充分條件與必要條件之辯

充分條件與必要條件之辯這里，我稍稍做了一次標(biāo)題黨。這一篇附錄主要是聊一聊“邏輯”，理一理思路。其實大家平時為什么會被“什么的必要條件是什么”，“什么是什么的充分條件”諸如此類的表示弄得暈頭轉(zhuǎn)向呢（包括我自己，大霧）。這其實不是大家的錯，這最主要的原因是語言文字太博大精深了（笑錯的是這個世界，全怪時辰U（正經(jīng)）什么是邏輯？是一種思維的規(guī)律，但我更喜歡把它當(dāng)做一種語言，他有自己一套語法和語義。不過她沒有什么倒裝句式，沒有什么修辭手法之類的，所以它十分公正，明確。雖說這樣聽起來，一門語言沒有這些亂七八糟的東西，會變得很容易理解和研究，其實不然，去掉繁雜的枝葉可以直指本質(zhì)，而對本質(zhì)的探索是最為困難的。這里，我要講的是最淺顯的內(nèi)容。這篇文章，或許不會對你做題方法有直接影響，但是能剖析自己的思路總是好的?！?〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃/〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃〃/〃〃〃//〃〃/〃//1、什么是命題命題是一個非真即假的陳述句。大家都懂我就不多說了。要注意的是類似％>5的不是命題，因為%是變量，%>5的真值由X的取值來決定。要這樣：Vxe/?%>5才算是命題。（類似x>5,我們稱之為命題變項）（嚴(yán)格來說a+b22倔也不算命題）因為我們處理命題和命題變項的方法是一毛一樣的，因此除了在概念上區(qū)分以外，在推理過程中我們就不再區(qū)分他們了。后面我們也會淡化“命題”這個概念。（不要說有條件和結(jié)論的才叫命題這種錯誤的想法）〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃2、簡單命題和復(fù)雜命題表達一個命題就像積木一樣，一個復(fù)雜的命題由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞按規(guī)則所組成。簡單命題，就是不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題：“我是beauty"（beauty是我一個同學(xué)）復(fù)雜命題：“我是beauty且我愛飆車”，這里的“且”就是一個邏輯聯(lián)結(jié)詞了（接下來我們會用字母來表示一個命題）〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃〃〃/〃//〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃3、邏輯聯(lián)結(jié)詞邏輯聯(lián)結(jié)詞的作用相當(dāng)于加減乘除，可把命題連接起來構(gòu)成狂雜的命題。有幾個常用的邏輯聯(lián)結(jié)詞：-1（非）、八（且）、V（或）、T（蘊含，也可讀作如果…，那么…）、C（等價于）〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃或且非我就不說了?！?〃/〃〃〃//〃/〃//〃〃//〃//〃/〃/〃〃〃/〃〃//〃//〃/〃〃〃〃//〃〃//〃//〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃〃〃//〃/〃/〃〃/〃//〃/〃姑且提一下“T”：有兩個命題P,Q,用T構(gòu)成可以一個命題PtQ。讀作P蘊含于Q,也可以讀作如果尸，那么Q。在這里P就稱為條件，Q就稱為結(jié)論。真值表（相當(dāng)于對此聯(lián)結(jié)詞的定義）如下：PQPtQ〃//〃〃〃〃/〃//〃〃〃〃//〃〃〃/〃〃//〃//〃〃//〃〃〃〃//〃/〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃/〃〃/〃//〃〃〃〃//〃〃〃蘊涵詞“T”與自然語言中“如果…，那么…”有一致的一面，但也有不同的地方：①自然語言中如果那么所連接的兩個句子是有一般都是關(guān)聯(lián)的。而邏輯上允許“T”前后放不同的東西。（“或、且”也一樣：“2+2=5”且“雪是白的”。這樣的句子是合理的）（吐槽一句，其實前后亳無關(guān)聯(lián)的句子也很多啊一一如果我?guī)е诳蜓坨R，那么一分鐘只有59s（笑）一一對吧，前后亳無關(guān)聯(lián)）②自然語言中很少有條件為假，命題為真的說法，導(dǎo)致讓人很難理解。其實我列幾個句子就很好明白了：（1）如果我是beauty（學(xué)新），那么我就能考全級第一。（2）如果我能考全級第一了，那么母豬都會上樹了（心酸）；（3）如果太陽從西邊出來了，那么我的是穿女裝。（這是薛定印的女裝?。ㄐΓ┻壿嬍亲匀凰季S的抽象，源于自然，高于自然。當(dāng)你對邏輯進行演算的時候，大可不必時時刻刻想著它對應(yīng)的意思，就好像數(shù)字運算一樣；而自然語言僅僅是用來輔助理解的，就好像學(xué)算術(shù)時作為例子的“蘋果”一樣。把“t”抽象出來之后（不要再想著它的原本對應(yīng)的意思了），我們發(fā)現(xiàn)「PVQ跟PtQ是完全等價的:這個有什么用呢，等下再說?！?〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃那么如果PtQ為真，我們可以記為P=Q,這時稱：①P蘊含于Q（這里的蘊含于的含義稍稍有點變化）②P是Q的充分條件，Q是尸的必要條件；（Q的充分條件是P，P的必要條件是Q）（如何理解等下再說）這有什么區(qū)別呢，這么說吧“t”相當(dāng)于加減乘除，“=”相當(dāng)于等于大于，也就是說是用來描述PQ之間的關(guān)系的，而是一個“運算符，同樣我們可以定義我們當(dāng)做用于命題之間的一個等號〃〃〃/〃/〃〃〃/〃//〃〃//〃/〃〃〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃//〃/〃//〃/〃/〃/〃〃〃〃/〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃3、邏輯演算我們平時做題時候，我們需要一些推理規(guī)則。比如說遇到難證明題目，我們可以先求其必要條件，縮小其范圍；正面難證明的問題，我們可以用反證法。無不需要邏輯的演算?！āā?〃/〃〃〃/〃//〃〃//〃/〃//〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃//〃/〃//〃/〃/〃〃〃/〃〃/〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃1、等價變形我們很多時候會遇到一些比較更雜的命題，我們需要對命題進行化簡，這時候我們就要熟知一些邏輯聯(lián)結(jié)詞的運算規(guī)則（就像是我們對算式化簡一般）一些等價公式：①雙重否定：1Pop②八、V、一滿足結(jié)合律（T不滿足）③八、V、C滿足交換律（T不滿足）(P八(QVR)<=>(P/\Q)V(P/\R)④分配律：(P\/(QYR)0(PYQ)八(PYR)(一不滿足)

t(QtR)<=>(PtQ)t(PtR)等累律:吸收律:(PVP<=>P等累律:吸收律:ptP0T

p—p0T⑦德摩根律:r-i(PAQ)<=>-1PV-1Q

l「(PVQ)<=>-iPA-iQ

⑦德摩根律:這里只是把公式列舉出來而已，腦殘的不用記，不常用的其實也不用記，這里最重要的是公式是德摩根律了（各種意義上）當(dāng)然這些公式，都可以用真值表來證明（不過太困難了）。我們可以用韋恩圖來理解這些公式（有點太過顯然了）：-1PPYQ〃/〃/〃〃〃/〃/〃///〃〃/〃//〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃///〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃//〃/〃//〃/〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃///〃/〃/〃//〃我們可以稍稍作個拓展：高中老師為了我們更好理解“且”“或”，把“且”比作乘法，“或”比作加法，其實這樣并不準(zhǔn)確。③我們這樣定義命題的“加法"：P+Q（就是并了之后去掉交的部分）：（意思是“或異”一”魚和熊掌不可得兼”）⑤1定義為真，。定義為假除了尸2=2和2+2=。兩個特殊的運算性質(zhì)以外，其他的運算性質(zhì)跟數(shù)的運算完全一樣。形如這樣的運算，我們稱之為布爾運算。點到即止，大家可以試下用這個來推一推上面的那些等價公式?！?〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃還有一個十分重要的等價公式，我們可以推一推：根據(jù)真值表可得（PtQ）=（「PVQ）由雙重否定律、交換律得再根據(jù)真值表得V（-.P））=（（「Q）T（「P））綜上得（pTQ）=（（-?Q）T（「P））這就是所謂的逆否命題跟原命題等價了。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃2、邏輯推理我們做證明題就是一個推理過程。我們怎么把這個過程抽象出來，再為己所用呢。例1、如果我是人，那么我會死因為我是人所以我會死這是自然語句給出的三個命題，有前提，有結(jié)論，表示了一種推理關(guān)系。引入符號P表示我是人，Q表示我會死，便可以將這推理關(guān)系表示為：((PtQ)/\P)=Q上面就是一個推理公式。一些推理公式：PAQ=>PP=P7Q-1P=PtQ④Q=PtQ⑤((PtQ)ap)=Q?(PTQ)八(QTR)今(PTR)我們一般用①②求一道題目的充分或者必要條件，縮小計算范圍。⑤我們稱為假言推理，是最常用的推理公式(例1),我們做證明題的時候就是反反更好用這條公式而己(好好體會下)。然后⑥就是著名的三段論：大前提，小前提，結(jié)論。〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃//〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃/〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃以上暫時沒有引入量詞，我們稱之為命題邏輯，我們已將其公理化，公理的內(nèi)容這里就不提了，無非就是將前面一些重要內(nèi)容，基本的內(nèi)容挑出來罷了。不過，有些數(shù)學(xué)家不承認(rèn)一些公式，就有后來一些非標(biāo)準(zhǔn)邏輯了，故事我也不知道多少，這里我也不提了。大家有興趣自己查一下。/〃/〃/〃/〃//〃/〃////〃//〃/〃/////〃/〃/////〃/〃/////〃/〃/〃/////〃/〃/////〃/〃/〃/////〃/〃/////〃/〃/////〃/〃/〃//////////〃/〃/////〃/〃/〃//〃4、謂詞(為了方便起見，后面用小寫字母表示命題，大寫字母表示謂詞)沒有量詞的命題邏輯表達能力實在是太低，所以我們要引入量詞。引入量詞之前，我們還得先引入“謂詞:例：beauty是學(xué)籍駱飛是學(xué)新在命題邏輯里面，這兩個是不同的命題，只能用不同的符號p,q來表示了。但分析一下這兩個命題的異同點，他們都有主詞和謂詞，不同的是主詞“beauty”“駱飛”，而謂詞“是學(xué)新”是相同的。若以P表示“是學(xué)籍”，那么這兩個命題就可以表示為：P(beauty)P(駱飛)這樣就可以明晰地表示這兩個命題的異同點了。我們還可以引入變版來表示主詞，于是符號P(x)就表示“工是學(xué)籍”。通常把P(x)稱作謂詞。(謂詞不是命題，但是推理性質(zhì)跟命題一樣)其實謂詞就是一個性質(zhì)當(dāng)然，還有多個變量的謂詞，就不提了。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃5、量詞量詞常用的有兩個：V(全稱量詞：恒成立)、3(特稱量詞：存在)〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃//〃〃/〃〃〃/〃/〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃/〃〃//量詞和謂詞共同使用才能構(gòu)成一個命題：①(Vx)P(x)：所有的x都滿足性質(zhì)P②存在x滿足性質(zhì)P一一用量詞對謂詞中變量進行約束。不過使用量詞之前，先要默認(rèn)"的取值范圍，這個范圍我們稱之為論域，在不同的問題中，我們會用不同的論域?！?〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃例1：有的實數(shù)是有理數(shù)換句話說：有些東西，它是實數(shù)也是有理數(shù)注意不是：有些東西，如果它是實數(shù)，那么它是有理數(shù)形式化：0x)(“是實數(shù)八”是有理數(shù))不是0x)(%是實數(shù)tx是有理數(shù))這個命題一般來說成立的(在這種情況默認(rèn)論域是所有實數(shù))，不過我們也可以取一些奇葩的論域，這個命題就不一定成立了：｛巴汗,桌子,beauty｝?！?/〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃//〃/〃〃〃〃//〃/〃/〃//〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃//〃〃/〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃一般跟V搭配的是所以一般恒成立問題的形式為：”x)(P(x)tQ(x))(女)(P(x)八Q。))長這樣的幾乎沒什么意義的，在一般的論域中(萬物)，這樣的命題通常都是假的。一般跟三搭配的是A,所以一般存在性問題的形式為：0x)(P(x)八Q(x))Gx)(P(x)tQ(x))長這樣的也是幾乎沒什么意義的，在一般的論域中(萬物)，這樣的命題通常都是真的?！?〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃還有，我們一般采取縮記法：(V%)(XE/tP(x))我們記為(Vxe/)P(x)0X)&e4-P(%))我們記為oea)PM這些縮記大大縮短了很多命題的長度，也減少了一環(huán)套一環(huán)的括號，有益的化簡總是好的。

〃/〃//〃/〃/〃/〃///〃〃/〃//〃〃〃〃/〃〃/〃〃/〃//〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/〃〃〃〃//〃/〃〃〃〃/〃〃/〃/〃///〃〃〃〃//〃除了這兩個量詞，在這里我還拓展一個量詞：衛(wèi)一量詞：唯一存在(有且僅有))這樣定義：(衛(wèi)x)P(x)=(3%)(P(x)A(Vy(P(y)-?x=y)))不說了。/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃〃〃〃/〃//〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃/〃//〃/〃//〃/〃/〃/〃〃〃〃/〃/〃/〃/〃//〃/〃/〃//〃6、謂詞邏輯的推理演6、謂詞邏輯的推理演謂詞邏輯的推理演算規(guī)則大體上與命題邏輯相似，只需要加上幾條就可以了:①否定式：尸以)尸⑺=皿)了？1-.皿)尸(乃=(以)(中。))②量詞的分配律氣1(3%)(P(x)V(2(%))=Gx)P(x)VGx)Q(x)③量詞的分配律2：(Vx)(Pa)Tp)=(Vx)P(x)Tp(這個太多，只舉一個例子，意思就是，沒有被約束的命題可以被提出來)④｛湍篇:然湍:潞)⑤VxP(x)=>P(%o)=>3x0P(30)其中最重要的是①和⑤。這些公式仔細(xì)看一遍大概都能理解。①可以這樣理解：“不存在”等價于“所有都不”；“不是所有”等價于“有的不是，①給出了全稱量詞和特稱量詞相互之間的關(guān)系⑤可以這樣理解：特殊值成立是恒成立的必要條件，是存在的充分條件理解起來大概就是：我恒成立了，我當(dāng)然對其中一個成立咯；我都找到一個符合條件的了，就肯定是存在的了。(所以說，恒成立是最強的命題，而存在是最弱的命題)〃//〃〃〃〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃/〃//〃〃/〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃〃〃前面我們提到了縮記法，縮記法不僅僅減少式子的好雜度，事實上還能減少我們對式子的運算難度。比如說：①命題1：所有的XE/都滿足P(x)這個命題寫為：(▼%)("€/tP(x))縮記為：這時我們求它的否命題:否定律得：-.(V%)(xE/-P(%))=(3%)-.(-iXE/VP(x))德摩根律得：(^(xe^AiPC%))可縮記為：GxEMiPG)也就是有(重要公式)：->(VxeA)P(x)=eA)-1P(x)采用縮記法的話，命題的否定形式更為直觀，更加符合自然語言的用法:“不是所有的“64都滿足P(x)”與“存在x6A不滿足P(x)”等價。②同樣有：->(3xeA)p(x)(VxeA)-.PM也就是：“不存在xr滿足P(x)”等價于“所有的xr都不滿足p(x)”不過唯一量詞沒有這樣的性質(zhì)，大家可以自己算一下。〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃//〃〃〃7、邏輯與集合的關(guān)系(這里只提樸素集合論)為了研究的方便，數(shù)學(xué)家引入了“集合”的概念，使得邏輯更加直觀，簡練。(具體有什么好處我就不說了)什么是集合呢？簡單地說，就是一個“袋子”，這個袋子有兩重含義：①滿足某個性質(zhì)的所有物體都被扔進了這個袋子里②這個袋子里的所有物體都滿足同一個性質(zhì)事實上，集合就是代替了一個謂詞的作用，比如一個集合4={x|P(x)}的內(nèi)在含義便是：Vx(xEA^P(x))(注意要有論域，不然就會出現(xiàn)悖論)我們可以根據(jù)性質(zhì)去構(gòu)造一個集合，當(dāng)然也可以直接把集合的元素列舉出來，這是集合的表示法，翻開必修一，有更詳細(xì)的說明?！?〃〃〃/〃/〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃(事實上有了集合的概念，邏輯的表達能力上升了一個等級，比如我要一個自然數(shù)的集合，我們可以這樣去定義：N={n|n=0V(Bm6N)(n=m+1)}這個集合是由遞歸的方法去定義的：由oeN,得到1eN由1eN,得至1J2eN而這樣的定義直接用謂詞是不行的。)〃/〃〃〃/〃/〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃〃/〃/〃〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃/〃〃〃//〃〃//〃//〃〃〃〃//〃〃/〃〃〃//〃〃/〃〃/〃/〃/〃〃〃//〃〃〃我們?nèi)ダ斫膺壿嫷臅r候，我們就可以直接用集合去思考了。前面對邏輯的演算，我們已經(jīng)是用過集合的思維了(韋恩圖)，所以我們不再說明。值得再一提的是“=”和“U”的關(guān)系先來看兩個命題：①(