2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)導(dǎo)數(shù)解密36專題m專題13 導(dǎo)數(shù)中對(duì)數(shù)單身狗指數(shù)找基友的應(yīng)用含答案

2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)導(dǎo)數(shù)解密36專題．解析(1)f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x－a,x2)(x>0)．當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)a>0時(shí)，若x>a，則f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增；若0<x<a，則f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減．(2)由(1)知，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)min＝f(a)＝lna＋1．要證f(x)≥eq\f(2a－1,a)，只需證lna＋1≥eq\f(2a－1,a)，即證lna＋eq\f(1,a)－1≥0．令函數(shù)g(a)＝lna＋eq\f(1,a)－1，則g′(a)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,a2)＝eq\f(a－1,a2)(a>0)，當(dāng)0<a<1時(shí)，g′(a)<0，當(dāng)a>1時(shí)，g′(a)>0，所以g(a)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(a)min＝g(1)＝0．所以lna＋eq\f(1,a)－1≥0恒成立，所以f(x)≥eq\f(2a－1,a)．2．已知函數(shù)f(x)＝xlnx，g(x)＝x－1．(1)求F(x)＝g(x)－f(x)的單調(diào)區(qū)間和最值；(2)證明：對(duì)大于1的任意自然數(shù)n，都有eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n)＜lnn．2．解析(1)由F(x)＝x－1－xlnx，x>0，則F′(x)＝－lnx，所以當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′(x)＝－lnx＜0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，F(xiàn)′(x)＝－lnx＞0，所以當(dāng)x＝1時(shí)，F(xiàn)(x)取最大值F(1)＝0.即當(dāng)x≠1時(shí)，F(xiàn)(x)＜0，當(dāng)x＝1時(shí)，F(xiàn)(x)＝0，所以F(x)在(0，1)上是單調(diào)增函數(shù)，在(1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)x＝1時(shí)，F(xiàn)(x)取最大值F(1)＝0，無最小值．(2)由(1)可知，xlnx＞x－1對(duì)任意x＞0且x≠1恒成立．故1－eq\f(1,x)＜lnx，取x＝eq\f(n,n－1)(n＞1且n∈N)得，1－eq\f(n－1,n)＜lneq\f(n,n－1)?eq\f(1,n)＜lnn－ln(n－1)，所以eq\i\su(i＝2,n,)eq\f(1,i)＜eq\i\su(i＝2,n,[)lni－ln(i－1)]，即eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n)＜lnn，綜上，對(duì)大于1的任意自然數(shù)n