相似三角形難題集錦

..相似三角形1.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,過點B作射線BB1∥AC．動點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動,同時動點E從點C沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動．過點D作DH⊥AB于H,過點E作EF⊥AC交射線BB1于F,G是EF中點,連接DG．設點D運動的時間為t秒．

〔1當t為何值時,AD=AB,并求出此時DE的長度；〔2當△DEG與△ACB相似時,求t的值．

2.如圖,在△ABC中,ABC＝90°,AB=6m,BC=8m,動點P以2m/s的速度從A點出發(fā),沿AC向點C移動．同時,動點Q以1m/s的速度從C點出發(fā),沿CB向點B移動．當其中有一點到達終點時,它們都停止移動．設移動的時間為t秒．

〔1①當t=2.5s時,求△CPQ的面積；②求△CPQ的面積S〔平方米關(guān)于時間t〔秒的函數(shù)解析式；

〔2在P,Q移動的過程中,當△CPQ為等腰三角形時,求出t的值．

3.如圖1,在Rt△ABC中,ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,點D在邊AB上運動,DE平分CDB交邊BC于點E,EM⊥BD,垂足為M,EN⊥CD,垂足為N．

〔1當AD＝CD時,求證：DE∥AC；〔2探究：AD為何值時,△BME與△CNE相似？

4.如圖所示,在△ABC中,BA＝BC＝20cm,AC＝30cm,點P從A點出發(fā),沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā),沿CA以每秒3cm的速度向A點運動,當P點到達B點時,Q點隨之停止運動．設運動的時間為x．

〔1當x為何值時,PQ∥BC？

〔2△APQ與△CQB能否相似？若能,求出AP的長；若不能說明理由．5.如圖,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,點P沿AB邊從A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時出發(fā),用t〔s表示移動的時間〔0＜t＜6?！?當t為何值時,△QAP為等腰直角三角形？

〔2當t為何值時,以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似？6.在平面直角坐標系xOy中,點A的坐標為<2,1>,正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45°,求這個正比例函數(shù)的表達式．

7.在△ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB為邊在C點的異側(cè)作△ABD,使△ABD為等腰直角三角形,求線段CD的長．

8.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點M是AC上的一點,點N是BC上的一點,沿著直線MN折疊,使得點C恰好落在邊AB上的P點．求證：MC：NC=AP：PB．

9.如圖,在直角坐標系中,矩形ABCO的邊OA在x軸上,邊OC在y軸上,點B的坐標為〔1,3,將矩形沿對角線AC翻折B點落在D點的位置,且AD交y軸于點E．那么D點的坐標為〔

A.B.C.D.10..已知,如圖,直線y=﹣2x＋2與坐標軸交于A、B兩點．以AB為短邊在第一象限做一個矩形ABCD,使得矩形的兩邊之比為1﹕2。

求C、D兩點的坐標。

11.如圖：△ABC中,D是AB上一點,AD=AC,BC邊上的中線AE交CD于F。

求證：

12.四邊形ABCD中,AC為AB、AD的比例中項,且AC平分∠DAB。

求證：

13.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB＝b,CD＝a,E為AD邊上的任意一點,EF∥AB,且EF交BC于點F,某同學在研究這一問題時,發(fā)現(xiàn)如下事實：

<1>當時,EF=；<2>當時,EF=；

<3>當時,EF=．當時,參照上述研究結(jié)論,請你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論,并給出證明．

14.已知：如圖,在△ABC中,M是AC的中點,E、F是BC上的兩點,且BE＝EF＝FC。

求BN：NQ：QM．

15.證明：〔1重心定理：三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長的．〔注：重心是三角形三條中線的交點.〔2角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例．16.如圖,在等邊△ABC中,M、N分別是邊AB,AC的中點,D為MN上任意一點,BD、CD的延長線分別交AC、AB于點E、F．

求證：．

17.已知：如圖,梯形ABCD中,AB//DC,對角線AC、BD交于O,過O作EF//AB分別交AD、BC于E、F。

求證：．

18.如圖,在△ABC中,已知CD為邊AB上的高,正方形EFGH的四個頂點分別在△ABC上。

求證：．19.已知,在△ABC中作內(nèi)接菱形CDEF,設菱形的邊長為a．求證：．20.〔1如圖1,點在平行四邊形ABCD的對角線BD上,一直線過點P分別交BA,BC的延長線于點Q,S,交于點．求證：

〔2如圖2,圖3,當點在平行四邊形ABCD的對角線或的延長線上時,是否仍然成立？若成立,試給出證明；若不成立,試說明理由〔要求僅以圖2為例進行證明或說明；

21.如圖,在平行四邊形ABCD中,過點A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點,且∠AFE＝∠B.求證：△ADF∽△DEC若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的長.22.如圖,已知等腰三角形ABC中,AD,BF分別為BC,AC邊上的高,過D作AB的垂線交AB于E,交BF于G,交AC延長線于H。求證：DE2=EG?EH23.已知如圖,P為平行四邊形ABCD的對角線AC上一點,過P的直線與AD、BC、CD的延長線、AB的延長線分別相交于點E、F、G、H.

求證：

24.已知,如圖,銳角△ABC中,AD⊥BC于D,H為垂心〔三角形三條高線的交點；在AD上有一點P,且∠BPC為直角．求證：PD2＝AD·DH。25.已知如圖,CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,E為BC的中點,ED的延長線交CA于F。

求證：

26如圖,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,點M在CD上,DH⊥BM且與AC的延長線交于點E.

求證：〔1△AED∽△CBM；〔227.如圖,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中點,ED的延長線與CB的延長線交于點F.

〔1求證：.

〔2若G是BC的中點,連接GD,GD與EF垂直嗎？并說明理由.

28.如圖,四邊形ABCD、DEFG都是正方形,連接AE、CG,AE與CG相交于點M,CG與AD相交于點N．求證：．

29.如圖,BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高,過D作DG⊥BC于G,分別交CE及BA的延長線于F、H。求證：〔1DG2＝BG·CG；〔2BG·CG＝GF·GH30.△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的頂點E位于邊BC的中點上．

〔1如圖1,設DE與AB交于點M,EF與AC交于點N,求證：△BEM∽△CNE；

〔2如圖2,將△DEF繞點E旋轉(zhuǎn),使得DE與BA的延長線交于點M,EF與AC交于點N,于是,除〔1中的一對相似三角形外,能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論．

31.如圖,四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形,點R為DE的中點,BR分別交AC、CD于點P、Q．

〔1請寫出圖中各對相似三角形〔相似比為1除外；

〔2求BP：PQ：QR．

32.如圖,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。求證：

33.如圖,Rt△ABC是由Rt△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的,連結(jié)CC交斜邊于點E,CC的延長線交BB于點F．〔1證明：△ACE∽△FBE；〔2設∠ABC=,∠CAC=,試探索、滿足什么關(guān)系時,△ACE與△FBE是全等三角形,并說明理由．34.在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠COA＝90o,CB＝3,OA＝6,BA＝3eq\r<5>．分別以OA、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系．〔1求點B的坐標；〔2已知D、E分別為線段OC、OB上的點,OD＝5,OE＝2EB,直線DE交x軸于點F．求直線DE的解析式；〔3點M是〔2中直線DE上的一個動點,在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個點N．使以O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在,請求出點N的坐標；若不存在,請說明理由．SHAPEABDABDEFCOMNxy圖15-2ADOBC21MN圖15-1A圖15-2ADOBC21MN圖15-1ADBMN12圖15-3ADOBC21MNO〔1如圖15-1,若AO=OB,請寫出AO與BD數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；〔2將圖15-1中的MN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到圖15-2,其中AO=OB．求證：AC=BD,AC⊥

BD；〔3將圖15-2中的OB拉長為AO的k倍得到圖15-3,求的值．36.如圖,在正方形ABCD中,E是BC上的一點,連結(jié)AE,作BF⊥AE,垂足為H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.<1>求證CG=BH;<2>FC2=BF·GF;<3>=.BBACDHEFG37.劉衛(wèi)同學在一次課外活動中,用硬紙片做了兩個直角三角形,見圖①、②．圖①中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm；圖②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4cm．圖③是劉衛(wèi)同學所做的一個實驗：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起,并將△DEF沿AC方向移動．在移動過程中,D、E兩點始終在AC邊上<移動開始時點D與點A重合>．<1>在△DEF沿AC方向移動的過程中,劉衛(wèi)同學發(fā)現(xiàn)：F、C兩點間的距離逐漸▲．<填"不變"、"變大"或"變小"><2>劉衛(wèi)同學經(jīng)過進一步地研究,編制了如下問題：問題①：當△DEF移動至什么位置,即AD的長為多少時,F、C的連線與AB平行?問題②：當△DEF移動至什么位置,即AD的長為多少時,以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形?問題③：在△DEF的移動過程中,是否存在某個位置,使得∠FCD=15°?如果存在,求出AD的長度；如果不存在,請說明理由．請你分別完成上述三個問題的解答過程．38.已知△ABC中,AB＝2,AC＝4,BC＝6〔1如圖1點M為AB的中點,在線段AC上取點N,使△AMN與△ABC相似,求線段MN的長；〔2如圖2,是由100個邊長為1的小正方形組成的10×10正方形網(wǎng)格,設頂點在這些小正方形頂點的三角形為格點三角形,①請你在所給的網(wǎng)格中畫出格點△A1B1C1,使得△A1B1C1與△ABC全等〔畫出一個即可,不需證明②試直接寫出在所給的網(wǎng)格中與△ABC相似且面積最大的格點三角形的個數(shù),并畫出其中的一個〔不需證明39.已知直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖,C,D兩點的坐標分別為<4,0>,<0,3>.現(xiàn)有兩動點P,Q分別從A,C同時出發(fā),點P沿線段AD向終點D運動,點Q沿折線CBA向終點A運動,設運動時間為t秒.<1>填空：菱形ABCD的邊長是、面積是、高BE的長是；<2>探究下列問題：①若點P的速度為每秒1個單位,點Q的速度為每秒2個單位.當點Q在線段BA上時,求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,以及S的最大值。②若點P的速度為每秒1個單位,點Q的速度變?yōu)槊棵雓個單位,在運動過程中,任何時刻都有相應的k值,使得△APQ沿它的一邊翻折,翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形.請?zhí)骄慨攖=4秒時的情形,并求出k的值.40.△ABC中,AB=AC,D為BC的中點,以D為頂點作∠MDN=∠B．〔1如圖〔1當射線DN經(jīng)過點A時,DM交AC邊于點E,不添加輔助線,寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．〔2如圖〔2,將∠MDN繞點D沿逆時針方向旋轉(zhuǎn),DM,DN分別交線段AC,AB于E,F點〔點E與點A不重合,不添加輔助線,寫出圖中所有的相似三角形,并證明你的結(jié)論．〔3在圖〔2中,若AB=AC