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《棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積》同步作業(yè)一、選擇題1.正方體的表面積為96,則正方體的體積為()A.48eq\r(6)B.64C.16 D.96[答案]B2.已知正六棱柱的高為6,底面邊長為4,則它的表面積為()A.48(3+eq\r(3))B.48(3+2eq\r(3))C.24(eq\r(6)+eq\r(2))D.144A解析:由題意,知側(cè)面積為6×6×4=144,兩底面積之和為2×eq\f(\r(3),4)×42×6=48eq\r(3),所以表面積S=48(3+eq\r(3)).3.如圖,ABC-A′B′C′是體積為1的棱柱,則四棱錐C-AA′B′B的體積是()\f(1,3)\f(1,2)\f(2,3)\f(3,4)C[∵VC-A′B′C′=eq\f(1,3)VABC-A′B′C′=eq\f(1,3),∴VC-AA′B′B=1-eq\f(1,3)=eq\f(2,3).]4.棱錐的一個(gè)平行于底面的截面把棱錐的高分成1∶2(從頂點(diǎn)到截面與從截面到底面)兩部分,那么這個(gè)截面把棱錐的側(cè)面分成兩部分的面積之比等于()A.1∶9 B.1∶8C.1∶4 D.1∶3B[兩個(gè)錐體的側(cè)面積之比為1∶9,小錐體與臺(tái)體的側(cè)面積之比為1∶8,故選B.]5.某幾何體的直觀圖及其相應(yīng)的度量信息如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.20+4eq\r(2)B.24C.24+4eq\r(2)D.28A解析:由直觀圖可知,該幾何體的上部為一正四棱錐,下部為一正方體,正方體的棱長為2,正四棱錐的底面為正方形,其邊長為2,正四棱錐的高為1,所以此幾何體的表面積為5×2×2+4×eq\f(1,2)×2×eq\r(2)=20+4eq\r(2).二、填空題6.如圖,將一個(gè)長方體用過相鄰三條棱中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐,則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________.1∶47解析:設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a,b,c,它截出棱錐的體積V1=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)b×eq\f(1,2)c=eq\f(1,48)abc,剩下的幾何體的體積V2=abc-eq\f(1,48)abc=eq\f(47,48)abc,所以V1∶V2=1∶47.7.已知一個(gè)長方體的三個(gè)面的面積分別是eq\r(2),eq\r(3),eq\r(6),則這個(gè)長方體的體積為.eq\r(6)[設(shè)長方體從一點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為a,b,c,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab=\r(2),,ac=\r(3),,bc=\r(6),))三式相乘得(abc)2=6,故長方體的體積V=abc=eq\r(6).]8.已知某幾何體是由兩個(gè)全等的長方體和一個(gè)三棱柱組合而成,如圖所示,其中長方體的長寬高分別為4,3,3,三棱柱底面是直角邊分別為4,3的直角三角形,側(cè)棱長為3,則此幾何體的體積是,表面積是.
9013解析:該幾何體的體積V=4×6×3+×4×3×3=90,表面積S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+×4×3×2+×3+3×4=138.三、解答題9.已知四面體ABCD中,AB=CD=eq\r(13),BC=AD=2eq\r(5),BD=AC=5,求四面體ABCD的體積.[解]以四面體的各棱為對角線還原為長方體,如圖.設(shè)長方體的長、寬、高分別為x,y,z,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+y2=13,,y2+z2=20,,x2+z2=25,))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=3,,y=2,,z=4.))∵VD-ABE=eq\f(1,3)DE·S△ABE=eq\f(1,6)V長方體,同理,VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=eq\f(1,6)V長方體,∴V四面體ABCD=V長方體-4×eq\f(1,6)V長方體=eq\f(1,3)V長方體.而V長方體=2×3×4=24,∴V四面體ABCD=8.10.如圖,已知正三棱錐S-ABC的側(cè)面積是底面積的2倍,正三棱錐的高SO=3,求此正三棱錐的表面積.[解]如圖,設(shè)正三棱錐的底面邊長為a,斜高為h′,過點(diǎn)O作OE⊥AB,與AB交于點(diǎn)E,連接SE,則SE⊥AB,SE=h′.∵S側(cè)=2S底,∴eq\f(1,2)·3a·h′=eq\f(\r(3),4)a2×2.∴a=eq\r(3)h′.∵SO⊥OE,∴SO2+OE2=SE2.∴32+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))2=h′2.∴h′=2eq\r(3),∴a=eq\r(3)h′=6.∴S底=eq\f(\r(3),4)a2=eq\f(\r(3),4)×62=9eq\r(3),S側(cè)=2S底=18eq\r(3).∴S表=S側(cè)+S底=18eq\r(3)+9eq\r(3)=27eq\r(3).[等級過關(guān)練]1.正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為()π B. C.π B解析:如圖所示,由圖可知,該幾何體由兩個(gè)四棱錐構(gòu)成,并且這兩個(gè)四棱錐體積相等.四棱錐的底面為正方形,且邊長為2,故底面積為(2)2=2;四棱錐的高為1,故四棱錐的體積為×2×1=則幾何體的體積為2×.2.若正四棱錐的底面邊長為2eq\r(2)cm,體積為8cm3,則它的側(cè)面面積為________.4eq\r(22)cm2解析:∵該正四棱錐底面邊長為2eq\r(2)cm,體積為8cm3,∴該四棱錐的高為3cm,∴側(cè)面等腰三角形的高為eq\r(32+\r(2)2)=eq\r(11)(cm),S側(cè)=4×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(11)=4eq\r(22)(cm2).3.如圖①,一個(gè)正三棱柱容器,底面邊長為a,高為2a,內(nèi)裝水若干,將容器放倒,把一個(gè)側(cè)面作為底面,如圖②,這時(shí)水面恰好為中截面,則圖①中容器內(nèi)水面的高度是.
解析:設(shè)題圖①中容器內(nèi)水面的高度為h,水的體積為V,則V=S△ABCh.又題圖②中水組成了一個(gè)直四棱柱,其底面積為S△ABC,高度為2a,則V=S△ABC·2a,∴h=a.4.用一張正方形的紙把一個(gè)棱長為1的正方體禮品盒完全包住,不將紙撕開,則所需紙的最小面積是.8[如圖①為棱長為1的正方體禮品盒,先把正方體的表面按圖所示方式展成平面圖形,再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形,如圖②所示,由圖知正方形的邊長為2eq\r(2),其面積為8.圖①圖②]5.如圖,在多面體ABCDEF中,已知平面ABCD是邊長為4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3,求該多面體的體積.[解]如圖,連接EB,EC.四棱錐E-ABCD的體積V四棱錐E-ABCD=eq\f(1,3)×42×3=16.∵AB=
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