，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記（1）中您選擇的的前項(xiàng)和為，判斷是否存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，若有，請(qǐng)求出的值；若沒有，請(qǐng)說明理由.18．（12分）已知函數(shù).（1）若在上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：（2）若，記的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，記的最大值與最小值分別為M，m，求的值.19．（12分）已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若，且，證明：.20．（12分）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，，M是橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的面積的最大值為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）若，，四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓E，，記直線AD，BC的斜率分別為，，求證:為定值.21．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知橢圓：的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，原點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）已知定點(diǎn)，是否存在過的直線，使與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)？若存在，求出的方程：若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

直接進(jìn)行集合的并集、交集的運(yùn)算即可．【詳解】解：；∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.2．B【解析】由題意可得c=，設(shè)右焦點(diǎn)為F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=，由橢圓定義，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，從而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以橢圓的方程為．故選B．點(diǎn)睛：橢圓的定義：到兩定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)和大于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡是橢圓，當(dāng)和等于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡是線段（兩定點(diǎn)間的連線段），當(dāng)和小于兩定點(diǎn)間的距離時(shí)，軌跡不存在．3．D【解析】

根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合，求出的坐標(biāo)，然后求出的斜率即可．【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，故，此時(shí)，即．則直線的斜率．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題．4．A【解析】

根據(jù)奇偶性定義和性質(zhì)可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，由此可將不等式化為；利用分離變量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到結(jié)果.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱又在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)，即對(duì)于恒成立在上恒成立，即的取值范圍為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關(guān)鍵是能夠利用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.5．B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知：，．所以．6．B【解析】

利用函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，可得，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)比較a,c進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】依題意，函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，又，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的大小比較，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，由于為純虛數(shù)，則化簡后的復(fù)數(shù)形式中，實(shí)部為0，得到的值，從而得到復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，得所以.故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，純虛數(shù)的概念，屬于簡單題.8．A【解析】

計(jì)算，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故，表示的復(fù)數(shù)在第一象限.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.9．D【解析】試題分析：，,故選D.考點(diǎn)：點(diǎn)線面的位置關(guān)系.10．B【解析】

由已知可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為,可求得冪函數(shù)為,設(shè)出切點(diǎn)通過導(dǎo)數(shù)求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點(diǎn)坐標(biāo),然后求解雙曲線的離心率．【詳解】依題意可得，拋物線的焦點(diǎn)為，F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；，，所以，，設(shè)，則，解得，∴，可得，又，，可解得，故雙曲線的離心率是.故選B．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì),已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo),求冪函數(shù)解析式,直線的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力,難度一般.11．B【解析】

由值域?yàn)榇_定的值，得，利用對(duì)稱中心列方程求解即可【詳解】因?yàn)?，又依題意知的值域?yàn)椋缘?，，所以，令，得，則的圖象的對(duì)稱中心為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查函數(shù)的對(duì)稱中心，重點(diǎn)考查值域的求解，易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)稱中心縱坐標(biāo)錯(cuò)寫為012．A【解析】

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件，得到，得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增，得到，進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，則，又由，所以，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，變形可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，以及利用單調(diào)性比較大小，其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為與直線平行，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)，取得最大值，故可得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.14．【解析】

構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)條件確定為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減，最后利用單調(diào)性以及奇偶性化簡不等式，解得結(jié)果.【詳解】依題意，，令，則，故函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，故，則x的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.15．612π﹣9【解析】

過作，交于，先求得圓心角的弧度數(shù)，然后解解三角形求得的長.利用扇形面積減去三角形的面積，求得弧田的面積.【詳解】∵如圖，弧田的弧AB長為4π，弧所在的圓的半徑為6，過作，交于，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，垂直平分.∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，∴弧田的面積S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．故答案為：6，12π﹣9．【點(diǎn)睛】本小題主要考查弓形弦長和弓形面積的計(jì)算，考查中國古代數(shù)學(xué)文化，屬于中檔題.16．【解析】

根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】，且，則，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù)，涉及垂直向量的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析，或；（2）存在，.【解析】

（1）滿足題意有兩種組合：①，，，②，，，分別計(jì)算即可；（2）由（1）分別討論兩種情況，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，即，解方程是否存在正整數(shù)解即可.【詳解】（1）由題意可知：有兩種組合滿足條件：①，，，此時(shí)等差數(shù)列，，，所以其通項(xiàng)公式為.②，，，此時(shí)等差數(shù)列，，，所以其通項(xiàng)公式為.（2）若選擇①，.則.若，，成等比數(shù)列，則，即，整理，得，即，此方程無正整數(shù)解，故不存在正整數(shù)，使，，成等比數(shù)列.若選則②，，則，若，，成等比數(shù)列，則，即，整理得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以.故存在正整數(shù)，使，，成等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，涉及到等比數(shù)列的性質(zhì)，是一道中檔題.18．（1）；（2）【解析】

（1）求導(dǎo).根據(jù)單調(diào)，轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立求解（2）由（1）知，是的兩個(gè)根，不妨設(shè)，令.根據(jù)，確定，將轉(zhuǎn)化為.令，用導(dǎo)數(shù)法研究其單調(diào)性求最值.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?因?yàn)閱握{(diào)，所以對(duì)恒成立，所以，恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以；（2）由（1）知，是的兩個(gè)根.從而，，不妨設(shè)，則.因?yàn)?，所以t為關(guān)于a的減函數(shù)，所以..令，則.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，在上為減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，.從而，所以在上為減函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題.19．（1）極大值為；極小值為；（2）見解析【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo),進(jìn)而可求出單調(diào)性,從而可求出函數(shù)的極值;（2）構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)并判斷單調(diào)性可得,從而在上恒成立,再結(jié)合,,可得到,即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.故的極大值為;的極小值為.（2）證明:由（1）知,設(shè)函數(shù),則,,則在上恒成立,即在上單調(diào)遞增,故,又,則,即在上恒成立.因?yàn)?所以,又,則,因?yàn)?且在上單調(diào)遞減,所以,故.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,屬于難題.20．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）設(shè)橢圓E的半焦距為c，由題意可知，當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值，求出，即可得答案；（2）根據(jù)題意可知，，因?yàn)?，所以可設(shè)直線CD的方程為，將直線代入曲線的方程，利用韋達(dá)定理得到的關(guān)系，再代入斜率公式可證得為定值.【詳解】（1）設(shè)橢圓E的半焦距為c，由題意可知，當(dāng)M為橢圓E的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值.所以，所以，，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）根據(jù)題意可知，，因?yàn)?，所以可設(shè)直線CD的方程為.由，消去y可得，所以，即.直線AD的斜率，直線BC的斜率，所以，故為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、橢圓中的定值問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意坐標(biāo)法的運(yùn)用.21．（1）；（2）.【解析】

（1）將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)，然后分、、三段求解不等式，綜合可得出不等式的解集；（2）求出函數(shù)的最大值，由題意得出，解此不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】.（1）當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，解得