2020年高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題含答案

2020年高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題卷一理科21.(12分)已知函數(shù)fx)=ex+ax2-x.⑴當(dāng)a=1時(shí)，討論fx)的單調(diào)性；⑵當(dāng)x三0時(shí)fx后；x3+1,求a的取值范圍.21.解(1)當(dāng)a=1時(shí)fx)=ex+x2-xf(x)=ex+2x-1.故當(dāng)x￡(-s,0)時(shí)f(x)<0;當(dāng)xe(0,+s)時(shí)/(x)>0.所以fx)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+s)單調(diào)遞增.(2fx)^2x3+1等價(jià)于(1%3-ax2+x+1)e-x<1.設(shè)函數(shù)g(x)=(I%3-ax2+x+1)e-x(x>0),貝1g'(x)=-1x3-ax2+x+1-3x2+2ax-1e-x=-1x[x2-(2a+3)x+4a+2]e-x2a-1)(x-2)e-x.①若2a+1<0,即a<-去則當(dāng)x￡(0,2)時(shí),g'(x)>0.所以g(x)在(0,2)單調(diào)遞增，而g(0)=1,故當(dāng)x金(0,2)時(shí),g(x)>1,不合題意.②若0<2a+1<2,即-j<a<去則當(dāng)x￡(0,2a+1)U(2,+s)時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x￡(2a+1,2)時(shí),g'(x)>0.所以g(x)在(0,2a+1),(2,+s)單調(diào)遞減，在(2a+1,2)單調(diào)遞增.由于g(0)=1,所以g(x)<1當(dāng)且僅當(dāng)g(2)=(7-4a)e-2<1,即a>空.4所以當(dāng)牛<a<2時(shí),g(x)<1.③若2a+1>2,即a4，則g(x)<1x3+x+1'e-x.7-e7-e21,4 2，故由②可得(1%3+%+1)e-x<1.故當(dāng)a>2時(shí),g(x)<1.綜上,a的取值范圍是［上,+s).4卷一文科15.曲線尸lnx+x+1的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為.15.y=2x設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0).對(duì)y=lnx+x+1求導(dǎo)可得y'=1+1.由題意得,—+1=2,解得x=1,故y=ln1+1+1=2,00比0切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x..(12分)已知函數(shù)fx)=ex-a(x+2).⑴當(dāng)a=1時(shí)，討論fx)的單調(diào)性；⑵若fx)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.20.解(1)當(dāng)a=1時(shí)fx)=ex-x-2,則f(x)=ex-1.當(dāng)x<0時(shí)/(x)<0;當(dāng)x>0時(shí)/(x)>0.所以fx)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+s)單調(diào)遞增.(2)f'(x)=ex-a.當(dāng)aW0時(shí)/(x)>0,所以fx)在(-8,+s)單調(diào)遞增，故fx)至多存在1個(gè)零點(diǎn)，不合題意.當(dāng)a>0時(shí),由f(x)=0可得x=lna.當(dāng)x￡(-s,lna)時(shí)f(x)<0;當(dāng)x￡(Ina,+s)時(shí)f(x)>0.所以fx)在(-8,lna)單調(diào)遞減，在(lna,+s)單調(diào)遞增，故當(dāng)x=Ina時(shí)fx)取得最小值，最小值為f(lna)=-a(1+lna).①若0<aW1,則f(lna)*fx)在(3,+^)至多存在1個(gè)零點(diǎn)，不合題意.e②若a>1,則f(lna)<0.e由于f-2)=e-2>0,所以fx)在(-8,lna)存在唯一■零點(diǎn).由(1)知，當(dāng)x>2時(shí),ex-x-2>0,所以當(dāng)x>4且x>2ln(2a)時(shí)，f(x)=e；?e；-a(x+2)>ein(2a)?(:+2)-a(x+2)=2a>0.故fx)在(1口a,+s)存在唯一■零點(diǎn).從而fx)在(-8,+s)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上,a的取值范圍是(；，+8).卷二理科.(12分)已知函數(shù)fx)=sin2xsin2x.(1)討論fx)在區(qū)間(0,n)的單調(diào)性;(2)證明:fx)|W氧3;8⑶設(shè)n￡N*，證明:sinxsin22xsin24x…sin22nxW”4九21.(1)解f'(x)=cosx(sinxsin2x)+sinx(sinxsin2x)'=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x=2sinxsin3x.當(dāng)xe(0,9u簿,n)時(shí)f(x)>0;當(dāng)xe(n,2n)時(shí)〃x)<0.3于單調(diào)遞減.所以fx)在區(qū)間(0,n),(g,n)單調(diào)遞增3于單調(diào)遞減.(2)證明因?yàn)閒(0)=f(n)=0,由(1)知,/(x)在區(qū)間［0,n］的最大值為f(；3)=3^3，最小值為f(2n)=-3^3而fx)是周期為n的周期函數(shù)，故fx)|W雙3.83⑶證明由于(sm2xsin22x…sin22nx)2=1sinxsin32x?…sins2nxl

=|sin刈sinzxsins2x…sin32n-ixsin2nx\\sin22nx\=\sinx\\f(xf(2x)…f(2n-ix)\\sin22nx\&fxfx)…f2n-ix)\,_2n所以sin2xsin22x…sin22nx<(3^3)3=或.8 4n卷二文科21.(12分)已知函數(shù)fx)=2lnx+1.⑴若f(x)W2x+c,求c的取值范圍;⑵設(shè)a>0,討論函數(shù)g(x)上^g的單調(diào)性.x-a21.解設(shè)h(x)=f(x)-2x-c,則h(x)=2lnx-2x+1-c,其定義域?yàn)?0,+s),h'(x)=2-2.X(1)當(dāng)0<x<1時(shí),h'(x)>0;當(dāng)x>1時(shí),h'(x)<0,所以h(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+s)單調(diào)遞減.從而當(dāng)x=1時(shí),h(x)取得最大值，最大值為h(1)=-1-c.故當(dāng)且僅當(dāng)-1-cW0,即c，-1時(shí)fx)<2x+c.所以c的取值范圍為［-1,+s).(2)g(x)=f⑺-f?=2(lnx-lna),xG(0,a)U(a,+^).x-a x-a2($+ln。-*=2(1務(wù)1n舞g'(x)= ——g'(x)(x-a)2 (x-a)2取c=-1得h(x)=2lnx-22x+2,h(1)=0,則由(1)知,當(dāng)x#1時(shí),h(x)<0,即1-x+lnx<0.故當(dāng)x￡(0,a)U(a,+?))時(shí),1-2+In匕0,從而g'(x)<0.XX所以g(x)在區(qū)間(0,a),(a,+s)單調(diào)遞減.卷三理科21.(12分)設(shè)函數(shù)fx)=x3+bx+c,曲線y=j(x)在點(diǎn)2f(2j)'處的切線與y軸垂直.⑴求b;⑵若fx)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明fx)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.21.(1)解f(x)=3x2+b,依題意得f(1)=0和4+b=0.故b=-4.(2)證明由(1)知fx)=x3-3x+cf(x)=3x2-3.44令f(x)=0,解得x=-2或x=2.f(x)與fx)的情況為：x(”--J_1(1J221(力)fx)+00+fx)71c+1\c-17因?yàn)閒(1)=f(-j)=c+4,所以當(dāng)c<-j時(shí)fx)只有大于1的零點(diǎn).因?yàn)閒-1)=f(2)=c-1,所以當(dāng)c>1時(shí)fX)只有小于-1的零點(diǎn).由題設(shè)可知-產(chǎn)cU當(dāng)c=-4時(shí)f%)只有兩個(gè)零點(diǎn)-|和i.當(dāng)c=4時(shí)^X)只有兩個(gè)零點(diǎn)-1和1.當(dāng)-1<c<1時(shí)fX)有三個(gè)零點(diǎn)X,X,X],且X尸二1,-1',X產(chǎn)'-1,1',X尸'r」.4 4 1231 2 2 22 3 2綜上，若fX)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，則fX)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.卷三文科20.(12分)已知函數(shù)fx)=x3-kX+k2.(1)討論fX)的單調(diào)性；⑵若fX)有三個(gè)零點(diǎn)，求k的取值范圍.20.解(1)f'(X)=3X2-k.當(dāng)k=0時(shí)fX)=X3,故fX)在(-8,+s)單調(diào)遞增；當(dāng)k<0時(shí)f(X尸3X2-k>0,故f(X)在(-叫+8)單調(diào)遞增.當(dāng)k>0時(shí)，令f(X)=0,得x=土牛.譽(yù),時(shí)f(X)>0;-晉，晉?時(shí)f(X)<0；乎乎串調(diào)遞減.故fX)在；8，-呼呼,+8'單調(diào)遞增，在'乎乎串調(diào)遞減.(2)由(1)知，當(dāng)k<0時(shí)fX)在(-8,+8)單調(diào)遞增fX)不可能有三個(gè)零點(diǎn).當(dāng)k>0時(shí),x=-亨為fX)的極大值點(diǎn),x=苧為fX)的極小值點(diǎn).此時(shí),-k-1<-牛<苧<k+1且f-k-1)<0f(k+1)>0f(-普)〉0.根據(jù)fX)的單調(diào)性，當(dāng)且僅當(dāng)人苧)<0,即k2-弩丞<0時(shí)fX)有三個(gè)零點(diǎn)，解得k<27.因此k的取值范圍為‘?0A'.山東卷21.(12分)已知函數(shù)fx)=ae%-1-lnx+Ina.⑴當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=fx)在點(diǎn)(1f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若fx)三1,求a的取值范圍.21.解fX)的定義域?yàn)?0,+8)f(x)=ae%-1-1X(1)當(dāng)a=e時(shí)fx)=e%-lnx+1f(1)=e-1,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1f(1))處的切線方程為y-(e+1)=(e-1)(x-1)，即y=(e-1)X+2.直線y=(e-1)%+2在%軸,y軸上的截距分別為-2-,2.e-1因此所求三角形的面積為2.e-1(2)由題意a>0,當(dāng)0<a<1時(shí)<1)=a+lna<1.當(dāng)a=1時(shí)4x)=ex-i-lnxf(^)=ex-i-1.X當(dāng)x￡(0,1)時(shí)f(x)<0;當(dāng)xe(1,+8)時(shí)/(x)>0.所以當(dāng)x=1時(shí)fx)取得最小值，最小值為f(1)=1,從而fx啟1.當(dāng)a>1時(shí)fx)=aex-1-lnx+lna，ex-1-lnx，1.綜上,a的取值范圍是[1,+8).天津卷20.(16分)已知函數(shù)fx)=x3+k,lnx(k￡R)f(x)為fx)的導(dǎo)函數(shù).(1)當(dāng)k=6時(shí)，①求曲線y=fx)在點(diǎn)(1f(1))處的切線方程；②求函數(shù)g(x)=fx)f(x)+9的單調(diào)區(qū)間和極值；X⑵當(dāng)k三-3時(shí)，求證:對(duì)任意的x,,x,￡[1,+8)，且x>x9,有3+3)>33.2 12 2 %1-%2(1)解①當(dāng)k=6時(shí)fx)=x3+6lnx,故f(x)=3x2+6.X可得f(1)=1f(1)=9,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1/1))處的切線方程為y-1=9(x-1)，即y=9x-8.②依題意,g(x)=x3-3x2+6lnx+3,x￡(0,+8).從而可得g'(x)=3x2-6x+6一工整理可得g'(x)=3(尤-1戶(尤+1).令X Xx2 x2g'(x)=0,解得x=1.當(dāng)x變化時(shí),g，(x),g(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1,+8)g'(x)0+g(x)\極小值71所以，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8)；g(x)的極小值為g(1)=1,無極大值.(2)證明由fx)=x3+k,lnx,得f(x)=3x2+-.XTOC\o"1-5"\h\z對(duì)任意的x,x￡[1,+8))，且x>x,令1=t(t>1),12 1 2尤2則(x]-x2)f(x1)^f(x2)]-2fx1)-fx2)](xx)■-3%2+/+3%2+區(qū),-2?*-x3+kln41241 42 42=%3-x3-3%2x->+3xx^+k、J一旦-2kln42 1,兒241 42=x3(13-312+31-1)+kt-1-2lnt'.令h(x)=x-1-2lnx,x￡[1,+8).X當(dāng)x>1時(shí),h‘(x)=1+——2=(1-1)>0,尤2尤'尤由此可得h(x)在[1,+8)單調(diào)遞增，所以當(dāng)t>1時(shí),h(t)>h(1)，即t-1-2lnt>0.因?yàn)閤戶1,t3-312+31-1=(t-1)3>0,k，-3,TOC\o"1-5"\h\z所以,