多粒子系統(tǒng)的熱運(yùn)動

多粒子系統(tǒng)的熱運(yùn)動第一頁，共五十八頁，2022年，8月28日熱運(yùn)動的研究方法：1.宏觀法.

最基本的實(shí)驗(yàn)規(guī)律邏輯推理(運(yùn)用數(shù)學(xué))------稱為熱力學(xué)(thermodynamics)優(yōu)點(diǎn)：可靠、普遍。缺點(diǎn)：未揭示微觀本質(zhì)。2.微觀法.物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)+統(tǒng)計(jì)方法------稱為統(tǒng)計(jì)物理學(xué)(statisticalphysics)其初級理論稱為氣體分子運(yùn)動論(氣體動理論)優(yōu)點(diǎn)：揭示了熱現(xiàn)象的微觀本質(zhì)。缺點(diǎn)：可靠性、普遍性差。熱運(yùn)動(thermalmotion)：微觀粒子永恒的雜亂無章的運(yùn)動。第二頁，共五十八頁，2022年，8月28日第五章氣體動理論5-1熱力學(xué)系統(tǒng)平衡態(tài)熱力學(xué)研究的對象，它包含極大量的分子、原子。外界：熱力學(xué)系統(tǒng)以外的物體。一、熱力學(xué)系統(tǒng)(thermodynamicsystem)開放系統(tǒng)孤立系統(tǒng)封閉系統(tǒng)熱力學(xué)系統(tǒng)根據(jù)能量與質(zhì)量傳遞的不同例：若汽缸內(nèi)氣體為系統(tǒng)，其它為外界。第三頁，共五十八頁，2022年，8月28日箱子假想分成兩相同體積的部分，達(dá)到平衡時，兩側(cè)粒子有的穿越界線，但兩側(cè)粒子數(shù)相同。粒子數(shù)是宏觀量平衡態(tài)(equilibriumstate):在無外界影響下，系統(tǒng)所有可觀察的宏觀性質(zhì)不隨時間改變。指出（1）平衡態(tài)是一種熱動平衡；處在平衡態(tài)的大量分子仍在作熱運(yùn)動，而且因?yàn)榕鲎?，每個分子的速度經(jīng)常在變，但是系統(tǒng)的宏觀量不隨時間改變。二、平衡態(tài)狀態(tài)參量第四頁，共五十八頁，2022年，8月28日（2）平衡態(tài)是一種理想概念。

對熱力學(xué)系統(tǒng)的兩種描述方法：1.宏觀量

從整體上描述系統(tǒng)的狀態(tài)量，一般可以直接測量。如壓強(qiáng)P、體積V、溫度T等。單位壓強(qiáng)---帕斯卡體積---立方米溫度---開爾文第五頁，共五十八頁，2022年，8月28日2.微觀量描述系統(tǒng)內(nèi)微觀粒子的物理量。如分子的質(zhì)量、直徑、速度、動量、能量

等。微觀量與宏觀量有一定的內(nèi)在聯(lián)系。熱力系處于平衡態(tài)的標(biāo)志：表征系統(tǒng)的狀態(tài)參量各具有確定的量值，并且不隨時間變化。第六頁，共五十八頁，2022年，8月28日質(zhì)量摩爾質(zhì)量普適氣體常量理想氣體當(dāng)系統(tǒng)處于平衡態(tài)時，三個狀態(tài)參量存在一定的函數(shù)關(guān)系：物態(tài)方程(狀態(tài)方程)三、物態(tài)方程理想氣體遵循玻意爾定律、查理定律、蓋—呂薩克定律第七頁，共五十八頁，2022年，8月28日例題氧氣瓶的壓強(qiáng)降到106Pa即應(yīng)重新充氣，以免混入其他氣體而需洗瓶。今有一瓶氧氣，容積為32L，壓強(qiáng)為1.3107Pa，若每天用105Pa的氧氣400L，問此瓶氧氣可供多少天使用？設(shè)使用時溫度不變。解:根據(jù)題意，可確定研究對象為原來氣體、用去氣體和剩余氣體，設(shè)這三部分氣體的狀態(tài)參量分別為使用時的溫度為T設(shè)可供x天使用原有每天用量剩余第八頁，共五十八頁，2022年，8月28日分別對它們列出狀態(tài)方程，有第九頁，共五十八頁，2022年，8月28日5-2物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)及統(tǒng)計(jì)規(guī)律的基本概念一、物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)1、宏觀物質(zhì)是由大量不連續(xù)的微觀粒子---分子（或原子）組成的多粒子體系。一摩爾的任何物質(zhì)的分子數(shù)都相同2、分子都在永不停息地作雜亂無規(guī)則的熱運(yùn)動3、分子間存在相互作用力（分子力）第十頁，共五十八頁，2022年，8月28日分子間既有引力作用又有斥力作用平衡位置斥力起主要作用引力起主要作用R—分子有效作用半徑102?v12rdv12=0分子有效直徑?第十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日二、理想氣體的微觀模型分子本身的大小比起它們之間的平均距離可忽略不計(jì)。（分子可看作質(zhì)點(diǎn)）除碰撞外，分子之間的作用力可忽略不計(jì)。分子間的碰撞是完全彈性的。三、統(tǒng)計(jì)規(guī)律的基本概念什么是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性(statisticalregularity)大量偶然性從整體上所體現(xiàn)出來的必然性。例.扔硬幣理想氣體的分子可視為彈性的、自由運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)。第十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日

統(tǒng)計(jì)規(guī)律有以下特點(diǎn):（1）只對大量偶然的事件才有意義.（2）它是不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質(zhì)變).統(tǒng)計(jì)平均值算術(shù)平均值為對某一物理量M進(jìn)行測量第十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日統(tǒng)計(jì)平均值算術(shù)平均值出現(xiàn)Mi的幾率(概率)M的統(tǒng)計(jì)平均值等于一切可能的狀態(tài)的幾率W與相應(yīng)的M值乘積的總和。歸一化條件第十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日“漲落”現(xiàn)象------測量值與統(tǒng)計(jì)值之間總有偏離布朗運(yùn)動是可觀測的漲落現(xiàn)象之一。處在平衡態(tài)的系統(tǒng)的宏觀量，如壓強(qiáng)P，不隨時間改變，但不能保證任何時刻大量分子撞擊器壁的情況完全一樣，分子數(shù)越多，漲落就越小。第十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日統(tǒng)計(jì)分布圖以伽爾頓板實(shí)驗(yàn)為例槽內(nèi)單位寬度的小球數(shù)狹槽位置有陰影的矩形面積為表明落入位置在x~x的狹槽內(nèi)小球的個數(shù)。第十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日5-3麥克斯韋速率分布定律一、氣體分子的速率分布曲線麥克斯韋速率分布平衡態(tài)下的氣體系統(tǒng)中以分子速率為隨機(jī)變量的氣體分子速度分布函數(shù)。單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比速率表示速率在v~v區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比第十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日v0，取dv為分子速率區(qū)間元，相應(yīng)的分子數(shù)為dN分子速率分布函數(shù)vvv+dvv1v2分子出現(xiàn)在v1~v2區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的百分比dNN面積=出現(xiàn)在v~v+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比氣體分子的速率分布曲線第十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日f(v)的物理意義某一分子在速率v附近的單位速率區(qū)間內(nèi)的幾率最可幾速率對于相同速率區(qū)間而言，速率在包含vp的那個區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大。就相同速率區(qū)間而言，某一分子的速率取包含vp的那個區(qū)間內(nèi)的幾率最大。第十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日1860年，麥克斯韋導(dǎo)出f(v)的表達(dá)式麥克斯韋速率分布定律T----溫度

m----氣體分子質(zhì)量

k----玻爾茲曼常數(shù)由此，得二、麥克斯韋速率分布規(guī)律第二十頁，共五十八頁，2022年，8月28日1、最可幾速率與分布函數(shù)F(v)的極大值相對應(yīng)的速率極值條件2、平均速率大量分子速率的統(tǒng)計(jì)平均值三、分子速率的三個統(tǒng)計(jì)值第二十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日對于連續(xù)分布3、方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根第二十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日試計(jì)算下列氣體在大氣中的逃逸速度與方均根速度之比：H2(2),He(4),H2O(18),N2(28),O2(32),Ar(40),CO2(44),括弧內(nèi)的數(shù)字是分子量。設(shè)大氣的溫度為290K，已知地球質(zhì)量M=5.981024kg，地球半徑R=6378km.解：逃逸速度可由分子動能等于相對于無窮遠(yuǎn)的引力勢能分子量第二十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日氣體H2He

H2O

N2

O2

Ar

CO2K5.888.3217.6522.023.5326.3127.59當(dāng)代宇宙學(xué)告訴我們，宇宙中原初的化學(xué)成分絕大部分是氫（約占3/4）和氦（約占1/4）。任何行星形成之初，原始大氣中都應(yīng)有相當(dāng)大量的氫和氦。但是現(xiàn)在地球的大氣里幾乎沒有H2和He，而其主要成分卻是N2和O2。為什么？大氣分子的熱運(yùn)動促使它們逸散，萬有引力阻止它們逃脫。方均根速度標(biāo)志著前者動能的大小，逃逸速度標(biāo)志著后者勢能的大小，例題中的比值K標(biāo)志著二者抗衡中誰占先的問題。第二十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日K值愈大，表示引力勢能愈大，分子不易逃脫。K值剛剛大于1顯然不足以有效地阻止氣體分子的散失，因?yàn)檫@時僅僅具有平均熱運(yùn)動動能的分子被引力拉住，但是按麥克斯韋分布律，氣體中有大量的分子速率大過、甚至遠(yuǎn)大過方均根速度，它們?nèi)匀豢梢蕴用摗τ谀撤N氣體需要多大的K值才能將它保?。坷}的結(jié)果表明，K6~8是不夠大的，這未能把地球大氣里的H2和He保住。K大到22~24肯定是夠了，因?yàn)檫@數(shù)值沒有讓N2和O2散失。第二十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日都與成正比，與（或）成反比f(v)v第二十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日溫度越高，速率大的分子數(shù)越多溫度越高，分布曲線中的最概然速率vp增大，但歸一化條件要求曲線下總面積不變，因此分布曲線寬度增大，高度降低。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2第二十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日例設(shè)想有N個氣體分子，其速率分布函數(shù)為試求:(1)常數(shù)A；(2)最可幾速率，平均速率和方均根；(3)速率介于0~v0/3之間的分子數(shù)；(4)速率介于0~v0/3之間的氣體分子的平均速率。解：(1)氣體分子的分布曲線如圖由歸一化條件第二十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日(2)最可幾速率由決定，即平均速率方均速率方均根速率為第二十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日(3)速率介于0~v0/3之間的分子數(shù)(4)速率介于0~v0/3之間的氣體分子平均速率為第三十頁，共五十八頁，2022年，8月28日討論速率介于v1~v2之間的氣體分子的平均速率的計(jì)算對于v的某個函數(shù)g(v)，一般地，其平均值可以表示為第三十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日5-4玻爾茲曼分布律若氣體分子處于恒定的外力場（如重力場）中氣體分子在空間位置不再呈均勻分布?xì)怏w分子分布規(guī)律如何在麥克斯韋速度分布律中，第三十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日玻爾茲曼對麥克斯韋分布律的推廣：(1)分子在外力場中(2)粒子的分布不僅按速率區(qū)間v~v+dv分布，還應(yīng)按位置空間x~x+dx,y~y+dy,z~z+dz分布。分子勢能dN氣體處在空間任意小體積元dxdydz中的分子數(shù)n0勢能等于零處的分子數(shù)密度氣體分子按勢能分布的特點(diǎn)第三十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日能級粒子能量取分立值的情況下玻爾茲曼分布對于任意兩個能級，有在正常狀態(tài)下，能級越低，粒子數(shù)越多。粒子總是優(yōu)先占據(jù)低能級狀態(tài)。處于Ei狀態(tài)的粒子數(shù)第三十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日例5-2由玻爾茲曼分布律證明恒溫氣壓公式式中P0為n=0處的大氣壓強(qiáng)，P為h處的大氣壓強(qiáng)，m是大氣分子質(zhì)量。證：由氣體狀態(tài)方程大氣密度和壓強(qiáng)隨高度增加按指數(shù)規(guī)律減?。ǜ呖湛諝庀”。瑲鈮旱停┑谌屙?，共五十八頁，2022年，8月28日兩邊取對數(shù)測知地面和高空處的壓強(qiáng)與溫度，可估算所在高空離地面的高度。實(shí)際應(yīng)用第三十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日例5-3氫原子基態(tài)能級E1=-13.6eV，第一激發(fā)態(tài)能級E2=-3.4eV，求出在室溫T=270C時原子處于第一激發(fā)態(tài)與基態(tài)的數(shù)目比。解：在室溫下，氫原子幾乎都處于基態(tài)。第三十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日5-5理想氣體的壓強(qiáng)公式、溫度公式和內(nèi)能一．理想氣體的壓強(qiáng)公式一定質(zhì)量的處于平衡態(tài)的某種理想氣體。(V,N,m)考慮一個分子A，以速度vi

奔向一面元，與面元碰撞后返回動量改變量為氣體對器壁的壓強(qiáng)應(yīng)該是大量分子對容器不斷碰撞的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果。第三十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日把所有分子按速度分為若干組，在每一組內(nèi)的分子速度大小，方向都差不多。設(shè)s法向?yàn)閤軸vitsx設(shè)第i組分子的速度為共有Ni個其分子數(shù)密度為在t時間內(nèi)沿X方向平移的距離為vixt體積為vixts的柱體內(nèi)所有分子都與s相碰第三十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日因?yàn)樗俣葹榈姆肿又校髡家话肫鋭恿扛淖兞克俣炔煌母鹘M分子與面元相碰后總的動量改變量為t時間內(nèi)，與面元s相碰的速度為的分子數(shù)為第四十頁，共五十八頁，2022年，8月28日作用在面元上的作用力壓強(qiáng)分子的平均平動動能第四十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日二、理想氣體的溫度公式溫度是氣體分子平均平動動能大小的量度第四十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日例5-1（1）在一個具有活塞的容器中盛有一定的氣體。如果壓縮氣體并對它加熱，使它的溫度從270C升到1770C，體積減少一半，求氣體壓強(qiáng)變化多少？（2）這時氣體分子的平均平動動能變化多少？解：第四十三頁，共五十八頁，2022年，8月28日第四十四頁，共五十八頁，2022年，8月28日5-6能量均分定理理想氣體的內(nèi)能一、自由度i（Degreeoffreedom）確定一個物體的空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。以剛性分子（分子內(nèi)原子間距離保持不變）為例雙原子分子單原子分子平動自由度t=3平動自由度t=3轉(zhuǎn)動自由度r=2第四十五頁，共五十八頁，2022年，8月28日三原子分子平動自由度t=3轉(zhuǎn)動自由度r=3二、能量按自由度均分定理第四十六頁，共五十八頁，2022年，8月28日推廣氣體分子沿X,Y,Z三個方向運(yùn)動的平均平動動能完全相等，可以認(rèn)為分子的平均平動動能均勻分配在每個平動自由度上。平衡態(tài)下，不論何種運(yùn)動，相應(yīng)于每一個可能自由度的平均動能都是能量按自由度均分定理第四十七頁，共五十八頁，2022年，8月28日如果氣體分子有i個自由度，則分子的平均動能為三、理想氣體的內(nèi)能分子間相互作用可以忽略不計(jì)分子間相互作用的勢能=0理想氣體的內(nèi)能=所有分子的熱運(yùn)動動能之總和1mol理想氣體的內(nèi)能為第四十八頁，共五十八頁，2022年，8月28日一定質(zhì)量理想氣體的內(nèi)能為內(nèi)能僅與溫度有關(guān)，與壓強(qiáng)和體積無關(guān)溫度改變，內(nèi)能改變量為第四十九頁，共五十八頁，2022年，8月28日例題就質(zhì)量而言，空氣是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三種氣體組成，它們的分子量分別為28、32、40?？諝獾哪栙|(zhì)量為28.910-3kg，試計(jì)算1mol空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能。解：在空氣中N2質(zhì)量摩爾數(shù)O2質(zhì)量摩爾數(shù)第五十頁，共五十八頁，2022年，8月28日Ar質(zhì)量摩爾數(shù)1mol空氣在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的內(nèi)能第五十一頁，共五十八頁，2022年，8月28日5-7氣體分子平均碰撞次數(shù)和平均自由程氣體分子平均速率氮?dú)夥肿釉?70C時的平均速率為476m.s-1.矛盾氣體分子熱運(yùn)動平均速率高，但氣體擴(kuò)散過程進(jìn)行得相當(dāng)慢。克勞修斯指出：氣體分子的速度雖然很大，但前進(jìn)中要與其他分子作頻繁的碰撞，每碰一次，分子運(yùn)動方向就發(fā)生改變，所走的路程非常曲折。第五十二頁，共五十八頁，2022年，8月28日在相同的t時間內(nèi)，分子由A到B的位移比它的路程小得多擴(kuò)散速率(位移/時間)平均速率(路程/時間)分子自由程(freepath):