十字相乘法分解因式

十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式十字相乘法分解因式

同學(xué)們都知道，型的二次三項式是分解因式中的常有題型，那么此

類多項式該如何分解呢

察看=，可知=。

這就是說，對于二次三項式，假如常數(shù)項b能夠分解為p、q的積，而且有

p+q=a，那么=。這就是分解因式的十字相乘法。

下邊舉例詳細說明如何進行分解因式。

例1、因式分解。

分析：由于

7x+(-8x)=-x

解：原式=（x+7）（x-8）

例2、因式分解。

分析：由于

-2x+（-8x）=-10x

解：原式=（x-2）（x-8）

例3、因式分解。

分析：該題固然二次項系數(shù)不為1，但也能夠用十字相乘法進行因式分解。

由于

9y+10y=19y

解：原式=（2y+3）（3y+5）例4、因式分解。分析：由于

21x+(-18x)=3x

解：原式=（2x+3）（7x-9）

例5、因式分解。

分析：該題能夠?qū)ⅲ▁+2）看作一個整體來進行因式分解。

由于

-25（x+2）+[-4(x+2)]=-29（x+2）

解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]

=（2x-1）（5x+8）

例6、因式分解。

分析：該題能夠先將（）看作一個整體進行十字相乘法分解，接著再套用一次

十字相乘。

由于

-2+[-12]=-14a+(-2a)=-a3a+（-4a）=-a解：原式=[-2][-12]=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)

從上邊幾個例子能夠看出十字相乘法對于二次三項式的分解因式十分方便，大家必然

要嫻熟掌握。但要注意，其實不是全部的二次三項式都能進行因式分解，如在實

數(shù)范圍內(nèi)就不可以夠再進一步因式分解了

因式分解的一點增補——十字相乘法

宜昌九中尤啟平

講課目的

1．使學(xué)生掌握運用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三項式因式分解；

2．進一步培育學(xué)生的察看力和思想的矯捷性。

講課要點和難點

要點：正確地運用十字相乘法把某些二次項系數(shù)不是1的二次三項式因式分解。

難點：靈巧運用十字相乘法因分解式。

講課過程設(shè)計

一、導(dǎo)入新課

前一節(jié)課我們學(xué)習了對于x2+（p+q）x+pq這種二次三項式的因式分解，這種式子的

特色是：二次項系數(shù)為1，常數(shù)項是兩個數(shù)之積，一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和。

所以，我們獲得x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).

課前練習：以下各式因式分解1．-x2+2x+152．（x+y）2-8（x+y）+48；3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）；3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。我們已經(jīng)學(xué)習了把形如x2+px+q的某些二次三項式因式分解，也學(xué)習了經(jīng)過設(shè)協(xié)助元的

方法把能轉(zhuǎn)變成形如x2+px+q型的某些多項式因式分解。

對于二次項系數(shù)不是1的二次三項式如何因式分解呢這節(jié)課就來討論這個問題，即把某

些形如ax2+bx+c的二次三項式因式分解。二、新課

例1把2x2-7x+3因式分解。

分析：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數(shù)項，分

別寫在十字交叉線的右上角和右下角，此后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項系數(shù)。

分解二次項系數(shù)（只取正因數(shù)）：

2=1×2=2×1；

分解常數(shù)項：

3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。

用畫十字交叉線方法表示以下四種狀況：

11131-11-32×32×12×-32×-11×3+2×11×1+2×31×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）=5=7=-5=-7

經(jīng)過察看，第四種狀況是正確有。這是由于交叉相乘后，兩項代數(shù)和恰等于一次項系數(shù)

-7。

解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。

一般地，對于二次三項式ax2+bx+c（a≠0），假如二次項系數(shù)a能夠分解成兩個因數(shù)之

積，即a=aa，常數(shù)項c能夠分解成兩個因數(shù)之積，即c=cc，把a，a，c，c擺列以下：12121212a1c1a2×c2a1c2+a2c1按斜線交叉相乘，再相加，獲得a1c2+a2c1，若它正好等于二次三項式ax2+bx+c的一次項系

數(shù)b，即ac+ac=b，那么二次三項式就能夠分解為兩個因式ax+c與ax+c之積，即12211122ax21122+bx+c=（ax+c）（ax+c）。像這種借助開十字交叉線分解系數(shù)，進而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，平常

叫做十字相乘法。

例2把6x2-7x-5分解因式。

分析：依據(jù)例1的方法，分解二次項系數(shù)6及常數(shù)項-5，把它們分別擺列，可有8種不

同的擺列方法，此中的一種

21

3×

-5

2×（-5）+3×1=-7

是正確的，所以原多項式能夠用直字相乘法分解因式。

解6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。

指出：經(jīng)過例1和例2能夠看到，運用十字相乘法把一個二次項系數(shù)不是1的二次三項

式因式分解，常常要經(jīng)過多次察看，才能確立能否能夠用十字相乘法分解因式。對于二次項系數(shù)是1的二次三項式，也能夠用十字相乘法分解因式，這時只要考慮如何

把常數(shù)項分解因數(shù)。比方把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是

1-3

1×5

1×5+1×（-3）=2

所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。

例3把5x2+6xy-8y2分解因式。

分析：這個多項式能夠看作是對于x的二次三項式，把-8y2看作常數(shù)項，在分解二次項

及常數(shù)項系數(shù)時，只要分解5與-8，用十字交叉線分解后，經(jīng)過察看，采納適合的一組，即

12

5×-4

1×（-4）+5×2=6

2解5x+6xy-8y=（x+2y）（5x-4y）。

指出：原式分解為兩個對于x，y的一次式。

例4把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。

分析：這個多項式是兩個因式之積與另一個因數(shù)之差的形式，只有先化簡，進行多項式

的乘法運算，把變形后的多項式再因式分解。

問：兩個乘積的式子有什么特色，用什么方法進行多項式的乘法運算最簡單

答：第二個因式中的前兩項假如提出公因式2，就變成2（x-y），它是第一個因式的二

倍，此后把（x-y）看作一個整體進行乘法運算，可把原多項式變形為對于（x-y）的二次三

項式，就能夠用址字相乘法分解因式了。

解（x-y）（2x-2y-3）-2=（x-y）［2（x-y）-3］-21-222×+1=2（x-y）-3（x-y）-2

=［（x-y）-2］［2（x-y）+1］

1×1+2×（-2）=-3

（x-y-2）（2x-2y+1）。

指出：把（x-y）看作一個整體進行因式分解，這又是運用了數(shù)學(xué)中的“整體”思想方

法。

三、講堂練習1．用十字相乘法因式分解：（1）2x2-5x-12；（2）3x2-5x-2；（3）6x2-13x+5；（4）7x2-19x-6；（5）12x2-13x+3；（6）4x2+24x+27。2．把以下各式因式分解：（1）6x2-13x+6y2；（2）8x2y2+6xy-35；（3）18x2-21xy+5y2；（4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。答案：1．（1）（x-4）（2x+3）；（2）（x-2）（3x+1）；（3）（2x-1）（3x-5）；（4）（x-3）（7x+2）；（5）（3x-1）（4x-3）；（6）（2x+3）（2x+9）。2．（1）（2x-3y）（3x-2y）；（2）（2xy+5）（4xy-7）；（3）（3x-y）（6x-5y）；（4）（3a-b）（5b-a）。四、小結(jié)

1．用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三項式分解因式時，應(yīng)注意以下問題：

（1）正確的十字相乘必然知足以下條件：

a1c1

在式子中，豎向的兩個數(shù)必然知足

關(guān)系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜

a2c2

向的兩個數(shù)必然知足關(guān)系a1c2+a2c1=b，分解思路為“看兩頭，湊中間。”（2）由十字相乘的圖中的四個數(shù)寫出分解后的兩個一次因式時，圖的上一行兩個數(shù)中，

a1是第一個因式中的一次項系數(shù)，c1是常數(shù)項；在下一行的兩個數(shù)中，a2是第二個因式中的

一次項的系數(shù)，c2是常數(shù)項。

3）二次項系數(shù)a一般都把它看作是正數(shù)（假如是負數(shù)，則應(yīng)提出負號，利用恒等變形把它轉(zhuǎn)變成正數(shù)），只要把經(jīng)分解在兩個正的因數(shù)。

．形如x2+px+q的某些二次三項式也能夠用十字相乘法分解因式。

3．凡是可用代換的方法轉(zhuǎn)變成二次三項式ax2+bx+c的多項式，有些也能夠用十字相

乘法分解因式，如例4。

五、作業(yè)1．用十字相乘法分解因式：（1）2x2+3x+1；（2）2y2+y-6；（3）6x2-13x+6；（4）3a2-7a-6；22；2222（5）6x-11xy+3y（6）4m+8mn+3n；（7）10x-21xy+2y；22（8）8m-22mn+15n。2．把以下各式分解因式：（1）4n2+4n-15；（2）6a2+a-35；（3）5x2-8x-13；（4）4x2+15x+9；（5）15x2+x-2；（6）6y2+19y+10；（7）20-9y-20y2；（8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。答案：1．（1）（2x+1）（x+1）；（2）（y+2）（2y-3）；（3）（2x-3）（3x-2）；（4）（a-3）（3a+2）；（5）（2x-3y）（3x-y）；（6）（2m+n）（2m+3n）；（7）（x-2y）（10x-y）；（8）（2m-3n）（4m-5n）。2．（1）（2n-3）（2n+5）；（2）（2a+5）（3a-7）；（3）（x+1）（5x-13）；（4）（x+3）（4x+3）；（5）（3x-1）（5x+2）；（6）（2y+5）（3y+2）；（7）-（4y+5）（5y-4）；（8）（x+2y+3）（7x-10y-27）。

講堂講課方案說明

1．為了使學(xué)生確實掌握運用十字相乘法把某些二次三項式因式分解的思路和方法，在

講課方案中，先經(jīng)過例1，較祥盡地解說借助畫十字交叉線分解系數(shù)的詳細方法，在此基礎(chǔ)

上再進一步歸納如何運用十字相乘法把二次三項式ax2+bx+c進行因式分解的一般思路和方

法。只有使學(xué)生掌握了十字相乘法的一般法例，才能進一步指導(dǎo)解決各樣詳細的問題，這種

從特別到一般，再從一般到特其余認識問題的