八年級(jí)一次函數(shù)分段函數(shù)經(jīng)典講解

..認(rèn)清分段函數(shù),解決收費(fèi)問題k1x+b1x≤a1y=k2x+b2a1≤x≤a2①的函數(shù)解析式,則稱該函數(shù)解析式為X的分段函數(shù)。K3x+b3a2≤x≤a3應(yīng)該指出:<一>,函數(shù)解析式①這個(gè)整體只是一個(gè)函數(shù),并非是Y=K1X+b1Y=K2X+b2函數(shù)的簡(jiǎn)單組合,而k1x+b1,k2x+b2函數(shù)YY=｛這個(gè)整體只是一個(gè)函數(shù),不能認(rèn)為它是兩個(gè)不同的函函數(shù)Y在X的某個(gè)范圍內(nèi)的特殊函數(shù),如正比例函數(shù)和常數(shù)函數(shù)。<三>,由于問題的不同,當(dāng)然分段函數(shù)也可能在自變量某范圍內(nèi)不是一次函數(shù)而是其他形式的函數(shù),在這里我們不予討論。<四>,一次函數(shù)的分段函數(shù)是簡(jiǎn)單的分段函數(shù)。分段函數(shù)應(yīng)用題分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi),其關(guān)系式〔或圖象也不同的函數(shù),分段函數(shù)的應(yīng)用題多設(shè)計(jì)成兩種情況以上,解答時(shí)需分段討論。在現(xiàn)實(shí)生活中存在著很多需分段計(jì)費(fèi)的實(shí)際問題,因此,分段計(jì)算的應(yīng)用題成了近幾年中考應(yīng)用題的一種重要題型。收費(fèi)問題與我們的生活息息相關(guān),如水費(fèi)問題、電費(fèi)問題、話費(fèi)問題等,這些收費(fèi)問題往往根據(jù)不同的用量,采用不同的收費(fèi)方式.以收費(fèi)為題材的數(shù)學(xué)問題多以分段函數(shù)的形式出現(xiàn)在中考試題中,下面請(qǐng)看幾例.一、話費(fèi)中的分段函數(shù)例1〔XXXX某移動(dòng)公司采用分段計(jì)費(fèi)的方法來計(jì)算話費(fèi),月通話時(shí)間〔分鐘與相應(yīng)話費(fèi)〔元之間的函數(shù)圖象如圖1所示：〔１月通話為100分鐘時(shí),應(yīng)交話費(fèi)元；〔２當(dāng)x100時(shí),求與之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3月通話為280分鐘時(shí),應(yīng)交話費(fèi)多少元？圖1分析：本題是一道和話費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問題,通過圖象可觀察到,在0到100分鐘之間月話費(fèi)y<元>是月通話時(shí)間x<分鐘>的正比例函數(shù),當(dāng)x100時(shí),月話費(fèi)y<元>是月通話時(shí)間x<分鐘>的一次函數(shù).解：〔1觀察圖象可知月通話為100分鐘時(shí),應(yīng)交話費(fèi)40元；〔2設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b由圖上知：x=100時(shí),y=40；x=200時(shí),時(shí),y=60則有,解之得所求函數(shù)關(guān)系式為..〔3把x=280代入關(guān)系式,得即月通話為280分鐘時(shí),應(yīng)交話費(fèi)76元．二、水費(fèi)中的分段函數(shù)例2〔XX某自來水公司為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,采取了按月用水量分段收費(fèi)辦法,某戶居民應(yīng)交水費(fèi)y<元>與用水量x<噸>的函數(shù)關(guān)系如圖2.分別寫出當(dāng)0x15和x15時(shí),y與x的函數(shù)關(guān)系式;<2>若某戶該月用水21噸,則應(yīng)交水費(fèi)多少元?分析:本題是一道與收水費(fèi)有關(guān)的分段函數(shù)問題.觀察圖象可知,0x15時(shí)y是x的正比例函數(shù);x≥15時(shí),y是x的一次函數(shù).解:<1>當(dāng)0x15時(shí),設(shè)y=kx,把x=15,y=27代入,得27=15k,所以k=,所以y=x;當(dāng)x15時(shí),設(shè)y=ax+b,將x=15,y=27和x=20,y=39.5代入,得解得a=2.5,b=-10.5所以y=2.5x-10.5圖2當(dāng)該用戶該月用21噸水時(shí),三、電費(fèi)中分段函數(shù)例3<XX>今年以來,XX大部分地區(qū)的電力緊缺,電力公司為鼓勵(lì)市民節(jié)約用電,采取按月用電量分段收費(fèi)辦法,若某戶居民每月應(yīng)交電費(fèi)y〔元與用電量x〔度的函數(shù)圖象是一條折線〔如圖3所示,根據(jù)圖象解下列問題：〔1分別寫出當(dāng)0x100和x100時(shí),y與x的函數(shù)關(guān)系式；〔2利用函數(shù)關(guān)系式,說明電力公司采取的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)；〔3若該用戶某月用電62度,則應(yīng)繳費(fèi)多少元？若該用戶某月繳費(fèi)105元時(shí),則該用戶該月用了多少度電？圖3分析:從函數(shù)圖象上看圖象分為兩段,當(dāng)0x100時(shí),電費(fèi)y是電量x的正比例函數(shù),當(dāng)x100時(shí),y是x的一次函數(shù),且函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)<100,65>和<130,89>,設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可確定函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可解決問題.解:<1>設(shè)當(dāng)0x100時(shí),函數(shù)關(guān)系式為y=kx,將x=100,y=65代入,得k=0.65,所以y=0.65x;設(shè)當(dāng)x100時(shí),函數(shù)關(guān)系式為y=ax+b,將x=100,y=65和x=130,y=89代入,得解得a=0.8,b=-15.所以y=0.8x-15綜上可得<2>用戶月用電量在0度到100度之間時(shí),每度電的收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是0.65元;超出100度時(shí),每度電的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是0.80元.<3>用戶月用電62度時(shí),用戶應(yīng)繳費(fèi)40.3元,若用戶月繳費(fèi)105元時(shí),該戶該月用了150度電.談?wù)勚锌贾械姆侄魏瘮?shù)分段函數(shù),是近幾年中考數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的題型。它是考查分類思想,讀取、搜集、處理圖像信息等綜合能力的綜合題。這些分段函數(shù)都是直線型。通常是正比例函數(shù)的圖像和一次函數(shù)的圖像構(gòu)成。下面我們歸納分析如下,供學(xué)習(xí)時(shí)參考。1、二段型分段函數(shù)1.1正比例函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)解答這類分段函數(shù)問題的關(guān)鍵,就是分別確定好正比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式。例1某家庭裝修房屋,由甲、乙兩個(gè)裝修公司合作完成,選由甲裝修公司單獨(dú)裝修3天,剩下的工作由甲、乙兩個(gè)裝修公司合作完成．工程進(jìn)度滿足如圖1所示的函數(shù)關(guān)系,該家庭共支付工資8000元．〔1完成此房屋裝修共需多少天？〔2若按完成工作量的多少支付工資,甲裝修公司應(yīng)得多少元？解析：設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=k1x,因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)〔3,,所以,=k1×3,所以k1=,所以y=x,0＜x＜3設(shè)一次函數(shù)的解析式〔合作部分是y=k2x+b,〔是常數(shù)因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)〔3,,〔5,,所以,由待定系數(shù)法得：,解得：．一次函數(shù)的表達(dá)式為,所以,當(dāng)時(shí),,解得完成此房屋裝修共需9天。方法2解：由正比例函數(shù)解析式可知：甲的效率是,乙工作的效率：乙合作的天數(shù)：〔天甲先工作了3天,完成此房屋裝修共需9天〔2由正比例函數(shù)的解析式：y=x,可知：甲的工作效率是,所以,甲9天完成的工作量是：,甲得到的工資是：〔元評(píng)析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的意義是表示他們的工作效率。例2、一名考生步行前往考場(chǎng),10分鐘走了總路程的,估計(jì)步行不能準(zhǔn)時(shí)到達(dá),于是他改乘出租車趕往考場(chǎng),他的行程與時(shí)間關(guān)系如圖2所示〔假定總路程為1,則他到達(dá)考場(chǎng)所花的時(shí)間比一直步行提前了〔A．20分鐘Ｂ．22分鐘Ｃ．24分鐘D．26分鐘解析：步行前往考場(chǎng),是滿足正比例函數(shù)關(guān)系,設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=k1x,因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)〔10,,所以,=k1×10,所以k1=,所以y=x,0＜x＜10由正比例函數(shù)解析式可知：甲的效率是,所以,步行前往考場(chǎng)需要的時(shí)間是：1÷=40〔分鐘,乘出租車趕往考場(chǎng),是滿足一次函數(shù)關(guān)系,所以,設(shè)一次函數(shù)的解析式是y=k2x+b,〔是常數(shù),因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)〔10,,〔12,,所以,由待定系數(shù)法得：,解得：解得：,一次函數(shù)的表達(dá)式為：,所以,乘出租車趕往考場(chǎng)用的時(shí)間是：x=÷,解得：x=6分鐘,所以,先步行前往考場(chǎng),后乘出租車趕往考場(chǎng)共用時(shí)間為：10+6=16分鐘,所以,他到達(dá)考場(chǎng)所花的時(shí)間比一直步行提前了：40-16=24〔分鐘,故選C。評(píng)析：在這里未知數(shù)的系數(shù)的意義是表示他們的行使速度。例3、某公司專銷產(chǎn)品A,第一批產(chǎn)品A上市40天內(nèi)全部售完．該公司對(duì)第一批產(chǎn)品A上市后的市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如圖所示,其中圖<3>中的折線表示的是市場(chǎng)日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系；圖<4>中的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系．〔1試寫出第一批產(chǎn)品A的市場(chǎng)日銷售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系式；〔2第一批產(chǎn)品A上市后,哪一天這家公司市場(chǎng)日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少萬元？解析：<1>由圖3可得,當(dāng)0≤t≤30時(shí),市場(chǎng)日銷售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系是正比例函數(shù),所以設(shè)市場(chǎng)的日銷售量：y=kt,∵點(diǎn)〔30,60在圖象上,∴60=30k．∴k=2．即y=2t,當(dāng)30≤t≤40時(shí),市場(chǎng)日銷售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系是一次函數(shù)關(guān)系,所以設(shè)市場(chǎng)的日銷售量：y=k1t+b,因?yàn)辄c(diǎn)〔30,60和〔40,0在圖象上,所以,解得k1=－6,b=240．∴y=－6t+240．綜上可知,當(dāng)0≤t≤30時(shí),市場(chǎng)的日銷售量：y=2t,當(dāng)30≤t≤40時(shí),市場(chǎng)的日銷售量：y=-6t+240。<2>由圖4可得,當(dāng)0≤t≤20時(shí),市場(chǎng)銷售利潤(rùn)w與上市時(shí)間t的關(guān)系是正比例函數(shù),所以設(shè)市場(chǎng)的日銷售量：w=kt,∵點(diǎn)〔20,60在圖象上,∴60=20k．∴k=3．即w=3t,當(dāng)20≤t≤40時(shí),市場(chǎng)銷售利潤(rùn)w與上市時(shí)間t的關(guān)系是常數(shù)函數(shù),所以,w=60,∴當(dāng)0≤t≤20時(shí),產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)：m=3t×2t=6t2；∵k=6＞0,所以,m隨t的增大而增大,∴當(dāng)t=20時(shí),產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)m最大值為：2400萬元。當(dāng)20≤t≤30時(shí),產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)：m=60×2t=120t,∵k=120＞0,所以,m隨t的增大而增大,∴當(dāng)t=30時(shí),產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)m最大值為：3600萬元；當(dāng)30≤t≤40時(shí),產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)：m＝60×<-6t+240>=-360t+14400；∵k=-360＜0,所以,m隨t的增大而減小,∴當(dāng)t＝30時(shí),產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)mm最大值為：3600萬元,綜上可知,當(dāng)t＝30天時(shí),這家公司市場(chǎng)的日銷售利潤(rùn)最大為3600萬元．評(píng)析：本題不僅考查同學(xué)們對(duì)分段函數(shù)意義的理解,而且同時(shí)還考查了同學(xué)們對(duì)分類思想的掌握情況,和對(duì)一次函數(shù)性質(zhì)的理解和應(yīng)用。1.2一次函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)例4、為了鼓勵(lì)小強(qiáng)做家務(wù),小強(qiáng)每月的費(fèi)用都是根據(jù)上月他的家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間所得獎(jiǎng)勵(lì)加上基本生活費(fèi)從父母那里獲取的．若設(shè)小強(qiáng)每月的家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間為x小時(shí),該月可得〔即下月他可獲得的總費(fèi)用為y元,則y〔元和x〔小時(shí)之間的函數(shù)圖像如圖5所示．〔1根據(jù)圖像,請(qǐng)你寫出小強(qiáng)每月的基本生活費(fèi)；父母是如何獎(jiǎng)勵(lì)小強(qiáng)家務(wù)勞動(dòng)的？〔2若小強(qiáng)5月份希望有250元費(fèi)用,則小強(qiáng)4月份需做家務(wù)多少時(shí)間？解：〔1從圖象上可知道,小強(qiáng)父母給小強(qiáng)的每月基本生活費(fèi)為150元；當(dāng)0≤x≤20時(shí),y〔元是x〔小時(shí)的一次函數(shù),不妨設(shè)y=k1x+150,同時(shí),圖象過點(diǎn)〔20,200,所以,200=k1×20+150,解得：k1=2.5,所以,y=2.5x+150,當(dāng)20＜x時(shí),y〔元是x〔小時(shí)的一次函數(shù),不妨設(shè)y=k2x+b,同時(shí),圖象過點(diǎn)〔20,200,〔30,240,所以,,解得：k2=4,b=120,所以,y=4x+120,所以,如果小強(qiáng)每月家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間不超過20小時(shí),每小時(shí)獲獎(jiǎng)勵(lì)2.5元；如果小強(qiáng)每月家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間超過20小時(shí),那么20小時(shí)按每小時(shí)2.5元獎(jiǎng)勵(lì),超過部分按每小時(shí)4元獎(jiǎng)勵(lì)〔2從圖象上可知道,小強(qiáng)工作20小時(shí)最多收入為200元,而5月份得到的費(fèi)用為250元,大于200元,所以說明4月小強(qiáng)的工作時(shí)間一定超過20小時(shí),所以應(yīng)選擇分段函數(shù)中當(dāng)20＜x時(shí)的一段,所以,由題意得,,解得：x=32.5答：當(dāng)小強(qiáng)4月份家務(wù)勞動(dòng)32.5小時(shí),5月份得到的費(fèi)用為250元．評(píng)析：本題不僅考查同學(xué)們對(duì)分段函數(shù)意義的理解,而且同時(shí)還考查了同學(xué)們對(duì)分類思想的掌握情況,和對(duì)分段函數(shù)的選擇能力。1.3常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù)例5、有甲、乙兩家通迅公司,甲公司每月通話的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如圖6所示；乙公司每月通話收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表1所示．〔1觀察圖6,甲公司用戶月通話時(shí)間不超過100分鐘時(shí)應(yīng)付話費(fèi)金額是元；甲公司用戶通話100分鐘以后,每分鐘的通話費(fèi)為元；〔2李女士買了一部手機(jī),如果她的月通話時(shí)間不超過100分鐘,她選擇哪家通迅公司更合算？如果她的月通話時(shí)間超過100分鐘,又將如何選擇？解析：1從圖6,可以看出,這是常數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)構(gòu)成的分段函數(shù),當(dāng)0≤t≤100時(shí),話費(fèi)金額y=20；當(dāng)t＞100時(shí),話費(fèi)金額y是通話時(shí)間t的一次函數(shù),不妨設(shè)y=kt+b,且函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)〔100,20和〔200,40,所以,,解得：k=0.2,b=0,所以,y=0.2t,所以,甲公司用戶月通話時(shí)間不超過100分鐘時(shí)應(yīng)付話費(fèi)金額是20元；當(dāng)甲公司用戶通話100分鐘以后,每分鐘的通話費(fèi)為0.2元；2>仔細(xì)觀察表1,可以知道乙公司每月通話收費(fèi)y=0.15t+2.5,當(dāng)0≤t≤100時(shí),甲公司的話費(fèi)金額y=20；乙公司通話收費(fèi)y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,所以,李女士如果月通話時(shí)間不超過100分鐘,她選擇乙通迅公司更合算；因?yàn)?0.15t+2.5=0.2t,所以,t=500,所以,當(dāng)通話時(shí)間t=500分鐘時(shí),選擇甲、乙兩家公司哪一家都可以；因?yàn)?0.15t+2.5＞0.2t,所以,t＜500,所以,當(dāng)通話時(shí)間100＜t＜500分鐘時(shí),選擇甲公司；因?yàn)?0.15t+2.5＜0.2t,所以,t＞500,所以,當(dāng)通話時(shí)間t＞500分鐘時(shí),選擇乙公司；2、三段型分段函數(shù)例6如圖7,矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,M是CD的中點(diǎn),點(diǎn)P在矩形的邊上沿A→B→C→M運(yùn)動(dòng),則△APM的面積y與點(diǎn)P經(jīng)過的路程x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是下圖中的〔解析：1、當(dāng)0≤x≤1,y=×x×2=x；如圖8所示；2、當(dāng)1＜x≤3,y=1×2-××2-×〔x-1×1-××〔3-x=；如圖9所示；3當(dāng)3＜x≤3.5,y=×〔-x×2=-x；如圖10所示；所以C、D兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的,又因?yàn)楹瘮?shù)y=中的k=-＜0,所以直線整體應(yīng)該是分布在二、一、四象限,所以選項(xiàng)B也是錯(cuò)誤的,所以選A。評(píng)析：對(duì)于運(yùn)動(dòng)型問題,關(guān)鍵是根據(jù)題意借助分類的思想用變量x分別出圖形的面積。在表示面積時(shí),要注意整體思想的運(yùn)用。3、四段型分段函數(shù)例7、星期天,小強(qiáng)騎自行車到郊外與同學(xué)一起游玩,從家出發(fā)2小時(shí)到達(dá)目的地,游玩3小時(shí)后按原路以原速返回,小強(qiáng)離家4小時(shí)40分鐘后,媽媽駕車沿相同路線迎接小強(qiáng),如圖11,是他們離家的路程y<千米>與時(shí)間x<時(shí)>的函數(shù)圖像。已知小強(qiáng)騎車的速度為15千米/時(shí),媽媽駕車的速度為60千米/時(shí)。<1>小強(qiáng)家與游玩地的距離是多少？<2>媽媽出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間與小強(qiáng)相遇？解析：1當(dāng)0≤x≤2,路程y<千米>是時(shí)間x<時(shí)>的正比例函數(shù),且k=15,所以y=15x；所以,當(dāng)x=2時(shí),y=2×15=30,所以,小強(qiáng)家與游玩地的距離是30千米。2當(dāng)2＜x≤5,路程y<千米>