燕山大學(xué)振動(dòng)理論習(xí)題答案

..第二章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2-1如圖2-1所示,重物懸掛在剛度為k的彈簧上并處于靜止平衡位置,另一重物從高度為h處自由下落到上且無彈跳。試求下降的最大距離和兩物體碰撞后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。xxxx0x1x12平衡位置解：, 動(dòng)量守恒：, 平衡位置：,, 故： 故：2-2一均質(zhì)等直桿,長(zhǎng)為l,重量為w,用兩根長(zhǎng)h的相同的鉛垂線懸掛成水平位置,如圖2-2所示。試寫出此桿繞通過重心的鉛垂軸做微擺動(dòng)的振動(dòng)微分方程,并求出振動(dòng)固有周期。解：給桿一個(gè)微轉(zhuǎn)角＝h2F＝mg由動(dòng)量矩定理：其中2-3一半圓薄壁筒,平均半徑為R,置于粗糙平面上做微幅擺動(dòng),如圖2-3所示。試求其擺動(dòng)的固有頻率。圖2-3圖2-42-4如圖2-4所示,一質(zhì)量m連接在一剛性桿上,桿的質(zhì)量忽略不計(jì),試求下列情況系統(tǒng)作垂直振動(dòng)的固有頻率：〔1振動(dòng)過程中桿被約束保持水平位置；〔2桿可以在鉛垂平面內(nèi)微幅轉(zhuǎn)動(dòng)；〔3比較上述兩種情況中哪種的固有頻率較高,并說明理由。k2k2k1ml1l2mgl1l2x1x2x 圖T2-9 答案圖T2-9解： 〔1保持水平位置： 〔2微幅轉(zhuǎn)動(dòng)： 故：2-5試求圖2-5所示系統(tǒng)中均質(zhì)剛性桿AB在A點(diǎn)的等效質(zhì)量。已知桿的質(zhì)量為m,A端彈簧的剛度為k。并問鉸鏈支座C放在何處時(shí)使系統(tǒng)的固有頻率最高？圖2-5圖2-62-6在圖2-6所示的系統(tǒng)中,四個(gè)彈簧均未受力。已知m=50kg,,,。試問：〔1若將支撐緩慢撤去,質(zhì)量塊將下落多少距離？〔2若將支撐突然撤去,質(zhì)量塊又將下落多少距離？｛2.17｝圖T2-17所示的系統(tǒng)中,四個(gè)彈簧均未受力,k1=k2=k3=k4=k,試問： 〔1若將支承緩慢撤去,質(zhì)量塊將下落多少距離？ 〔2若將支承突然撤去,質(zhì)量塊又將下落多少距離？kk1k2k3k4m圖T2-17解：〔1,〔2,2-7圖2-7所示系統(tǒng),質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓盤在水平面上作無滑動(dòng)的滾動(dòng),鼓輪繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,忽略繩子的彈性、質(zhì)量及各軸承間的摩擦力。試求此系統(tǒng)的固有頻率。圖2-7解：系統(tǒng)動(dòng)能為：系統(tǒng)動(dòng)能為：根據(jù)： ,2-8如圖2-8所示的系統(tǒng)中,鋼桿質(zhì)量不計(jì),建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,并求臨界阻尼系數(shù)及阻尼固有頻率。圖2-8aabl解：,由2-9圖2-9所示的系統(tǒng)中,m＝1kg,k＝224N/m,c＝48N.s/m,l1＝l＝0.49m,l2＝l/2,l3＝l/4,不計(jì)鋼桿質(zhì)量。試求系統(tǒng)的無阻尼固有頻率及阻尼。圖2-9｛2.26｝圖T2-26所示的系統(tǒng)中,m=1kg,k=144N/m,c=48N?s/m,l1=l=0.49m,l2=0.5l,l3=0.25l,不計(jì)剛桿質(zhì)量,求無阻尼固有頻率及阻尼。l1l1mkcl2l3mO圖T2-26 答案圖T2-25解：受力如答案圖T2-26。對(duì)O點(diǎn)取力矩平衡,有：第三章單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)3-1如圖3-1所示彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中,兩個(gè)彈簧的連接處有一激振力。試求質(zhì)量塊的振幅。圖3-1解：設(shè)彈簧1,2的伸長(zhǎng)分別為x1和x2,則有,〔A由圖〔1和圖〔2的受力分析,得到〔B〔C聯(lián)立解得,所以,n=0,得,mgmgBP0sintAXAYAFCFK圖3-23-2圖3-2所示系統(tǒng)中,剛性桿AB的質(zhì)量忽略不計(jì),B端作用有激振力,寫出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程,并求下列情況中質(zhì)量m作上下振動(dòng)的振幅值：〔1系統(tǒng)發(fā)生共振；〔2等于固有頻率的一半。解：圖〔1為系統(tǒng)的靜平衡位置,以為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo),畫受力如圖〔2又I＝ml2則1系統(tǒng)共振,即23-3建立圖3-3所示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,并求出系統(tǒng)的固有頻率,阻尼比以及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振幅。圖3-3解：以剛桿轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo),由系統(tǒng)的動(dòng)量矩定理即令,,,,,得到3-4一機(jī)器質(zhì)量為450kg,支撐在彈簧隔振器上,彈簧靜變形為0.5cm,機(jī)器有一偏心重,產(chǎn)生偏心激振力,其中是激振頻率,g是重力加速度。試求：〔1在機(jī)器轉(zhuǎn)速為1200r/min時(shí)傳入地基的力；〔2機(jī)器的振幅。解：設(shè)系統(tǒng)在平衡位置有位移,則即又有則〔1所以機(jī)器的振幅為〔2且,〔3又有〔4將〔1〔2〔4代入〔2得機(jī)器的振幅=0.584mm則傳入地基的力為2-9一個(gè)粘性阻尼系統(tǒng)在激振力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)力為,已知N,B=5cm,rad/s,求最初1秒及1/4秒內(nèi),激振力作的功及。3-5證明：粘滯阻尼利在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)消耗的能量可表示為證明3-6單自由度無阻尼系統(tǒng)受圖3-6所示的外力作用,已知。試求系統(tǒng)的響應(yīng)。圖3-6解：由圖得激振力方程為當(dāng)0<t<t1時(shí),,則有由于,所以有當(dāng)t1<t<t2時(shí),,則有當(dāng)t<t2時(shí),,則有+0圖3-73-7試求在零初始條件下的單自由度無阻尼系統(tǒng)對(duì)圖3-7所示激振力的響應(yīng)。解：由圖得激振力方程為當(dāng)0<t<t1時(shí),,則有當(dāng)t<t1時(shí),,則有3-8圖3-8為一車輛的力學(xué)模型,已知車輛的質(zhì)量m、懸掛彈簧的剛度k以及車輛的水平行駛速度v。道路前方有一隆起的曲形地面：〔1試求車輛通過曲形地面時(shí)的振動(dòng)；〔2試求車輛通過曲形地面以后的振動(dòng)。圖3-8解：由牛頓定律,可得系統(tǒng)的微分方程為,由曲形地面∶,得到得到系統(tǒng)的激振力為,?！?車通過曲形地面時(shí)的振動(dòng)為〔2車通過曲形地面后的振動(dòng)車通過曲形地面后以初位移和初速度作自由振動(dòng),即,由公式,得到車通過曲形地面后的振動(dòng)響應(yīng)為其中,,?；蚍e分為3-9圖3-9是一輕型飛機(jī)起落架著陸沖撞的簡(jiǎn)單力學(xué)模型。試求彈簧從接觸地面至反跳脫離接觸的時(shí)間。3-10圖3-10所示的箱子從高h(yuǎn)處自由下落,箱體內(nèi)有足夠的間隙允許質(zhì)量m運(yùn)動(dòng),并且箱體質(zhì)量遠(yuǎn)大于m。若箱子觸地后不再跳起,試求：〔1箱子下落過程中質(zhì)量塊相對(duì)于箱體的運(yùn)動(dòng)；〔2箱子落地后傳到質(zhì)量塊上的最大作用力。圖3-9圖3-10第四章多單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)4-1圖4-1所示系統(tǒng)中,各個(gè)質(zhì)量只能沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng),假設(shè),。試求系統(tǒng)的固有頻率及振型矩陣圖4-1解：如圖選擇廣義坐標(biāo)。求質(zhì)量矩陣及利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣為,由頻率方程,得解出頻率為,,由特征矩陣的伴隨矩陣的第一列,將代入得系統(tǒng)的第一階主振型為滿足如下關(guān)系：,展開以上二式得,。取,,可得到。即有滿足如下關(guān)系：,展開以上二式得,,,聯(lián)立得。取,,可得到。即得主振型矩陣為圖4-24-2試計(jì)算圖4-2所示系統(tǒng)對(duì)初始條件和的響應(yīng)。解：在習(xí)題4-6中已求得系統(tǒng)的主振型矩陣和質(zhì)量矩陣分別為主質(zhì)量振型為正則振型的第i列為,由此得到正則振型振型為正則坐標(biāo)初始條件為=0,=正則坐標(biāo)的響應(yīng)為,,,其中頻率為。最終得到響應(yīng),由,展開得到解：從6—6中可得主頻率和主振型矩陣為,由質(zhì)量矩陣,可求出主質(zhì)量矩陣則正則振刑矩陣為于是于是得所以響應(yīng)為,即,其中,.4-3試確定題4-2的系統(tǒng)對(duì)作用于質(zhì)量m1和質(zhì)量m4上的階躍力的響應(yīng)。4-4如圖4-4所示,已知機(jī)器質(zhì)量為,吸振器質(zhì)量為,若機(jī)器上有一偏心質(zhì)量,偏心距e=1cm,機(jī)器轉(zhuǎn)速n=1800r/m。試問：〔1吸振器的彈簧剛度k2多大,才能使機(jī)器振幅為零？〔2此時(shí)吸振器的振幅B2為多大？〔3若使吸振器的振幅B2不超過2mm,應(yīng)如何改變吸振器的參數(shù)？圖4-4第六章彈性體系統(tǒng)的振動(dòng)6.1一等直桿沿縱向以速度v向右運(yùn)動(dòng),求下列情況中桿的自由振動(dòng)：〔1桿的左端突然固定；〔2桿的右端突然固定；〔3桿的中點(diǎn)突然固定。圖6-1解；<1>桿的左端突然固定；桿的初始條件為：有題可知得,所以有：進(jìn)而有：%全部改成：圖6-26-2圖6-2所示一端固定一端自由的等直桿,〔1若受到均勻分布力的作用,試求分布力突然移去時(shí)桿的自由振動(dòng)響應(yīng)；〔2若桿上作用的軸向均勻分布干擾力為,試求桿的穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)。解：t-=0時(shí)的應(yīng)變?yōu)闂U的初始條件為一端自由一端固定,可知桿的因有頻率和主振型為將主振型代入上式歸一化為以正則坐標(biāo)表示初始條件為以正則坐標(biāo)表示對(duì)初始條件的響應(yīng)為于是桿的自由振動(dòng)為桿左端固定端,右端為自由端邊界條件得固有頻率,主振型i=1,2,……桿在x處的應(yīng)變初始條件由得再利用三角函數(shù)正交性得<2>解：因?yàn)闂U是一端固定,可得固有頻率和主振型為將主振型代入歸一化條件,得得到正則振型又第i個(gè)正則方程為所以可得正則坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為桿的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振動(dòng)為其中