2023屆高考數(shù)學專項練習導數(shù)解密36專題o專題15 導數(shù)中同構與放縮的應用含答案_第1頁
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文檔簡介

∵a＝－xlnx有解，且x>0，a>0，∴0<a≤eq\f(1,e)，∴實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))．(2)要證當a≥eq\f(2,e)時，lnx＋eq\f(a,x)－e－x>0，即證lnx＋eq\f(a,x)>e－x，∵x>0，∴即證xlnx＋a>xe－x，即證(xlnx＋a)min>(xe－x)max．令h(x)＝xlnx＋a，則h′(x)＝lnx＋1．當0<x<eq\f(1,e)時，f′(x)<0；當x>eq\f(1,e)時，f′(x)>0．∴函數(shù)h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上單調遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上單調遞增，∴h(x)min＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝－eq\f(1,e)＋a，故當a≥eq\f(2,e)時，h(x)≥－eq\f(1,e)＋a≥eq\f(1,e)．①令φ(x)＝xe－x，則φ′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)．當0<x<1時，φ′(x)>0；當x>1時，φ′(x)<0．∴函數(shù)φ(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，∴φ(x)max＝φ(1)＝eq\f(1,e)．故當x>0時，φ(x)≤eq\f(1,e)．②顯然，不等式①②中的等號不能同時成立，故當a≥

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