2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬(上海卷)數(shù)學(xué)（解析版）

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬(上海卷)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本場(chǎng)考試時(shí)間120分鐘，滿分150分．2．作答前，在答題紙正面填寫(xiě)姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，反面填寫(xiě)姓名．將核對(duì)后的條形碼貼在答題紙指定位置.3．所有作答務(wù)必填涂或書(shū)寫(xiě)在答題紙上與試卷題號(hào)對(duì)應(yīng)的區(qū)城，不得錯(cuò)位．在試卷上作答一律不得分．4．用2B鉛筆作答選擇題，用黑色字跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分)考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.1．已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的值是___________．【解析】因?yàn)?，所以，，?dāng)時(shí)，無(wú)意義，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，不滿足題意.綜上，實(shí)數(shù)的值1.2．已知復(fù)數(shù)?滿足，若和的幅角之差為，則___________.【解析】因?yàn)椋O(shè)，，所以，由題意可知或，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，綜上所述：3．已知，，則______【解析】由已知可得，故.4．已知點(diǎn)為正四面體的外接球上的任意一點(diǎn)，正四面體的棱長(zhǎng)為2，則的取值范圍為_(kāi)__________.【解析】如圖，將正四面體放在正方體內(nèi)，并建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵正四面體的棱長(zhǎng)為2，則正方體的棱長(zhǎng)為，正四面體ABCD的外接球即為圖中正方體的外接球，其半徑為R，則，則，，設(shè)，則，則，∵，，∴.5．設(shè)且，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______．【解析】的通項(xiàng)公式為，，的常數(shù)項(xiàng)為：.6．若函數(shù)的反函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則____________.【解析】由于函數(shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得，∴函數(shù)，∴.7．已知???…?是拋物線上不同的點(diǎn)，點(diǎn)，若，則___________【解析】設(shè)，分別過(guò)，作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，???…?是拋物線上不同的點(diǎn)，點(diǎn),準(zhǔn)線為，.,,.8．從集合中任取3個(gè)不同元素分別作為直線方程中的，則經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的不同直線有__________條（用數(shù)值表示）【解析】依題意，，從任取兩個(gè)不同元素分別作為的值有種，其中重合的直線，按有序數(shù)對(duì)，有：重合，重合，重合，重合，重合，有：重合，重合，重合，重合，重合，所以經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的不同直線條數(shù)是.9．已知實(shí)數(shù)m>1，實(shí)數(shù)x?y滿足不等式組，若目標(biāo)函數(shù)z=x+my的最大值等于10，則m=___________.【解析】由約束條件作出可行域如圖內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)(含邊界線上的整數(shù)點(diǎn))，聯(lián)立，解得A(3，3)，?B(，)，化目標(biāo)函數(shù)z=x+my為，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)B時(shí)，直線在y軸上的截距最大，但B不是整數(shù)點(diǎn)，因?yàn)椋?≤x≤3，，故當(dāng)y=4，x=2時(shí)，z有最大值為2+4m=10，即m=2.10．若，且，則的取值范圍是__________.【解析】由題意，，，由于，故，即，，，故，解得：或11．平面直角坐標(biāo)系中，滿足到的距離比到的距離大的點(diǎn)的軌跡為曲線，點(diǎn)(其中，)是曲線上的點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為，則____________.【解析】設(shè)曲線上的點(diǎn)為，由題意，，則曲線為雙曲線的右支，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，，雙曲線方程為．所以漸近線方程為，而點(diǎn)（其中，是曲線上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的斜率趨近于，即．則，即．．12．任意實(shí)數(shù)a，b，定義，設(shè)函數(shù)，正項(xiàng)數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，且，則=____．【解析】由題意，因?yàn)闀r(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，所以時(shí)，恒成立；因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，且，所以，所以，又，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)無(wú)解；設(shè)恒成立，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，解得.二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分，每題5分)每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13．在數(shù)列中，已知，則“”是“是單調(diào)遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】已知，若，即，解得.若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，對(duì)任意的，，即，所以，對(duì)任意的恒成立，故，因此，“”是“是單調(diào)遞增數(shù)列”的充要條件.故選：C.14．下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，（）﹣（x+）＝﹣（x+）＝，而x+≥2或x+≤﹣2，令t＝x+∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），則（）﹣（x+）＝≥0，所以≥x+，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)x﹣y＝﹣2時(shí)，|x﹣y|＝2，所以|x﹣y|+＝2﹣＝＜2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閨x﹣y|＝|（x﹣z）﹣（y﹣z）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椹仯剑▁+3）+（x﹣1）﹣2﹣[x+2+x﹣2]＝2﹣2＝2（）＞0，所以D錯(cuò)誤．故選：A．15．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，P?Q?R分別是棱AB?BC?的中點(diǎn)，以PQR為底面作一個(gè)直三棱柱，使其另一個(gè)底面的三個(gè)頂點(diǎn)也都在正方體的表面上，則這個(gè)直三棱柱的體積為（

）A． B． C． D．【解析】如圖所示：連接,分別取其中點(diǎn)，連接，則，且，所以幾何體是三棱柱，又，且，所以平面，所以，同理，又，所以平面PQR，所以三棱柱是直三棱柱，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以,所以直三棱柱的體積為，故選：C16．已知數(shù)列滿足，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增 B．?dāng)?shù)列無(wú)界C． D．【解析】，所以數(shù)列單調(diào)遞增，恒成立，故A，B正確；，，所以，所以，故C正確：因?yàn)椋裕Y(jié)合數(shù)列單調(diào)遞增，所以，故D錯(cuò)誤，故選：D.三、解答題（本大題共有5題,滿分76分)解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟.17.(本小題滿分14分,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分)如圖，直三棱柱中，，，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).(1)求三棱錐的體積；(2)求異面直線與所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【解析】(1)由題意得所以三棱錐的體積.即所求三棱錐的體積為.(2)連接，由題意得，，且，所以直線與所成的角就是異面直線與所成的角.在中，，，，由余弦定理得，因?yàn)椋?因此所求異面直線與所成角的大小為.18.(本小題滿分14分.第1小題滿分6分,第2小題滿分8分)落戶上海的某休閑度假區(qū)預(yù)計(jì)于2022年開(kāi)工建設(shè).如圖，擬在該度假園區(qū)入口處修建平面圖呈直角三角形的迎賓區(qū)，，迎賓區(qū)的入口設(shè)置在點(diǎn)A處，出口在點(diǎn)B處，游客可從入口沿著觀景通道A-C-B到達(dá)出口，其中米，米，也可以沿便捷通道A-P-B到達(dá)出口（P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)）.(1)若△PBC是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，某游客的步行速度為每分鐘50米，則該游客從入口步行至出口，走便捷通道比走觀景通道可以快幾分鐘？（結(jié)果精確到1分鐘）(2)園區(qū)計(jì)劃將△PBC區(qū)域修建成室外游樂(lè)場(chǎng)，若，該如何設(shè)計(jì)使室外游樂(lè)場(chǎng)的面積最大，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由題設(shè)，米，米，在中，由余弦定理得，于是米.游客可從入口沿著觀景通道A-C-B到達(dá)出口，所需時(shí)間為分鐘，游客沿便捷通道A-P-B到達(dá)出口所需時(shí)間為分鐘，所以該游客從入口步行至出口，走便捷通道比走觀景通道可以快分鐘.(2),設(shè)則，在中，.由正弦定理得，得.所以面積，當(dāng)時(shí)，面積的最大值為平方米.19.(本小題滿分14分,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分)有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面為等可能性事件，棋盤上標(biāo)有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子開(kāi)始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次，若擲出正面，棋向前跳一站（從k到），若擲出反面，棋向前跳兩站（從k到），直到棋子跳到第99站（勝利大本營(yíng)）或跳到第100站（失敗集中營(yíng)）時(shí)，該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站概率為.（1）求，，的值；（2）求證：，其中，，并求及的值.【解析】（1）棋子開(kāi)始在第0站為必然事件，∴.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為，∴.棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮：①前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面，其概率為；②第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，其概率為.∴.（2）證明：棋子跳到第n（）站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：①棋子先到第站，又?jǐn)S出反面，其概率為；②棋子先到第站，又?jǐn)S出正面，其概率為.∴.∴.當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.∴，，，…，.以上各式相加，得，∴.∴，.20.(本小題滿分16分,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分)已知為橢圓C：內(nèi)一定點(diǎn)，Q為直線l：上一動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與橢圓C交于A?B兩點(diǎn)（點(diǎn)B位于P?Q兩點(diǎn)之間），O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)直線PQ的傾斜角為時(shí)，求直線OQ的斜率；(2)當(dāng)AOB的面積為時(shí)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；(3)設(shè)，，試問(wèn)是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)因?yàn)橹本€PQ的傾斜角為，且，所以直線PQ的方程為：，由，得，所以直線OQ的斜率是；(2)易知直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，由，得，設(shè)，則，所以，所以，解得，即，所以直線PQ的方程為或，由，得；由，得；(3)易知直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，由，得，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，，所以，所以?21.(本小題滿分18分,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分)已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在常?shù)和，對(duì)任意的，都有成立，則稱函數(shù)為“擬線性函數(shù)”，其中數(shù)組稱為函數(shù)的擬合系數(shù).(1)數(shù)組是否是函數(shù)的擬合系數(shù)？(2)判斷函數(shù)是否是“擬線性函數(shù)”，并說(shuō)明理由；(3)若奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱（其中為常數(shù)），證明：是“擬線性函數(shù)”.【解析】(1)因?yàn)樗援?dāng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榛?，所以，所以?shù)組是函數(shù)的擬合系數(shù).(2)①當(dāng)時(shí)，對(duì)于恒成立，所