解三角形應(yīng)用舉例兩課時

應(yīng)用舉例解斜三角形公式、定理正弦定理：余弦定理：三角形邊與角的關(guān)系：2、大角對大邊，小角對小邊。解個數(shù)判定2.余弦定理的作用（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩角；

（3）判斷三角形的形狀。推論:三角形的面積公式斜三角形的解法已知條件定理選用一般解法用正弦定理求出另一對角,再由A+B+C=180?，得出第三角,然后用正弦定理求出第三邊。正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理由A+B+C=180?,求出另一角，再用正弦定理求出兩邊。用余弦定理求第三邊，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180?得出第三角。用余弦定理求出兩角，再由A+B+C=180?得出第三角。一邊和兩角(ASA或AAS)兩邊和夾角(SAS)三邊(SSS)兩邊和其中一邊的對角(SSA)ACB51o55m75o測量距離測量寬度

例1：如圖

5某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點A、B，觀察對岸的點C，測得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100米．(1)求sin75°；(2)求該河段的寬度．圖5解：(1)sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°(2)∵∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°，由正弦定理得：

ABsin∠ACB＝

BCsin∠CAB.ABsin75° . sin60°∴BC=

如圖5，過點

B作BD垂直于CD，垂足為D，則BD的長就是該河段的寬度． 在Rt△BDC中，ABCD

求不可到達兩點之間的距離問題 例2：如圖7，A、B兩點都在河的對岸(不可到達)，在河岸邊選定兩點C、D，測得CD＝1000米，∠ACB＝30°，∠BCD＝30°，∠BDA＝30°，∠ADC＝60°，求AB的長． 圖7

解：由題意知△ACD為正三角形， 所以AC＝CD＝1000米． 在△BCD中，∠BDC＝90°，

測量不能達到的兩點間的距離，利用解斜三角形是一個重要的方法．解決這類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造一個或幾個三角形，測出有關(guān)邊長和角，用正、余弦定理進行計算．ABCDαβγδa解：如圖，測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，設(shè)CD=a，∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠ADB=δ

1－1.如圖6，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A、B，望對岸標記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則河的寬度為_______.60m圖6

2－1.如圖8，現(xiàn)要計算北江岸邊兩景點B與C的距離．由于地形的限制，需要在岸上選取A和D兩個測量點，現(xiàn)測得AD⊥CD，AD＝10km，AB＝14km，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求兩景點B與C的距離．(假設(shè)A、B、C、D在同一平面內(nèi)，測量結(jié)果保留整數(shù)；參考數(shù)據(jù)：≈1.414)圖8解：在△ABD中，設(shè)BD＝x.則BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得：x2－10x－96＝0.解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．由正弦定理，得：sin

BC∠CDB＝sin

BD∠BCD，

即兩景點B與C的距離約為11km.航行問題

例3：一船在

A處向北偏西30°的方向以每小時30海里的速度航行，一個燈塔原來在船的北偏東15°，經(jīng)過40分鐘后，船在B處，燈塔C在船的北偏東45°，求船和燈塔之間原來的距離．解：如圖9.圖9由已知：AB＝20海里，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°.在△ABC中，根據(jù)正弦定理得：

ACABsin∠ABCsinC

解決有關(guān)航行問題的應(yīng)用題，關(guān)鍵是對一些數(shù)學(xué)術(shù)語要理解好，把它翻譯到圖形中作出草圖，然后運用正弦、余弦定理求解．＝＝，

3－1.某海上緝私小分隊駕駛緝私艇以40km/h的速度從A處出發(fā)沿北偏東60°的方向航行，進行海面巡邏，當(dāng)行駛半小時到達B處，發(fā)現(xiàn)在北偏西45°的方向上有一艘船C，船C位于A處北偏東30°的方向上，求此時緝私艇B與船C的距離．

ABsin∠ACB

BCsin∠BAC即BC＝20sin30° sin75°＝故此時緝私艇B與船C的距離為圖1

解：如圖1，由題意AB＝40×0.5＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝75°，由正弦定理：

例4：某貨輪在海上以30海里/小時的速度沿方位角150°的方向航行，為了確定船的位置，船在B點觀察燈塔A的方位角是126°，航行半小時后到達C點，觀察燈塔A的方位角是78°.請用簡圖表示船的位置．

錯因剖析：對方位角的定義理解不清，錯把標準方向定為正東方向．正解：如圖10.圖10

4－1.甲船在A處，乙船在甲船正南方向距甲船20nmile的B處，乙船以10nmile/h的速度向正北方向行駛，而甲船同時以8nmile/h的速度由A處向北偏西60°方向行駛，問經(jīng)過多少小時后，甲、乙兩船相距最近？解：設(shè)甲、乙兩船經(jīng)過t小時后相距最近，且分別到達P、Q兩處，因乙船到達A處需2小時，①當(dāng)0≤t≤2時(如圖2－①)在△APQ中，AP＝8t，AQ＝20－10t圖2小時后，相距最近．②當(dāng)t＞2時(如圖2－②)在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20∴甲、乙兩船行駛10 7已知△ABC中，

BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°，求AC．

解：（如圖）在△ABC中，由正弦定理可得：因為BC＜AB，所以A為稅角，A＝14°15′

∴B＝180°－（A＋C）＝85°45′又由正弦定理：測量高度例2.如圖，AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑的最高點，試設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法。解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點在同一條直線上。在H、G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是a、b，CD=a，測角儀器的高是h，那么，在△ACD中，根據(jù)正弦定理可得例1、如圖，要測底部不能到達的煙囪的高AB，從與煙囪底部在同一水平直線上的C、D兩處，測得煙囪的仰角分別是已知測角儀器高1.5m,求煙囪的高。，CD間的距離是12m.圖中給出了怎樣的一個幾何圖形？已知什么，求什么？例2、在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角a=54°40′，在塔底C處測得A處的俯角b=50°1′已知鐵塔BC部分的高為27.3m，求出山高CD(精確到1m)ABCDab例3.一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路南側(cè)遠處一山頂D在西偏北15o的方向上，行駛5km后到達B處，測得此山頂在西偏北25o的方向上，仰角8o，求此山的高度CD.ADCB課堂小結(jié)1、本節(jié)課通過舉例說明了解斜三角形在實際中的一些應(yīng)用。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。2、在分析問題解決問題的過程中關(guān)鍵要分析題意，分清已知

與所求，根據(jù)題意畫出示意圖，并正確運用正弦定理和余弦定理解題。3、在解實際問題的過程中，貫穿了數(shù)學(xué)建模的思想，其流程圖可表示為：實際問題數(shù)學(xué)模型實際問題的解數(shù)學(xué)模型的解畫圖形解三角形檢驗（答）例6一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達海島B,然后從B出發(fā)，沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后到達海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到0.1°,距離精確到0.01nmile）?練習(xí)、

3.5m長的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端離堤足1.2m的地面上，另一端沿堤上2.8m的地方，求地對地面的傾斜角。祝同學(xué)們百事可樂,天天七喜！愿我們：心想事成?。?）什么是最大仰角？

最大角度最大角度最大角度最大角度（2）例題中涉及一個怎樣的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？練習(xí)1、自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構(gòu)。設(shè)計時需要計算油泵頂桿BC的長度．已知車廂的最大仰角是60°，油泵頂點B與車廂支點A之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為6°20’，AC長為1.40m，計算BC的長（精確到0.01m）．

頂桿BC約長1.89m練習(xí)2、一艘船以32.2nmile/hr的速度向正北航行。在A處看燈塔S在船的北偏東20o的方向，30min后航行到B處，在B處看燈塔在船的北偏東65o的方向，已知距離此燈塔6.5nmile以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以