第8章電磁感應(yīng)要點(diǎn)

第8章電磁感覺要點(diǎn)第8章電磁感覺要點(diǎn)42/42第8章電磁感覺要點(diǎn)第八章電磁感覺本章前言◆本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1、深刻理解法拉第電磁感覺定律和楞次定律。2、理解感覺電動(dòng)勢的看法，熟練掌握動(dòng)生電動(dòng)勢和感生電動(dòng)勢的計(jì)算。3、理解自感和互感，掌握簡單的互感系數(shù)和自感系數(shù)的計(jì)算。4、掌握自感儲能、磁場能量密度和磁場能量的計(jì)算。◆本章授課內(nèi)容1、電磁感覺的基本規(guī)律1.1電磁感覺現(xiàn)象、產(chǎn)生感覺電流的條件1.2楞次定律1.3法拉第電磁感覺定律、感覺電動(dòng)勢2、動(dòng)生電動(dòng)勢與感生電動(dòng)勢2.1動(dòng)生電動(dòng)勢2.2感生電動(dòng)勢、感生電場、渦電流、電子感覺加速器3、互感與自感3.1互感現(xiàn)象、互感電動(dòng)勢、互感系數(shù)3.2自感現(xiàn)象、自感電動(dòng)勢、自感系數(shù)4、磁場的能量4.1載流線圈的磁能4.2磁場的能量、磁能密度◆本章要點(diǎn)法拉第電磁感覺定律、感覺電動(dòng)勢的計(jì)算?！舯菊码y點(diǎn)法拉第電磁感覺定律及其應(yīng)用。動(dòng)生電動(dòng)勢與感生電動(dòng)勢的理論講解與計(jì)算?；ジ须妱?dòng)勢與互感系數(shù)的計(jì)算?！?.1電磁感覺的基本規(guī)律8.1.1電磁感覺現(xiàn)象實(shí)考據(jù)明，當(dāng)一個(gè)閉合回路所圍面積上的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中就有感應(yīng)電流產(chǎn)生，這種現(xiàn)象叫電磁感覺現(xiàn)象。電磁感覺的實(shí)驗(yàn)定律主要有兩個(gè)。一個(gè)是楞次定律，另一個(gè)是法拉第電磁感覺定律。楞次定律是一個(gè)定性的定律，它判定感覺電流的方向；法拉第定律是一個(gè)定量的定律，它給出感覺電動(dòng)勢的大小。8.1.2楞茨定律1833年，楞次在總結(jié)大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)判斷電磁感覺中感覺電流方向的法規(guī)，稱為楞次定律。楞次定律說：閉合回路中的感覺電流的方向，是要使感覺電流在回路所圍面積上產(chǎn)生的磁通量，去抵消或抗?fàn)幰鸶杏X電流的磁通量的變化。楞次定律表示，電磁感覺的結(jié)果抗?fàn)庪姶鸥杏X的原因。這里的結(jié)果是指感覺電流所產(chǎn)生的磁通量，原因是指引起電磁感覺的磁通量的變化?？紤]以以下列圖所示的那樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)，一塊條形磁鐵穿過一個(gè)閉合線圈的過程。圖(a)是磁鐵向左運(yùn)動(dòng)湊近線圈的情況。這時(shí)線圈中的磁場B向左且在增強(qiáng)，故磁通量在增加，按楞次定律，感覺電流的磁通量應(yīng)抗?fàn)幍脑黾?，即感?yīng)電流在線圈中的磁場應(yīng)與B方向相反即向右，再由右手螺旋法規(guī)就可以確定感覺電流的方向應(yīng)以下列圖。圖(b)是磁鐵已穿過線圈連續(xù)向左運(yùn)動(dòng)的情況。這時(shí)磁場B仍向左但在減小，故磁通量在減小。按楞次定律，感覺電流的磁通量應(yīng)抗?fàn)幍臏p小，即感覺電流的磁場應(yīng)與B方向同樣即向左，故感覺電流的方向應(yīng)與(a)中相反。感覺電流的方向借助上述實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛘f明楞次定律的物理意義。在實(shí)驗(yàn)中閉合線圈里有感生電流產(chǎn)生，于是線圈中應(yīng)有能量釋放出來，如發(fā)出焦耳熱。應(yīng)該考慮一下，這些能量終歸是從哪兒來的？看圖(a)，電磁感覺在閉合線圈上產(chǎn)生的電流會形成一個(gè)磁矩，按右手螺旋法規(guī)，磁矩向右，即右邊是N極。線圈的N極會排斥磁鐵的極，阻攔它的相對運(yùn)動(dòng)。所以，要進(jìn)行電磁感覺，磁鐵就必定要戰(zhàn)勝斥力而做功，經(jīng)過做功，磁鐵運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能轉(zhuǎn)變成了電能。圖(b)中的情況讀者能夠自己解析，這時(shí)線圈的左面是N極，它會經(jīng)過吸引來抗?fàn)幭鄬\(yùn)動(dòng)，在這個(gè)過程中磁鐵也要戰(zhàn)勝引力做功，把機(jī)械能變換為電能?？梢婋姶鸥杏X中釋放的能量其實(shí)不是憑空而來的，而是其余能量如機(jī)械能變換而來的。若是楞次定律不是感覺電流的磁通量去抗?fàn)幰鸶杏X電流的磁通量的變化而是支持這種變化，那么上述實(shí)驗(yàn)中的所有都會倒過來，那物理學(xué)就真會四海鼎沸了。試想在圖(a)中，我們只須給磁鐵一點(diǎn)很少的啟動(dòng)能量使之向左運(yùn)動(dòng)，若是楞次定律反過來，那么磁鐵碰到的就將是引力而不是斥力，它就會加速經(jīng)過線圈，爾后連續(xù)加速向左運(yùn)動(dòng)。在左側(cè)安裝一個(gè)彈性壁使之反彈向左并連續(xù)加速，爾后反彈加速。這樣我們就能在磁鐵上獲得絹絹不停的機(jī)械能，在線圈上獲得無量無盡的電能，而我們卻沒有輸入任何能量?？梢?，楞次定律中的抗?fàn)幍暮x就是要強(qiáng)迫外界為電磁感覺的進(jìn)行輸入能量，借以供應(yīng)感覺中的能量輸出，這顯然是在保護(hù)能量守恒定律這個(gè)自然界的寬泛法規(guī)在電磁感覺中的地位。所以我們說，楞次定律是能量守恒定律在電磁感覺中的詳盡表現(xiàn)。這不但是在上述實(shí)驗(yàn)中是這樣，實(shí)質(zhì)上，電磁感覺的所有實(shí)驗(yàn)都考據(jù)了能量守恒定律。8.1.3法拉第電磁應(yīng)定律一、關(guān)于法拉第定律的兩個(gè)約定法拉第電磁感覺定律是一個(gè)定量的定律，它給出感覺電動(dòng)勢的大小所依照的規(guī)律。感覺電流是由感覺電動(dòng)勢來驅(qū)動(dòng)的，所以法拉第電磁感覺定律所反響的規(guī)律也更實(shí)質(zhì)一些。在平時(shí)的法拉第電磁感覺定律的表述中，已經(jīng)把楞次定律關(guān)于方向的判斷也包含進(jìn)去了。下面介紹一下定律表述中的一個(gè)約定，這樣能夠使表述更簡潔同樣。以以下列圖所示，有一個(gè)閉合回路l，任選一個(gè)方向作為回路繞行的正方向。在回路上的物理量，如電動(dòng)勢、電流等，均以該方向作為參照方向來決定它們的正負(fù)符號?；芈匪鶉鍿的法向n取回路正方向的右手螺旋方向，即當(dāng)我們挺直大姆指并彎曲其余的四個(gè)手指，使四個(gè)手指指向回路繞行的正方向時(shí)大姆指所指向的方向，以下列圖中的法向矢量n向上。定義于面積上的物理量，如磁通量，以該方向來決定其符號，若是磁場向上則磁通量為正，磁場向下則磁通量為負(fù)。其余，由于磁感應(yīng)線是閉合曲線，所以經(jīng)過回路所圍的任何一個(gè)曲面上的磁通量都相等，即與曲面的采用沒關(guān)，所以可把回路S所圍曲面上的磁通量簡稱為回路中的磁通量?；芈返姆较虼磐康挠?jì)算式子為：其中S是以回路為界線的任意曲面。二、法拉第（電磁感覺）定律在上述約定下，法拉第電磁感覺定律可表述為：當(dāng)回路中的磁通量變化時(shí)，在回路上產(chǎn)生的感覺電動(dòng)勢為即感覺電動(dòng)勢等于回路中的磁通量對時(shí)間的變化率的負(fù)值。感覺電動(dòng)勢的大小顯然為下面我們來解析，法拉第電磁感覺定律（上式）是如何判斷感覺電動(dòng)勢的方向的。以以下列圖(a)所示，有一閉合回路，回路的正方向已標(biāo)在圖中，曲面的法向向上。若有一磁場B向上且在增強(qiáng)，按磁通量的定義，回路中的磁通量為正，且在增加，即磁通量隨時(shí)間的變化率也為正。按法拉第電磁感覺定律，感覺電動(dòng)勢應(yīng)為負(fù)值，即逆著回路的正方向。（圖中已標(biāo)出）。這個(gè)方向顯然與楞次定律判斷的方向是一致的。若B在減弱，如圖(b),則在減小，為負(fù)，則應(yīng)為正，這也正是楞次定律指出的方向。大家能夠自己考據(jù)其余情況。從上述的解析中我們能夠獲得一個(gè)啟示，即在法拉第電磁感覺定律中的負(fù)號，實(shí)質(zhì)上代表著對感覺電動(dòng)勢方向的判斷，是楞茨定律的數(shù)學(xué)表示。順便說明一下，今后我們在提到電磁感覺定律時(shí)，平時(shí)是指楞茨定律和法拉第定律這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)定律的所有內(nèi)容。感覺電動(dòng)勢的方向電磁感覺定律成立于任一瞬時(shí)，即磁通量的瞬時(shí)變化率決定感覺電動(dòng)勢在該瞬時(shí)的大小和方向，這表示定律有瞬時(shí)性。有時(shí)一個(gè)閉合回路是由多匝線圈串通組成的，此時(shí)回路的總電動(dòng)勢應(yīng)該是每匝線圈中的電動(dòng)勢之和。其中為各匝線圈磁通量的總和，稱為全磁通或磁鏈。的含義擴(kuò)展了，但定律的形式保持不變。在簡單的情況下，各匝線圈的磁通量相等，則全磁通，其中為一匝線圈的磁通量，有由于使用上述方法判斷電動(dòng)勢方向特別麻煩，而感覺電動(dòng)勢的方向可用楞次定律來判斷。所以在實(shí)質(zhì)計(jì)算中，我們常常是使用楞茨定律判斷電動(dòng)勢方向，再用法拉第電磁感覺定律來確定感覺電動(dòng)勢的大小。三、感覺電動(dòng)勢的分類依照法拉第定律，磁通量的變化就要產(chǎn)生感覺電動(dòng)勢。但是，磁通量變化有兩種可能的原因。一是磁場不變，而導(dǎo)體回路的形狀、大小或地址變化而引起的磁通量變化，這種情況下產(chǎn)生的感覺電動(dòng)勢稱為動(dòng)生電動(dòng)勢。這種情況下必然包含有導(dǎo)體相關(guān)于磁場的運(yùn)動(dòng)。另一個(gè)情況是導(dǎo)體回路不發(fā)生任何變化，而是磁場隨時(shí)間變化。進(jìn)而引起磁通量變化而產(chǎn)生感覺電動(dòng)勢。這種叫感生電動(dòng)勢。四、感覺電流和感覺電量若閉合回路的電阻為R，則感覺電流為其中各量的方向約定與電磁感覺定律中的方向約定同樣。在簡單的情況下，電流的方向可由楞次定律直接判斷，電流的大小可由其絕對值獲得。若回路中只有感覺電流，則在一個(gè)過程中流過閉合回路任一截面的感覺電量為其方向約定和電磁感覺定律同樣。上式表示感覺電量的特點(diǎn)是它只取決于磁通量的變化量，而與變化率無直接關(guān)系。【例1】以下列圖，一長直電流I旁距離r處有一與電流共面的圓線圈，線圈的半徑為R且R<<r。就以下兩種情況求線圈中的感覺電動(dòng)勢。(1)若電流以速率增加；(2)若線圈以速率v向右平移?！窘狻堪搭}意，線圈所在處磁場可看作勻場且方向向里，故穿過線圈的磁通量為(1)按法拉第電磁感覺定律，線圈中的感覺電動(dòng)勢大小為由楞次定律可知，感覺電動(dòng)勢為逆時(shí)針方向。(2)按法拉第電磁感覺定律由于，故由楞次定律可知，感覺電動(dòng)勢為順時(shí)針方向。關(guān)于一些比較復(fù)雜的問題，用楞次定律難于說明感覺電動(dòng)勢的方向，此時(shí)用法拉第電磁感覺定律，能夠直接把感覺電動(dòng)勢的大小和方向同時(shí)計(jì)算出來?！纠?】如上題圖所示，一長直電流I旁距離r處有一與電流共面的圓線圈，半徑為R，且R<<r，若電流以速率增加，且線圈以速度v向右平移，求線圈中的感覺電動(dòng)勢。【解】設(shè)線圈回路l的正方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，則l所圍面積S的法向垂直于紙面向內(nèi)，過S的磁通量為正。按電磁感覺定律，沿l產(chǎn)生的感覺電動(dòng)勢為若，表示感覺電動(dòng)勢沿本談?wù)摰那闆r是上一例題所談?wù)摰?/p>

l方向，若，表示逆l方向。不難看出，(1)、(2)兩種情況的綜合，其結(jié)果也正是前面所獲得的兩個(gè)結(jié)果的迭加?！纠?】以下列圖，一回路l由N匝面積為S的線圈串通而成，回路繞行的正方向及面積S的法向矢量n均注明在圖中。線圈繞z軸以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，t=0時(shí)線圈法向與x軸的夾角。若有均勻磁場沿x軸方向且，求回路中的感覺電動(dòng)勢?！窘狻坑深}意可知，磁感覺強(qiáng)度的值是按正弦規(guī)律振蕩的，所以圖中標(biāo)出的B的方向應(yīng)該是一個(gè)參照方向。就是說，若，即B沿x軸方向，若即B逆著x軸方向。由于磁場是均勻磁場，所以面積S上的磁鏈數(shù)。

，按題意故磁鏈數(shù)也是一個(gè)振蕩的量，當(dāng)

B與n成銳角時(shí)，

，B與n成鈍角時(shí)，

。感覺電動(dòng)勢為當(dāng)時(shí)，電動(dòng)勢沿著回路的正方向，時(shí)，電動(dòng)勢沿回路的負(fù)方向。感應(yīng)電動(dòng)勢是一個(gè)交變電動(dòng)勢，其頻率為轉(zhuǎn)動(dòng)頻率的2倍，這是由于磁場也是在振蕩的緣故。若磁場為恒定磁場B=B0，則則感覺電動(dòng)勢即為一般發(fā)電機(jī)中的交變電動(dòng)勢，其頻率與轉(zhuǎn)動(dòng)頻率一致?！?.2動(dòng)生電動(dòng)勢與感生電動(dòng)勢8.2.1動(dòng)生電動(dòng)勢的理論講解及其計(jì)算法拉第電磁感覺定律誠然給出了一個(gè)回路中產(chǎn)生感覺電動(dòng)勢的條件和求出感覺電動(dòng)勢的大小和方向的法規(guī)，但作為一個(gè)實(shí)驗(yàn)定律，它沒有對電動(dòng)勢產(chǎn)生的體系作出講解。也即是說，它沒有回答這樣一個(gè)基本問題：一個(gè)電動(dòng)勢的產(chǎn)生，必定要以非靜電力Fk或非靜電場Ek的存在作為條件，而電動(dòng)勢是非靜電場強(qiáng)的一個(gè)線路積分，即那么，在電磁感覺中的非靜電場是什么呢？再者，定律也沒對電動(dòng)勢的分布作出判斷，它只給出回路上的總的電動(dòng)勢，而沒有指出電動(dòng)勢終歸產(chǎn)生在回路的哪一部分上。定律所留下的這兩個(gè)問題是相關(guān)的，只有知道了電動(dòng)勢產(chǎn)生的體系，才可能解析出電動(dòng)勢的分布。在這個(gè)知識點(diǎn)中我們將談?wù)搫?dòng)生電動(dòng)勢的形成體系。我們將會看到，動(dòng)生電動(dòng)勢和感生電動(dòng)勢形成的體系是不同樣的。一、動(dòng)生電動(dòng)勢解析我們先談?wù)撘粋€(gè)動(dòng)生電動(dòng)勢的實(shí)例。以下列圖，在勻磁場B中有一固定的U形導(dǎo)線框，上面掛一長度為l的活動(dòng)邊，活動(dòng)邊以速度v向右平移，我們來求回路中的感覺電動(dòng)勢。設(shè)一坐標(biāo)ox，則穿過回路的磁通量為動(dòng)生電動(dòng)勢于是回路電動(dòng)勢大小為按楞次定律，回路電動(dòng)勢的方向是沿著逆時(shí)針方向的。電動(dòng)勢的大小Blv可以這樣理解，lv是活動(dòng)邊單位時(shí)間掃過的面積，而Blv則是活動(dòng)邊單位時(shí)間掃過的磁通量。這個(gè)結(jié)論的由來能夠這樣解析，感覺電動(dòng)勢的大小等于回路中磁通量的變化率，而在動(dòng)生電動(dòng)勢的情況下，磁場不變，那么磁通量的變化率自然就全部來自于活動(dòng)邊單位時(shí)間掃過的磁通量了。二、動(dòng)生電動(dòng)勢的講解動(dòng)生電動(dòng)勢只與活動(dòng)邊掃過的磁通量相關(guān)，這表示著動(dòng)生電動(dòng)勢是分布在活動(dòng)邊上的?？紤]上圖中那個(gè)導(dǎo)體活動(dòng)邊l，在右圖中已把它隔斷畫出來了。當(dāng)l以速度v向右搬動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體中的載流子(設(shè)帶+q)，也被涉及而擁有一個(gè)向右的速度v，所以載流子碰到一個(gè)洛倫茲力(非靜電力)的作用，按右圖中標(biāo)出的v和B的方向可知，F(xiàn)k的大小為方向向上，我們能夠認(rèn)為，在導(dǎo)線中存在一個(gè)洛倫茲力場(非靜電場)，其場強(qiáng)，在這個(gè)例子中，的大小為方向向上，這是一個(gè)勻場。非靜電場的存在使導(dǎo)線成為一個(gè)電源，按電動(dòng)勢的動(dòng)生電動(dòng)勢的講解定義而且設(shè)參照方向l向上，由于的大小為Bv，方向向上與l方向同樣，故導(dǎo)線上的電動(dòng)勢即電動(dòng)勢的大小為，且為正，這表示電源電動(dòng)勢的方向沿l向，即向上，的上端為正極，下端為負(fù)極。動(dòng)生電動(dòng)勢的方向也能夠用載流子碰到的洛倫茲力直觀地判斷，正載流子碰到的洛倫茲力向上，所以它將運(yùn)動(dòng)到導(dǎo)線的上端，故上端應(yīng)為電源的正極，即電動(dòng)權(quán)利方向向上。以上結(jié)論與前面用實(shí)驗(yàn)定律即電磁感覺定律得出的結(jié)果完好切合。上述解析表示，動(dòng)生電動(dòng)勢所對應(yīng)的非靜電場力就是洛倫茲力。在一般的情況下，載流子碰到的洛倫茲力所供應(yīng)的洛倫茲力場只能一般地表示為而不能夠化為的形式，沿l方向的電動(dòng)勢也只能一般地表示為而不能夠化為的形式。能夠證明，上式中的含義也是表示導(dǎo)線l在單位時(shí)間所掃過的磁通量。從上面的解析中，我們能夠得出一個(gè)相關(guān)動(dòng)生電動(dòng)勢形成體系的一般性結(jié)論：一段運(yùn)動(dòng)導(dǎo)線在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，是以洛倫茲力為非靜電力而形成一個(gè)電源。這個(gè)電源的電動(dòng)勢的大小即導(dǎo)線在單位時(shí)間掃過的磁通量(或形象地說成：單位時(shí)間切割磁力線的條數(shù))。這個(gè)電動(dòng)勢的方向在簡單的情況下能夠用正載流子所受洛倫茲力的方向來判斷，在復(fù)雜的情況下能夠用上式的計(jì)算結(jié)果的符號來判斷。這個(gè)結(jié)論不但說了然動(dòng)生電動(dòng)勢的形成體系，而且也指出了動(dòng)生電動(dòng)勢的分布：它只存在于磁場中運(yùn)動(dòng)著的導(dǎo)線上?！纠?】以下列圖，一導(dǎo)線彎成3/4圓弧，圓弧的半徑為R。導(dǎo)線在與圓面垂直的均勻磁場B中以速度v垂直于磁場向右平動(dòng)，求導(dǎo)線上的動(dòng)生電動(dòng)勢?！窘狻恐苯涌紤]圓弧掃過的磁通量或作積分均可解出此題，但最簡單的方法是作一個(gè)回路借助法拉第電磁感覺定律來求解。設(shè)想連接ao和ob，使導(dǎo)線形成一個(gè)回路。順便說明一下，圓弧上的動(dòng)生電動(dòng)勢只取決于圓弧在磁場中運(yùn)動(dòng)的情況，與可否連成一個(gè)回路沒關(guān)，所以連接后圓弧上的動(dòng)生電動(dòng)勢其實(shí)不會發(fā)生改變，但是計(jì)算卻要簡單得多。此時(shí)回路中的磁通量是一個(gè)常量，所以回路電動(dòng)勢為零?；芈冯妱?dòng)勢為零其實(shí)不意味著回路中沒有電動(dòng)勢分布，而是電動(dòng)勢在回路中相互抵消了。ao段由于不切割磁力線所以沒有動(dòng)生電動(dòng)勢，bo段上的動(dòng)生電動(dòng)勢的大小顯然為方向向上。故圓弧上的動(dòng)生電動(dòng)勢也必然為其方向應(yīng)沿回路抵消bo段上的電動(dòng)勢，即是沿弧由b到a的方向。【例2】如上圖所示，有一長度為l的直導(dǎo)線，在均勻磁場其一端O轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸與磁場方向平行，求導(dǎo)線上的端電壓。

B中以角速度

繞【解】在導(dǎo)線上距O為r處取一線元dr，線元在磁場B中以速度垂直于磁場運(yùn)動(dòng)，故線元成為一微元電源。線元的方向、磁場方向和運(yùn)動(dòng)方向相互垂直，所以微元電動(dòng)勢為方向指向O點(diǎn)。整個(gè)導(dǎo)線上有無數(shù)個(gè)微元電源串通，故導(dǎo)線上的電動(dòng)勢為方向指向O，即O端為電源正極。由于導(dǎo)線未接入回路，電源開路，故端電壓等于電動(dòng)勢端電勢高?！纠?】以下列圖，有一半徑為r的半圓環(huán)導(dǎo)線在勻磁場B中以角速度繞與磁場垂直的軸ab旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它轉(zhuǎn)到如圖地址時(shí)，求圓環(huán)上的動(dòng)生電動(dòng)勢?！窘狻看祟}用積分來計(jì)算非常麻煩，可考慮作一回路來幫助我們解析。設(shè)想連接ab，形成一個(gè)半圓回路，由于轉(zhuǎn)軸不運(yùn)動(dòng)，所以ab段上沒有動(dòng)生電動(dòng)勢，若求出回路上的電動(dòng)勢，就應(yīng)該等于半圓環(huán)上的電動(dòng)勢?；芈飞系碾妱?dòng)勢正好是一個(gè)交變電動(dòng)勢。如圖設(shè)回路l的繞行為正方向，則此時(shí)回路面積S的法向n向外，與磁場B的夾角，故回路電動(dòng)勢為，即沿繞行的正方向。如前所述，由于ab段上沒有動(dòng)生電動(dòng)勢，故這就是圓環(huán)上的動(dòng)生電動(dòng)勢?；芈冯妱?dòng)勢沿繞行正方向表示圓環(huán)上的電動(dòng)勢應(yīng)是沿圓環(huán)從a到b的方向。半圓環(huán)上的電動(dòng)勢的方向也能夠用載流子所受洛倫茲力的方向來判斷。設(shè)載注子帶正電荷，此時(shí)載流子正隨半圓環(huán)向外運(yùn)動(dòng)，所受洛倫茲力向右，所以載流子將沿圓環(huán)向右偏移，使b端帶正電，即為正極，a端為負(fù)極，動(dòng)生電動(dòng)勢是從a到b的方向?！纠?】以下列圖，在距長直電流I為d處有向來導(dǎo)線長為l，與電流共面，圖中傾角為，導(dǎo)線以速度v向上平動(dòng)，求導(dǎo)線上的動(dòng)生電動(dòng)勢。【解】在直導(dǎo)線上取線元dl，該處磁場，方向向內(nèi)，線元dl上有一個(gè)微元電動(dòng)勢，由于，故，方向指向a端。導(dǎo)線上的電動(dòng)勢為各微元電動(dòng)勢的串通，故方向?yàn)閎→a方向?！纠?】以下列圖，在長直電流I的磁場中，一長為l的直導(dǎo)線，繞距長直電流為a的O點(diǎn)在長直電流所在平面內(nèi)以角速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)導(dǎo)線轉(zhuǎn)到如圖傾角為的地址時(shí)，求導(dǎo)線上的電動(dòng)勢?！窘狻吭谥睂?dǎo)線上距O為l處取線元dl，在dl上微元電動(dòng)勢方向?yàn)榉较?，dl距長直電流，故有及，所以故導(dǎo)線上的電動(dòng)勢方向亦為po方向，大小為8.2.2感生電場一、麥克斯韋感生電場假說在這個(gè)知識點(diǎn)里我們將介紹感覺電動(dòng)勢的另一各種類，叫做感生電動(dòng)勢。即當(dāng)導(dǎo)體回路不動(dòng)，由于磁場變化引起穿過回路的磁通量發(fā)生變化而產(chǎn)生的電動(dòng)勢。顯然，由于回路不發(fā)生運(yùn)動(dòng)，所以這時(shí)產(chǎn)生電動(dòng)勢的非靜電力不會再是洛倫茲力。那么，它應(yīng)該是什么樣的力呢？麥克斯韋第一解析了這種情況并提出一個(gè)假說：一個(gè)變化磁場會在它的周圍空間激發(fā)一個(gè)感生電場。這個(gè)電場是一個(gè)非靜電性的有旋電場，它沿導(dǎo)體回路的環(huán)流不等于零。于是，這個(gè)環(huán)流就正好為一個(gè)回路供應(yīng)電動(dòng)勢。麥克斯韋關(guān)于感生電場的假說圓滿講解感生電動(dòng)勢的形成體系并獲得近代物理實(shí)驗(yàn)的完好證明。如在電子感覺加速器中，一個(gè)電子在變化著的磁場產(chǎn)生的感生電場中獲得加速度而加速旋轉(zhuǎn)，并最后使電子加速到特別湊近光速的水平。二、感生電場的計(jì)算公式下面我們來定量地解析感生電場與變化磁場的關(guān)系。在變化磁場中，設(shè)有一個(gè)導(dǎo)線回路l，按法拉第電磁感覺定律，可得出回路中的電動(dòng)勢又按電動(dòng)勢和磁通量的定義其中面積S為回路l所圈的面積。于是有或S上的電通量為零，其中為磁場B對時(shí)間的變化率，記作偏導(dǎo)數(shù)形式是由于B還可能隨空間而變。上式即為感生電場和變化磁場的關(guān)系。上式中的負(fù)號則表示：感生電場E繞磁場變化率左旋，這一點(diǎn)在下面的例子中會有詳盡的說明。三、感生電場的特點(diǎn)感生電場是一種新式的電場，它與靜電場既有聯(lián)系也有差別。它與靜電場的共同之處是：對電荷有作用力（無論電荷運(yùn)動(dòng)與否）。但是，它們的差別是很大的。靜電場是由電荷產(chǎn)生的，而感生電場是由變化磁場產(chǎn)生的；靜電場是有源無旋場，而感生電場是無源有旋場。由于感生電場是無源場，其電位移矢量在任意閉合曲面即有其中是由感生電場E定義的電位移矢量。在前面的知識點(diǎn)中，我們利用安培環(huán)路定律能夠求出高度對稱的電流分布所激發(fā)的磁場。同樣的道理，用感生電場和變化磁場的關(guān)系式，我們能夠求出高度對稱的磁場在變化時(shí)所激發(fā)的有旋電場。下面給大家介紹一個(gè)例子?！纠?】以下列圖，半徑為R的長直螺旋管中有一圓柱域均勻磁場增強(qiáng)，求它所激發(fā)的有旋電場在空間各點(diǎn)的大小和方向。率

B正以速【解】由于變化磁場是軸對稱的，所以它激發(fā)的有旋電場也必然是軸對稱的，而滿足軸對稱的有旋電場的力線，只能是繞對稱軸的一族同心圓，且在同一圓周上，場強(qiáng)的大小E應(yīng)各處相等，如圖?？紤]管內(nèi)部即r<R處的情況，先解析電場線沿圓周的走向。沿電場線設(shè)一回路l，則l所圍面積S的法向向里。由于磁場B在增強(qiáng)，可見磁場變化率也向里，于是由楞次定律可判斷回路中感生電動(dòng)勢是反l方向的，這意味著有旋電場的方向是逆著l方向，即繞左旋的，以下列圖。下面求解有旋電場的大小，按由于回路l上有旋電場E與線元矢量dl各處反向且大小不變，而面積S上，與面元矢量dS各處同向且大小不變，故有由之獲得管內(nèi)有旋電場大小為在管外的情況可作同理解析，但的面積分實(shí)質(zhì)上只在磁場所在的面積進(jìn)步行，故有獲得方向仍為繞左旋方向。8.2.3感生電動(dòng)勢的理論講解及其計(jì)算依照麥克斯韋感生電場假說，感生電動(dòng)勢所對應(yīng)的非靜電場力就是感生電場力。這叫做感生電動(dòng)勢的理論講解。由這個(gè)講解，我們能夠獲得在感生電場中的一段導(dǎo)線上的感生電動(dòng)勢為其中E表示感生電場的場強(qiáng)。而關(guān)于一個(gè)閉合回路上的電動(dòng)勢則能夠表示為從這些公式能夠看到，只要已知了感生電場就可以計(jì)算出感生電動(dòng)勢。下面我們談?wù)撘粋€(gè)例題，大家要特別注意等效方法的應(yīng)用?！纠?】以下列圖，在一個(gè)通電螺線管的橫截面上，有一長度為ab，與螺線管軸線的距離為h，磁場B垂直紙面向里，且以

L的金屬棒的速率增強(qiáng)，求金屬棒上的感生電動(dòng)勢?！窘狻看艌鯞向里并在增強(qiáng)，故也向里。感生電場E應(yīng)繞左旋且滿足軸對稱性，故它的電場線應(yīng)是一族逆時(shí)針走向的同軸圓，它的大小可由上一個(gè)知識點(diǎn)中例題的結(jié)果獲得為以下列圖取一線元dl，在dl上的微元電動(dòng)勢如圖可知，故沿ab方向的感生電動(dòng)勢為即電動(dòng)勢沿ab方向。此題也能夠等效成一個(gè)導(dǎo)體回路，爾后利用電磁感覺定律來求解。連接oa、bo形成一個(gè)三角形回路，其電動(dòng)勢的大小為在oa和bo兩段上，導(dǎo)線沿圓周徑向，而感生電場沿圓周切向，故每一線元dl都與感生電場垂直，線元上的微元電動(dòng)勢所以oa、ob兩段上沒有感生電動(dòng)勢。故ab上的電動(dòng)勢就是整個(gè)三角形回路的電動(dòng)勢，所以ab上的電動(dòng)勢為按楞次定律，回路電動(dòng)勢是逆時(shí)針方向，也即電動(dòng)勢應(yīng)在ab方向?！?.3互感與自感8.3.1自感現(xiàn)象、自感電動(dòng)勢和自感系數(shù)一、自感現(xiàn)象按電磁感覺定律，當(dāng)穿過回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中就有感覺電動(dòng)勢產(chǎn)生。作為一個(gè)寬泛成立的定律，定律其實(shí)不區(qū)分穿過回路的磁通量源于何外。通常的情況下，這有兩個(gè)可能：磁通量也許是本源于回路自己中的電流，也許是來源于其余回路中的電流。在前一種情況下發(fā)生的電磁感覺，稱為自感，后一種情況稱為互感。本知識點(diǎn)先談?wù)撟愿?。由于回路自己電流變化引起回路中磁通量的變化，而在回路自己中激起感覺電動(dòng)勢的現(xiàn)象稱作自感現(xiàn)象，所激起的電動(dòng)勢稱為自感電動(dòng)勢。自感現(xiàn)象二、自感系數(shù)先談?wù)摶芈冯娏髟诨芈纷约褐挟a(chǎn)生磁通量的規(guī)律。從理論上講，知道了磁通量的規(guī)律后，由電磁感覺定律就很簡單獲得回路自感電動(dòng)勢的規(guī)律了。以下列圖，有一回路l，所圍面積S的法向沿l的右手螺旋方向。若回路中有電流I，則在回路周圍存在一個(gè)磁場B，按畢奧—薩伐爾定律，任一點(diǎn)的磁場B和電流I成正比，又按磁通量的定義，，可知面積S上的磁通量也和I成正比，即有其中的比率系數(shù)L稱回路的自感系數(shù)，簡稱自感。值得注意的是，L是一個(gè)與電流沒關(guān)，而僅取決于回路形狀和介質(zhì)性質(zhì)的常量，而且是一個(gè)正的常量。由上圖可知，若電流為正，則磁通量為正，電流為負(fù)，則磁通量也為負(fù)，故L是一個(gè)正量。其余自感系數(shù)可記作它可看作自感系數(shù)的定義式。第三，若回路是由N匝線圈串通而成，則應(yīng)該理解為全磁通。全磁通與匝數(shù)相關(guān)，故自感L也與匝數(shù)相關(guān)。自感的單位是亨利(H)，常常也使用毫亨利(mH)。三、自感電動(dòng)勢依照法拉第電磁感覺定律，自感線圈的電流變化將引起磁通量變化，進(jìn)而產(chǎn)生電動(dòng)勢。這就是所謂的自感電動(dòng)勢。由法拉第定律有上式表示，由于L是一正常量，故自感電動(dòng)勢與電流變化率必然反號，即在回路中總是反向，這表示自感電動(dòng)勢總是抗?fàn)庪娏鞯淖兓?。第二，上式又可記作此即自感系?shù)的另一個(gè)定義式。因此可知自感系數(shù)的物理意義還有第二種含義，它等于回路中一個(gè)單位的電流變化率在回路自己中產(chǎn)生的電動(dòng)勢，代表著回路自己激發(fā)電動(dòng)勢的能力。第三，簡單理解，自感電動(dòng)勢公式對多匝線圈依舊成立，計(jì)算時(shí)只須把理解為全磁通即可。計(jì)算自感系數(shù)平時(shí)有以下步驟。先設(shè)回路中有電流I，爾后可由畢奧—薩伐爾定律或安培環(huán)路定律獲得回路中的磁場B，再將B對回路所圍面積積分求出磁通量，爾后由即可求出自感系數(shù)。求出自感系數(shù)后，我們就很簡單求自感電動(dòng)勢了?！纠?】一長直螺線管長度L，截面積為S，內(nèi)有磁導(dǎo)率為的磁介質(zhì)，共密繞N匝線圈，圍繞密度，求它的自感系數(shù)?！窘狻吭O(shè)螺線管載流為I，忽略磁漏和邊緣效應(yīng)，由安培環(huán)路定理可求得管內(nèi)磁場為是一個(gè)均勻磁場，磁鏈數(shù)為螺線管的自感系數(shù)為其中V=LS為螺線管的體積?！纠?】同軸電纜由兩個(gè)同軸的導(dǎo)體薄圓筒組成，此間充滿磁導(dǎo)率為的磁介質(zhì)，以下列圖。使用時(shí)內(nèi)、外圓筒分別沿軸向流過大小相等、方向相反的電流。設(shè)電纜長度為l內(nèi)外圓筒半徑分別為R1和R2，求電纜的自感系數(shù)?！窘狻亢雎赃吘壭?yīng)，由安培環(huán)路定理，可獲得磁感覺強(qiáng)度即磁場集中在兩個(gè)圓筒之間。回路的走向是PQRSP，回路所圍面積即為矩形PQRS的面積。應(yīng)注意，回路所圍面積不是圓環(huán)面積，由于電流是軸向電流而不是環(huán)形電流?；芈分械拇磐繛楣孰娎|的自感系數(shù)為單位長度上的自感系數(shù)為五、互感系數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算互感系數(shù)的思路平時(shí)有兩個(gè)。一個(gè)是設(shè)回路l1中有電流I1，求出I1在回路l2中激發(fā)的磁場B21，進(jìn)而求出磁通量，爾后除以I1即得M。另一思路是設(shè)I2，經(jīng)過求出M。應(yīng)注意，無論先設(shè)I1或I2，所求結(jié)果是同樣的，但不同樣的想法，求解過程的難易程度其實(shí)不同樣，有時(shí)甚至差別很大?！纠?】以下列圖，有兩個(gè)耦合螺線管，其截面積均為S，兩螺線管的長度分別為l1和l2，圍繞密度分別為n1、n2，管中介質(zhì)的磁導(dǎo)率為，求它們之間的互感系數(shù)?！窘狻看祟}中設(shè)線圈2中有電流I2稍為簡單一些。此時(shí)線圈1中由I2激起的磁場為磁鏈數(shù)為故互感為其中V1=l1S為第一個(gè)螺線管的體積?！纠?】有兩個(gè)圓心共面的圓線圈，半徑分別為

R1和

R2，且

，求它們之間的互感。【解】以下列圖，此題若設(shè)小線圈中有電流I1，則在大線圈所圍的面積上的磁場B是很難求出來的。若是設(shè)大線圈上有電流I2，按題意，小線圈面積上的磁場可近似看作是勻場，就簡單求解了。設(shè)線圈2上有電流I2，小線圈內(nèi)的磁場磁通量故互感系數(shù)為【例3】以下列圖，一長直導(dǎo)線與一寬為相距為d。若矩形回路中有順時(shí)針方向的電流導(dǎo)線中的感覺電動(dòng)勢。

a、高為b的單匝矩形回路共面，I，且I正以速率增加，求長直【解】長直導(dǎo)線可看作在無量遠(yuǎn)處閉合的回路，如圖中虛線所示，但感覺電動(dòng)勢僅出現(xiàn)在矩形線框電流周邊的長直導(dǎo)線中。此題用電磁感覺定律很難求出，應(yīng)先求出互感系數(shù)，再求互感電動(dòng)勢。設(shè)長直導(dǎo)線中有電流i，則i在矩形線框中產(chǎn)生的磁通量為故兩回路互感系數(shù)為故矩形線框中電流I變化時(shí)在長直導(dǎo)線中產(chǎn)生的互感電動(dòng)勢的大小為按楞次定律可知長直導(dǎo)線所形成回路的互感電動(dòng)勢應(yīng)是逆時(shí)針方向的，也即長直導(dǎo)線上的電動(dòng)勢方向向下。【例4】如圖有兩自感線圈串接，若已知兩自感線圈自感系數(shù)為L1和L2，互感為M，求串通線圈的等效自感?！窘狻吭O(shè)回路方向?yàn)閍bcd方向，回路中的電流為I，則回路的全磁通為兩個(gè)線圈中的磁通量之和為第一個(gè)線圈中的磁通量，它等于第一個(gè)線圈自已產(chǎn)生的磁通量和第二個(gè)線圈產(chǎn)生的磁通量的代數(shù)和。以下列圖，兩個(gè)線圈的磁場是相互增強(qiáng)的，故和應(yīng)相加，此時(shí)我們稱兩個(gè)線圈是順接的。同理，為第二個(gè)線圈中的磁通量，有故回路全磁通為串通線圈等效自感為若把線圈抽頭bd相連，則兩個(gè)線圈的磁通量相互削弱，此時(shí)我們稱兩個(gè)線圈是反接的，有串通線圈的等效自感為8.3.2互感現(xiàn)象、互感電動(dòng)勢、互感系數(shù)一、互感現(xiàn)象由于一個(gè)回路中電流變化，引起另一個(gè)回路中磁通量變化并激起感覺電動(dòng)勢的現(xiàn)象稱為互感現(xiàn)象。二、互感系數(shù)與自感近似，我們談?wù)搩蓚€(gè)回路的形狀、相對地址和周圍介質(zhì)的磁導(dǎo)率不變的情況，而且第一談?wù)搩蓚€(gè)回路相互產(chǎn)生磁通量的規(guī)律。以下列圖，有兩個(gè)回路l1和l2，它們各自所圍面積S1和S2的法向（如圖）。若l1中有電流I1，則I1將在S2上產(chǎn)生一個(gè)磁通量，稱作回路l2中由電流I1所激起的磁通量。顯然，應(yīng)正比于I1，即互感談?wù)撚脠D其中M21稱回路1對回路2的互感系數(shù)。同理，若l2中有電流I2，也有其中M12稱回路2對回路1的互感系數(shù)。能夠證明：在任意情況下，M12和M21都相等，記作M=M12=M21，稱M為兩回路之間的互感系數(shù)，簡稱為互感。于是上面兩個(gè)式子可記作關(guān)于互感系數(shù)有以下幾點(diǎn)值得注意。第一，M的大小僅取決于兩回路形狀，相對地址及周圍介質(zhì)的磁導(dǎo)率而與電流沒關(guān)。第二，上式可改記為這個(gè)式子可看作互感的定義式，它表示兩個(gè)回路的互感系數(shù)等于一個(gè)回路中有單位電流時(shí)，在另一個(gè)回路中產(chǎn)生的磁通量，可見其物理意義是兩回路相互產(chǎn)生磁通量的能力。第三，若兩回路都是多匝線圈，則和應(yīng)理解為全磁通，此時(shí)，M與兩線圈的匝數(shù)相關(guān)。其余互感系數(shù)單位和自感系數(shù)同樣，為亨利(H)或毫亨利（mH）。三、互感電動(dòng)勢若回路l1中電流

I1變化，則回路

l2中的磁通量

也將發(fā)生變化，于是

l2中出現(xiàn)一個(gè)電動(dòng)勢，稱為互感電動(dòng)勢，即同理，我們也能夠獲得常用上面兩式求互感電動(dòng)勢的大小，用楞次定律求互感電動(dòng)勢的方向。由上式可合并可得此式也可作為互感的定義式。它表示互感等于一個(gè)回路中有一個(gè)單位的電流變化率時(shí)在另一個(gè)回路中產(chǎn)生的電動(dòng)勢，即互感描述兩回路相互激發(fā)感覺電動(dòng)勢的能力。四、自感線圈的串通當(dāng)兩個(gè)自感線圈串通時(shí)，由于有互感的存在其總的自感系數(shù)能夠表示為其中L1，L2，M分別表示兩個(gè)自感線圈的自感系數(shù)和它們之間的互感系數(shù)。正負(fù)號取決與兩個(gè)自感線圈的串通是正串（兩個(gè)線圈產(chǎn)生的磁場方向同樣）還是反串（兩個(gè)線圈產(chǎn)生的磁場方向相反）。此式的證明作為后邊的一個(gè)例題。關(guān)于兩個(gè)自感線圈串通后，能夠定義一個(gè)耦合系數(shù)k來描述兩回路的耦合(即相互影響)能力其中M是兩回路的互感，L1、L2是兩回路的自感。一般地，。k=1稱為兩回路完好耦合，這只有在沒有磁漏，即兩回路中每個(gè)回路產(chǎn)生的磁通量都完好要經(jīng)過另一個(gè)回路時(shí)才能實(shí)現(xiàn)。繞在同一圓筒上的兩個(gè)長直密繞螺線管，以及在一個(gè)鐵芯上的兩個(gè)線圈，能夠近似看作是完好耦合的?！?.4磁場的能量8.4.1載流線圈的磁能考慮一個(gè)LR電路中電流增加的過程。以以下列圖所示，開關(guān)k閉合后，電流開始增加。采用順時(shí)針方向?yàn)榛芈返恼较?，則在電流滋長過程中電流I沿l方向，即為正當(dāng)。I在增加，故其變化率為負(fù)值即逆著l方向。

也為正當(dāng)，即也沿

l方向。所以自感電動(dòng)勢這時(shí)自感的作用相當(dāng)于一個(gè)電源，由于自感電動(dòng)勢與電流方向相反，所以是一個(gè)反電動(dòng)勢，處于“充電”狀態(tài)，要吸取能量。自感線圈中儲蓄了能量也能夠通過接下來的實(shí)驗(yàn)說明。當(dāng)回路中的電流達(dá)到牢固后，再斷開k，若R是一個(gè)電燈，它會猛亮一下爾后再熄滅。電源斷開后，電燈的閃光能量就是儲蓄在自感線圈中的能量釋放。一個(gè)載流為

I的自感線圈儲蓄了多少能量呢？下面來解析這個(gè)問題。

按歐姆定律有其中自感電動(dòng)勢為負(fù)值。為便于解析，把上式改寫為其中為正當(dāng)。此式表示回路中的電壓關(guān)系，即電源電動(dòng)勢供應(yīng)的電壓，一部分用于戰(zhàn)勝自感電動(dòng)勢，一部分用于戰(zhàn)勝電阻發(fā)出焦耳熱。把上式兩邊同乘以電流I這是回路中的功率關(guān)系，其含義請讀者自行解析。把上式對電流增加過程積分，設(shè)t=0時(shí)I=0，而任意時(shí)辰t時(shí)的電流為I，則有這個(gè)結(jié)果表示電流滋長過程中的能量變換關(guān)系：電源對回路輸入的能量，一部分儲蓄在自感線圈之中，一部分轉(zhuǎn)變成焦耳熱輸出到外界。把儲蓄在自感線圈中的能量積分出來，即得即載流為I的自感線圈儲蓄的能量為若將回路中的電源取掉但仍保持回路閉合，則回路中的電流將漸漸衰減并連續(xù)發(fā)出焦耳熱。這部分熱量也能夠用積分算出，其值也仍為。顯然，這部分能量是自感中的磁場能量釋放出來而來的。8.4.2磁場的能量與能量密度一、磁場能量的看法在前面的知識點(diǎn)中，我們知道載流的自感線圈儲蓄有能量。但是當(dāng)我們研究這種能量的攜帶者時(shí)就會碰到一個(gè)問題，誰是這個(gè)能量的攜帶者？依舊考慮以下電路的電流增加過程，我們會發(fā)現(xiàn)，電源輸出的能量的一部分給了自感線圈，并被自