2023屆高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)導(dǎo)數(shù)解密36專題y專題25 極值點(diǎn)偏移之積(x1x2)型不等式的證明含答案_第1頁
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文檔簡介

當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(0)＝a＋1，所以a＋1<0，所以a<－1，當(dāng)x→－∞時(shí)，h(x)→＋∞；當(dāng)x→＋∞時(shí)，h(x)→＋∞所以a<－1時(shí)，函數(shù)y＝f′(x)的圖象與直線y＝x有且只有兩個交點(diǎn)．(2)g(x)＝f(x)－eq\f(1,2)x2＋1＝ex－eq\f(1,2)x2－ax，g′(x)＝ex－x－a，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)有兩個極值點(diǎn)x1，x2，方程g′(x)＝0有兩個不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，由(1)知，h(x)＝ex－x＋a，h(x1)＝h(x2)＝0，且x1<0<x2，所以g(x)在區(qū)間(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(x1，x2)上單調(diào)遞減，且得a＝－x2，所以h(－x2)＝＋x2－a＝－＋2x2．設(shè)k(x)＝－＋2x(x>0)，則k′(x)＝－－＋2<0，所以k(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以k(x)<k(0)＝0，h(x2)＝h(－x2)<0，所以x1<－x2<0．又因?yàn)間(x)在(x1，0)單調(diào)遞減，所以g(x1)>g(－x2)，要證g(x1)＋g(x2)>2，只須證g(－x2)＋g(x2)>2，即證＋－－2>0，設(shè)r(x)＝＋－－2，則r′(x)＝－－2x，令p(x)＝r′(x)＝－－2x，則p′(x)＝＋－2>0，所以p(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增，p(x)>p(0)＝0，即r′(x)>0，所以r(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增，r(x)>r(0)＝0，故當(dāng)x>0時(shí)，＋－－2>0，即＋－－2>

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