不等式知識(shí)點(diǎn)及其解題技巧

1、不等式的性質(zhì)則acbd（若式不可以相減；（2）不等式知識(shí)點(diǎn)及其解題技巧：（1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減 ：若ab,cd,ab,cd,則acbd）,但異向不等式不可以相加；同向不等左右同正不等式：同向的不等式可以相乘可以相除，但不能相乘：若ab0,cd0,則acab——）；（3）左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開方cd，但不能相除；bd（若ab0,0強(qiáng)物；（4）若ab0,ab,對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c中，給出下列命題：①b0,則a2abb2;④b0,則ab;⑦若c1_；若abbb,貝1Jac2b0,則1aa0,則——ca0,bc21b, ,1ab,則一a;②若ac2異向不等式cd,則則an二。如bbc2,則a0,則Bbn或（1）a0,b1xy0。其中正確的命題是則3xy的取值范圍是c0,則c的取值范圍是a（答：②③⑥⑦⑧）—（答：13x入 1（答：2,-2b（2）7）；已知1b,—a1x（3）已知aa1byb配方等手段判斷差2.不等式大小比較的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差（5）的符號(hào)得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法;（5）;（8）圖象法。1,t0,比較分子（或分母）有理化；（6）;（8）圖象法。1,t0,比較（t1時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)c 12,pa ,（t1時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)c 12,pa ,a2比較1+logx3與-logatWloga 的大小（答：當(dāng)a1時(shí)，-logatloga \o"CurrentDocument"2 2 2 2一一1 t10a1時(shí)，-logatloga——（t1時(shí)取等號(hào)））；（2）設(shè)a2 2_2q2，試比較p,q的大?。ù穑簆q）;（3）4,210gx2（x0且x1）的大?。ù穑寒?dāng)0x1或x—時(shí)，1+logx3>210gx2;當(dāng)3. 4_, _ 4_,1x—時(shí)，1+l0gx3v210gx2;當(dāng)x一時(shí)，1+10gx3=210gx2）3 33.利用重要不等式求函數(shù)最值 時(shí)，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，1,,積定和最小這17字萬(wàn)針。如（1）下列命題中正確的是A、yx—的最小值是2B、xTOC\o"1-5"\h\zx23,一，… 4yj 的最小侑杲 2C、y23x—（x0）的最大值是24V3 D、\o"CurrentDocument"x22 xy23x4（x0）的最小值是24百（答：C）;⑵若x2y1,則2x4y的最x小值是（答：2拒）；（3）正數(shù)x,y滿足x2y1,則-1的最小值為（答：xy32五）,

2 2 2R,abc4.常用不等式有：（1）結(jié)構(gòu)選用）2 2 2R,abc4.常用不等式有：（1）結(jié)構(gòu)選用）；（2）a、b、c號(hào)）；（3）若ab0,m11

ababbcca（當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取等abab3,則ab的取值范圍是(答：9, )5、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法（比較法的步驟是:后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1常用的放縮技巧有： 一n1n(n1)1的大小，1n（n1）然后作出結(jié)論。作差（商）

）.、、k如a,b,c(1)R,已知ab求證：a2b2c,b2求證：a2b b2cabc(a2,k2cabc)ab2bc22ca；；(3)已知abab3,則ab的取值范圍是(答：9, )5、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法（比較法的步驟是:后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1常用的放縮技巧有： 一n1n(n1)1的大小，1n（n1）然后作出結(jié)論。作差（商）

）.、、k如a,b,c(1)R,已知ab求證：a2b2c,b2求證：a2b b2cabc(a2,k2cabc)ab2bc22ca；；(3)已知a,b,x,y（2）已知R,且lg1b,xab2(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)已知|a|,b

lg-abc(ab|b|,求證:,ca .lg—2- lgac);(6)若n

|a||b||ab|6.簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法lgblgc；(5)已知a,b,c(n1)2回一回；（8）求證：1|ab|:標(biāo)根法：其步驟是：1(n122(1)R,1)132求證：a2b2b2c2Jn2 1n；(7)1~~2n分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正 ；（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意 奇穿過偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)f（x）的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如（1）解不等式（x1）（x2）20。（答：｛x|x1或x2｝）;⑵不等式（x2）Jx22x30的解集是（答：｛x|x3或x1｝）;（3）設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）的定義域都是R,且f（x）0的解集為｛x|1x2｝,g（x）0的解集為 ，則不等式f（x）gg（x）0的解集為（答：（，1）U[2, ））;（4）要「（答：[7,81））80,再通分并將分使?jié)M足關(guān)于x的不等式「（答：[7,81））80,再通分并將分2 2x4x30和x6x80中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為最后用標(biāo)根法求解。解分式不如（最后用標(biāo)根法求解。解分式不如（1）解不等式5x5x~2 1I-x2x31（答：（1,1）U（2,3））；（2）關(guān)于x的不等式axb0的解集為（1,則關(guān)于x的不等式也」0的解集為（答：（，1）（2,））.x2.絕對(duì)值不等式的解法：（1）分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集 ）：如解不等式3 112-x|2|x-|（答：xR）；（2）利用絕對(duì)值的定義；（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等4 2

式|x||x1|3(答：(,1)U(2, ))(4)兩邊平方：如若不等式|3x2||2xa|4對(duì)xR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為。（答：｛—｝）39、含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵.”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…"。注意：按參數(shù)討論，最后2應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集； 但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如（1）若lOga-1,3TOC\o"1-5"\h\z .. ， 2 . .ax2則a的取值范圍是（答：a1或0a—）；（2）解不等式-a一x（aR）\o"CurrentDocument"3 ax11 1 .\o"CurrentDocument"（答：a0時(shí)，｛x|x0｝；a0時(shí)，｛x|x—或x0｝；a0時(shí)，｛x|—x0｝或a ax0｝）提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示； （2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。 如關(guān)于x的不等式x2 axb0的解集為（，1）,則不等式 0的解集為（答：（—1,2））axb11.含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：&b同號(hào)或有0 |ab||a||b|||a||b|||ab|;&b異號(hào)或有0 |ab||a||b|||a||b|||ab|.如設(shè)f（x）x2x13,實(shí)數(shù)a滿足|xa|1,求證：|f（x）f（a）|2（|a|1）12.不等式的恒成立，能成立，恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）.恒成立問題若不等式fxA在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上fxminA若不等式fxB在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上fxBmax如（1）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x2（y1）21,當(dāng)xyc0時(shí)，c的取值范圍是（答： J21, ）;（2）不等式|x4x3a對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（答：a1）;（3）若不等式2x1m（x21）對(duì)滿足m2的所有m都成n1立，則x的取值范圍（答：（'L,^^之」））；（4）若不等式（1）na2一2 2 n3 3 對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（答：［2,一））；（5）若不等式x22mx2m10^0x1的所有實(shí)數(shù).能成立問題若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fx若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式21x都成立，求m的取