大連理工自控電子教案CHAPTER8

第八章非線性控制系統(tǒng)NonlinearControlSystem內(nèi)容提要§8.1概述§8.2相平面圖§8.3奇點和極限環(huán)§8.4非線性系統(tǒng)的相平面圖分析§8.5非線性特性的描述函數(shù)§8.6用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)§8.1概述典型非線性特性非線性系統(tǒng)的運動特點非線性系統(tǒng)的研究方法一、典型非線性特性(一)飽和非線性(Saturationnonlinear)輸入近似飽和特性輸出實際飽和特性M-Mt-t0輸入0輸出KKh-h(二)死區(qū)非線性(Deadzonenonlinear)一、典型非線性特性(三)間隙非線性(Backlashnonlinear)0輸入輸出Kb-b一、典型非線性特性(四)繼電器型非線性輸入輸出M-M0(a)輸出M-M0h-h輸入(b)輸入輸出M-M0h-h(c)輸出M-M0mh-mh輸入h-h(d)(On-offnonlinear)二、非線性系統(tǒng)的運動特點(一)穩(wěn)定性與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)及系統(tǒng)的輸入信號和初始條件有關(guān)。研究時應(yīng)注意：1、系統(tǒng)的初始條件；2、系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。二、非線性系統(tǒng)的運動特點tE0e(t)(二)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式某些非線性系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)形式與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。非線性系統(tǒng)，在初始狀態(tài)的激勵下，可以產(chǎn)生固定振幅和固定頻率的周期振蕩，這種周期振蕩稱為非線性系統(tǒng)的自激振蕩或極限環(huán)。二、非線性系統(tǒng)的運動特點(三)極限環(huán)（自激振蕩）e(t)頻率0振幅K′<0>0K

′K′=0K非線性彈簧M重物粘性阻尼器B系統(tǒng)微分方程：M+B+Kx+x=0K′3x..x.(四)頻率響應(yīng)系統(tǒng)進行強迫振蕩實驗時的微分方程是：M+B+Kx+x=PcoswtK′3x..x.頻率響應(yīng)具有硬彈簧的機械系統(tǒng)ωω00x123465K′>0具有軟彈簧的機械系統(tǒng)ω0ω40x51326K′<0三、非線性系統(tǒng)的研究方法

相平面法(Phase-planetechnique)適用于一階、二階系統(tǒng)描述函數(shù)法(Describingfunctiontechnique)是一種等效線性化方法計算機仿真(Computersimulation)§8.2相平面圖相平面法(Phase-planetechnique)是龐卡萊(H.Poincare)提出來的一種用圖解法求解一階、二階微分方程的方法，它實質(zhì)上屬于狀態(tài)空間分析法在二維空間中的應(yīng)用，該方法適合于研究二階系統(tǒng)。一、相平面圖的基本概念二階系統(tǒng)令x1=x,x2=x.以相變量x1和x2為坐標(biāo)構(gòu)成平面，稱為相平面(phaseplane)。在相平面上，由(x1，x2)以時間為參變量構(gòu)成的曲線，稱為相軌跡(phasetrajectory)。ACBx1=xx2=x.二、相平面圖的繪制對于二階系統(tǒng)f(x,)x..x.+=0(x,)以x,為相變量，可得到相軌跡通過點的斜率x.x.x.=dxdx.f(x,)x.－(一)相平面圖的特點1、對稱性x.a.

關(guān)于軸對稱即f(x,)是關(guān)于x的奇函數(shù)。x.x.=f(x,)x.f(-x,)x.－x.f(x,)x.=f(-x,)x.－或b、關(guān)于x軸對稱即f(x,)是的偶函數(shù)。x.x..f(x,-)x.x.=f(x,)x－x.f(x,)x.=f(x,-)x.或c、關(guān)于原點對稱即f(x,)=-f(-x,-)x.x..x.=f(x,)x－x.f(-x,-)x.－普通點相平面上不同時滿足=0和f(x,)=0的點。x.x.奇點相平面上，同時滿足=0和f(x,)=0的點。x.x.2.奇點和普通點(一)相平面圖的特點(一)相平面圖的特點所以，除了奇點外，相軌跡和x軸垂直相交。在x軸上，所有點都滿足=0。除奇點外相軌跡在x軸上的斜率為x.x.=dxdx.f(x,)x.－=∞3.相軌跡通過x軸的斜率(一)相平面圖的特點在相平面的上半平面，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡由左向右運動；在下半平面，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡由右向左運動。系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的移動方向由相軌跡上的箭頭表示。4.相軌跡移動的方向相軌跡方程(二)繪制相平面圖的解析法x.=g(x)例8.1試繪制二階系統(tǒng)的相平面圖解：系統(tǒng)方程改寫為積分得相軌跡方程xx.0x0圖解法是通過逐步作圖的方法，不必解出微分方程，而把結(jié)果直接描繪在相平面上。常用的圖解法有等傾線法和園弧近似法。在等傾線法中，首先用等傾線來確定相平面中相軌跡斜率的分布，然后再繪制相軌跡曲線。(三)繪制相平面圖的圖解法——等傾線法(Isoclinemethod)所有相軌斜率=常量a的點，構(gòu)成了等斜率線即等傾線。dxdx./相軌跡的斜率方程為給定一組a值，可求得一組等傾線族。利用等傾線族，可以確定相平面中任意一點相軌跡的斜率。x.=dxdx.f(x,)x.－等傾線方程為x.a=-f(x,)x.設(shè)系統(tǒng)方程為得等傾線方程：令=a

dxdx./x.a=-1a=-1.2a=-1.4a=-1.6a=-1.8a=-2a=-2.5a=-3a=-4a=-6a=-11a=9a=4a=2a=1a=0.5a=0a=-0.2a=-0.4a=-1xABCDE改寫為：例8.2xx.解：

+a+x=0x..x.

-

a+x=0x..x.x.>0x.<0的相平面圖求

+a||+x=0x..x.上半平面的等傾線方程：x.1a+a=-x三、由相軌跡求時間響應(yīng)曲線根據(jù)系統(tǒng)的相軌跡可以采用圖解計算的方法，從相軌跡逐步求出時間信息，從而獲得系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線x(t)。

這里我們介紹一種稱為按平均速度求時間信息Dt的方法。由x.=dxdtx.=dxdtΔxBCΔxCDΔtCDΔtABΔtBCtΔxABxABCDxABCDΔxABΔxCDΔxBCx.CDx.BCx.ABx.相軌跡的斜率可表示為x.x.=dxdf(x,)x.－.x.+f(x,)x.=0在奇點處，相軌跡的斜率不確定，即同時滿足x.=0f(x,)x.=0§8.3奇點和極限環(huán)一、奇點(Singularpoint)二、奇點的類型只要在奇點鄰域內(nèi)滿足線性化條件，則系統(tǒng)方程可表示為：f(x,)x.(1)0＜x＜1jωσ兩個實部為負的共軛復(fù)根系統(tǒng)的奇點為穩(wěn)定焦點(Stablefocus)xx.(2)0＞x＞-1兩個實部為正的共軛復(fù)根jωσ系統(tǒng)的奇點為不穩(wěn)定焦點(Unstablefocus)xx.(3)x＞1兩個負實根jωσ系統(tǒng)的奇點為穩(wěn)定節(jié)點(Stablenode)xx.(4)x＜-1兩個正實根σjω系統(tǒng)的奇點為不穩(wěn)定節(jié)點(Unstablenode)xx.(5)x＝0兩個實部為零的共軛復(fù)根jωσ系統(tǒng)的奇點為中心點(Center)xx.兩個異號實根jωσ(6)系統(tǒng)的奇點為鞍點(Saddlepoint)xx.三、極限環(huán)極限環(huán)(limitcycle)是非線性系統(tǒng)所特有的自激振蕩現(xiàn)象，在相平面圖中表現(xiàn)為一個孤立的封閉軌跡。(1)穩(wěn)定極限環(huán)(2)不穩(wěn)定極限環(huán)極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡曲線都從極限環(huán)發(fā)散。xx.極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡曲線都收斂于該極限環(huán)。xx.(3)半穩(wěn)定極限環(huán)極限環(huán)分割的兩個區(qū)域都是穩(wěn)定的，或都是不穩(wěn)定的。xxx.x.例8-3分析如下系統(tǒng)的穩(wěn)定性.x.x.+0.5+2x+x2=0解：x.=0f(x,)x.=0求得奇點(0,0)和(-2,0).x.x.+0.5+(2+2xi)x=0在(xi,0)奇點附近，系統(tǒng)的線性化方程為24-224-4xx.在奇點(-2,0)處，系統(tǒng)的線性化方程為.x.x.+0.5-2x=0在奇點(0,0)處，系統(tǒng)的線性化方程為.x.x.+0.5+2x=0§8.4非線性系統(tǒng)的相平面分析一、繼電型控制系統(tǒng)的分析根據(jù)非線性的線性分段情況，把相平面分成幾個區(qū)域。在各區(qū)域內(nèi)，求出相應(yīng)的線性微分方程，做出各自的相平面圖。根據(jù)連續(xù)性，將相鄰區(qū)域的相軌跡彼此連接成連續(xù)曲線，即得非線性系統(tǒng)的相平面圖。Ks(Ts+1)+M-Mmecr元件特性為：當(dāng)e＞0時,m=M;當(dāng)e＜0時,m=-M.因此分界線為直線e=0。它把相平面分成兩個線性區(qū)Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)。

eⅠe.ⅡA0

eⅠe.ⅡA1A2在區(qū)域Ⅰ內(nèi)T+=-KMe..e.等傾線方程：e.-KM/Ta+1/T=e>0,m=M，系統(tǒng)方程為：在區(qū)域Ⅱ內(nèi)T+=KMe..e.e<0,m=-M系統(tǒng)方程為：與T+=-KMe..e.其相平面圖對稱于原點比較,M-MΔ-Δem若繼電元件有滯環(huán)特性在＞0時的平面內(nèi)，分界線為e=+D。在＜0時的平面內(nèi)，分界線為e=-D。它們把相平面分為兩部分。e&e&eⅠⅡe.其右半平面，系統(tǒng)在+M信號作用下，系統(tǒng)方程為：T+=-KMe..e.相軌跡為曲線族Ⅰ。其左半平面，系統(tǒng)在-M信號作用下，系統(tǒng)方程為：T+=KMe..e.相軌跡為曲線族Ⅱ。M-MΔ-Δem若繼電元件有死區(qū)當(dāng)e＞D,m=+M當(dāng)e＜-D,m=-M當(dāng)-D＜e＜D,m=0元件特性為：分界線為e=+D和e=-D，它們將相平面分為三個區(qū)域eⅠⅡe.Ⅲ在區(qū)域Ⅰ內(nèi)T+=-KMe..e.在區(qū)域Ⅱ內(nèi)T+=KMe..e.在區(qū)域Ⅲ內(nèi)T+=0e..e.相軌跡斜率為：二、非線性增益控制系統(tǒng)分析在線性系統(tǒng)中，增益的選擇需要兼顧調(diào)節(jié)時間，超調(diào)量及振蕩次數(shù)等性能指標(biāo)。在線性系統(tǒng)中只能選取折中方案。若采用非線性校正，則可能得到較好效果。0321xt系統(tǒng)階躍響應(yīng)Ks(Ts+1)mecrGNmt10e0-e0k系統(tǒng)方程可寫為T+=Kmc..c.ke|

e

|<e0e

|

e

|>e0m=e

=r-cT++

Km=e..e.T+r..r.(一)階躍響應(yīng)分析

AⅡⅠe0e0e0BCDEFe.在區(qū)域Ⅰ內(nèi)

T++kKe

=0e..e.在區(qū)域Ⅱ內(nèi)T++Ke

=0e..e.(二)斜坡響應(yīng)分析

BAeⅡⅠCDEp1p20e0e0(b)kKe0＜V＜Ke0,R=0e.p2p1ABe0-e0eⅠⅡ(a)V＜kKe0,R＞e0

0e.T++kKe

=V|

e

|<e0

e..e.T++

Ke

=V

|

e

|<e0

e..e.三、二階時間—最優(yōu)控制系統(tǒng)的分析及綜合er時間最優(yōu)控制器直流電動機Js1icc.crRitImax-Imaxc.電動機

Mmax=KmImax

加速度Cmax=Mmax/J設(shè)電動機的傳遞函數(shù)為Km/s,則i(t)=±Imax

=±JKm.c.Imax=JKm.c.i在r(t)=R作用下，t＞0時,系統(tǒng)的誤差方程=JKm.e.Imax±相軌跡方程為其中K=J2KmImax2=K(e-e0)±e.Q-Imax0A+ImaxA′B′BpⅠⅡee.§8.5非線性特性的描述函數(shù)一、諧波線性化描述函數(shù)(describingfunction)是對非線性特性在正弦信號作用下的輸出，進行諧波線性化處理之后得到的，表達形式上類似于線性理論中的幅相頻率特性。輸入信號x(t)=Xsinwt

ω0ωω3ω5ω7Y方波信號的富里葉級數(shù)Mxy0yM0ππ2ωt0ππ2ωtx推廣到一般情況，設(shè)輸出信號可以表示為富氏級數(shù)形式:式中若非線性特性具有奇對稱特性，則A0=0式中二、描述函數(shù)(describingfunction)非線性元件輸出信號y(t)中的一次諧波分量y1(t)與正弦輸入信號x(t)的復(fù)數(shù)比，稱為非線性元件的描述函數(shù)(describingfunction)，其數(shù)學(xué)表達式為式中：X為非線性元件正弦輸入信號的振幅；Y1為非線性元件正弦輸入信號中一次諧波分量的振幅；f1為非線性元件正弦輸入信號中一次諧波分量的角位移。三、典型非線性特性的描述函數(shù)(一)飽和非線性輸出y(t)k輸入x(t)s-s0π2π0π-φ1φ1x(t)Xωtx(t)=Xsinwt

π2π0φ1π-φ1ksy(t)ωty(t)y1(t)=Y1sinwt

飽和非線性輸出

由于飽和非線性是原點單值奇對稱所以，A0=0，A1=0從圖中可得飽和非線性的描述函數(shù)為0x(t)Xπ2ππ-φ1φ1ωtx(t)=Xsinwt

輸出y(t)k輸入x(t)Δ0-Δkπ2π0φ1π-φ1y(t)ωty(t)y1(t)=Y1sinwt

(二)死區(qū)非線性

非線性的輸出死區(qū)非線性的描述函數(shù)為mhM-M-mhh-hy(t)x(t)0π2π0x(t)Xωtx(t)=Xsinwt

j3j1j2j4π2πy(t)ωty(t)y1(t)=Y1sin(wt+j1)0j3j4j2j1(三)具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器型非線性非線性的輸出式中：由于具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器特性是對原點多值奇對稱，它在正弦輸入作用下的輸出量y(t)既不是奇函數(shù)又不偶函數(shù)，所以A1和B1都必須計算，但A0=0于是具有死區(qū)和滯環(huán)繼電器的描述函數(shù)為§8.6用描述函數(shù)分析非線性函數(shù)非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)及基本假設(shè)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)自激振蕩的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化對非線性系統(tǒng)進行分析，首先考慮的是穩(wěn)定性和自激振蕩問題。描述函數(shù)法對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性、產(chǎn)生自激振蕩的條件、自激振蕩的振幅和頻率的確定、以及如何抑制自激振蕩等問題，都能夠給出比較符合實際的解答。一、非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)及基本假設(shè)一個非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)只是表示了該環(huán)節(jié)在正弦輸入下，環(huán)節(jié)輸出的一次諧波分量與輸入的關(guān)系。如果這個系統(tǒng)發(fā)生了自激振蕩，我們總可以假定非線性環(huán)節(jié)輸入端的振蕩是接近于正弦波的形式。如圖所表示的非線性控制系統(tǒng)，其中G代表系統(tǒng)的線性部分。非線性特性G描述函數(shù)法對系統(tǒng)的基本假設(shè)是：1、可歸化為下圖所示的典型結(jié)構(gòu)。2、非線性部分輸出中的高次諧波振幅小于基波振幅。3、線性部分的低通濾波效應(yīng)較好。非線性特性G二、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析若已知系統(tǒng)中非線性特性的描述函數(shù)N(X)和線性部分的頻率特性G(jw)，則系統(tǒng)的特征方程為1+N(X)G(jw)=0或N(X)G(jw)=-1可改寫為G(jw)=N(X)-1線性系統(tǒng)的特征方程為

G(jw)=-1根據(jù)復(fù)平面內(nèi)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jw)曲線與臨界點(-1，j0)的相對位置，應(yīng)用乃奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)，可以分析線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在同一復(fù)平面內(nèi)畫以w為參變量的系統(tǒng)線性部分的頻率特性G(jw)曲線和以X為參變量的非線性特性的負倒描述函數(shù)-1/N(X)曲線，根據(jù)兩者的相對位置，應(yīng)用乃奎斯穩(wěn)定性判據(jù)，可以分析諧波線性化后非線性系統(tǒng)零平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性?？梢园涯丝固胤€(wěn)定判據(jù)，推廣應(yīng)用于諧波線性化的非線性系統(tǒng)，需要修改的僅僅是將復(fù)平面內(nèi)的臨界點(-1，j0)擴展為臨界曲線-1/N(X)曲線。利用乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)，如果-1/N(X)曲線不被G(jw)曲線包圍，則系統(tǒng)的零平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。ω=0+Xω→∞ReImG(jw)ω=0-1N(X)(a)0如果-1/N(X)曲線被G(jw)曲線全部包圍或部分包圍，則系統(tǒng)狀態(tài)在干擾作用下，不能回到零平衡狀態(tài)，所以系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。Xω→∞0ReImG(jw)ω=0-1N(X)(b)AA"ω=0+ω→∞0ReImG(jw)ω=0X-1N(X)A′B′BB"(c)三、非線性系統(tǒng)自激振蕩的穩(wěn)定性分析如果非線系統(tǒng)的負倒描述函數(shù)-1/N(X)曲線與線性部分頻率特性G(jw)曲線相交，交點處的參數(shù)—振幅Xi和頻率wi使系統(tǒng)的特征方程成立，非線性系統(tǒng)可能產(chǎn)生Xisinwit的自激振蕩。AA"ω=0+ω→∞0ReImG(jw)ω=0X-1N(X)A′B′BB"(c)在復(fù)平面內(nèi)G(jw)曲線與-1/N(X)曲線有交點，如果干擾使系統(tǒng)的工作點由交點處變動到X稍微增大的新工作點處，不被G(jw)曲線包圍，則該交點處的自激振蕩是穩(wěn)定的。