信息光學第三章

第三章光學成像系統(tǒng)的頻率特性主講人：徐世祥本章主要內(nèi)容：光波通過透鏡的位相分布；透鏡的傅立葉變換特性；透鏡孔徑對傅立葉變換的影響；衍射受限系統(tǒng)的點擴散函數(shù)、成像規(guī)律；相干傳遞函數(shù)、光學傳遞函數(shù)；有像差系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；相干與非相干成像系統(tǒng)的比較。本章的教學目的與要求：掌握光波通過透鏡的位相分布；掌握透鏡傅立葉變換特性及孔徑對傅立葉變換的影響；掌握衍射受限系統(tǒng)的點擴散函數(shù)、物象規(guī)律；掌握傳遞函數(shù)的物理意義及傳遞函數(shù)的計算。§3.0概述

透鏡能使人們在較近的距離觀察到物體的遠場衍射圖樣。

透鏡能夠改變光波的空間位相分布，即透鏡具有對透射光波進行空間位相調(diào)制的能力。

透鏡可以用來實現(xiàn)物體的傅立葉變換。透鏡的這一性質(zhì)是光學模擬計算方法的基礎(chǔ)，也是相干光學信息處理方法的基礎(chǔ)。光學成像系統(tǒng)最基本的元件：透鏡一、薄透鏡的位相調(diào)制作用為研究透鏡對入射波前的作用，引入透鏡的復振幅透過率：§3.1薄透鏡的作用透鏡能將一點成像到另一點處。P2平面上復振幅可表示為：o點發(fā)出的球面波到達P1平面上某點(x,y)時，其復振幅可表示為(A為緊靠透鏡表面的光場振幅)：結(jié)合成像關(guān)系，假如U1(x,y)經(jīng)透鏡變換后成為

U2(x,y)透鏡的復振幅透過率可表示為：略去與x,y無關(guān)的常數(shù)因子，透鏡的復振幅透過率可得：忽略透鏡表面的反射損耗，顯然與x,y相關(guān)的空間位相調(diào)制作用按照成像公式有（f為焦距）：考慮到透鏡孔徑的有限大小對光場分布的影響，透鏡透過率更一般的表示式可寫為：孔徑函數(shù)孔徑函數(shù)（振幅）相位函數(shù)考慮光波由P1平面到P2平面：物函數(shù)對入射光波的菲涅耳衍射；P2面上的光波場分布為：二透鏡的傅立葉變換性質(zhì)yP4yP1O1O2xxP2P3f(x,y)fl(x,y)f’l(x,y)Lg(x,y)單色平面光波垂直照明光波由P2平面到P3平面：P2平面的光波場乘以透鏡的透過率函數(shù)；P3面上的光波場分布為：光波由P3平面到P4平面：P3面到P4面的菲涅耳衍射結(jié)果；P4面上的光波場分布為：積分形式為若觀測屏處于透鏡后焦面，且不考慮透鏡孔徑的影響，有d2=f,P(x,y)=1,于是整理得傅立葉譜位相彎曲物面不同位置討論（1）物體位于透鏡前焦面時，透鏡后焦面上得光場分布為：物體位于透鏡前焦面時，透鏡后焦面上將得到物函數(shù)的準確的傅立葉變換。（2）物平面緊靠透鏡前表面時透鏡后焦面上的光場分布為：后焦面上的光場分布仍然是物函數(shù)的傅立葉頻譜，但多了一個位相因子。（3）物體位于透鏡后時，通過物的光波是會聚波，物面上光強和它離后焦面的距離d有關(guān)。物面上光場可表示為物后表面上的光場分布：物面被照明部分的孔徑函數(shù)物(的透過)函數(shù)仍可在后焦面上得到傅立葉功率譜。其光強分布為從物后表面到透鏡后焦面可視為菲涅爾衍射過程，則：如果物面全部被照明，且令P(fx/d,fy/d)=1,透鏡后焦面上光場分布為：物放在透鏡后，在后焦面上仍可以得物的傅立葉譜，僅多一位相因子。強度分布仍然是物的功率譜。而且小結(jié)：1）無論物放在透鏡前還是后，在透鏡的后焦面上都可以得到物的傅立葉變換功率譜。2）物緊貼透鏡前或后，在透鏡的后焦面上得到相同的場分布。3）值得注意的是，當物放在透鏡后時，由于，所以，通過調(diào)節(jié)d值，可以實現(xiàn)傅立葉譜空間縮放。物體被點光源照明時，譜面就不在透鏡的后焦面上，而是在點光源經(jīng)物鏡后的像點所在的橫截面上。功率頻譜面在哪里?透鏡實現(xiàn)傅立葉變換的兩種途徑：

1采用平行光照明，在透鏡的后焦面上觀察物的頻譜；

2采用點光源照明衍射屏，在點光源的像平面上得到衍射屏函數(shù)的傅立葉頻譜（無論衍射屏位于透鏡前還是透鏡后），且頻譜的零頻位置就在點光源的像點處。dd’三透鏡孔徑的影響透鏡有限孔徑：1）影響出射光通量；2）影響空間頻譜，進而影響成像質(zhì)量。

對于零頻分量，在透鏡的孔徑范圍內(nèi)的物點發(fā)出的都能通過透鏡。對于離軸程度不同的點，透鏡孔徑作用的截止頻率不同。0

物面上點發(fā)出的都可以經(jīng)過透鏡的最大空間頻率分量為：

物面上點發(fā)出的光被透鏡完全擋住的最小空間頻率（截止頻率）：如圖，透鏡焦距40厘米，d=2厘米,D=5厘米,波長為500納米，d1=60厘米，求1）物面上點發(fā)出的都可以經(jīng)過透鏡的最大空間頻率；2）物面上點發(fā)出的光被透鏡完全擋住的最小空間頻率。無論成像系統(tǒng)的具體結(jié)構(gòu)如何，都可以將其歸結(jié)為如下模型：光波由物平面到像平面可分為三個過程：§3.2光學成像系統(tǒng)的一般分析一成像系統(tǒng)的普遍模型物平面入瞳出瞳像平面312光學系統(tǒng)的孔徑光欄：光學系統(tǒng)中對光起實際限制作用的那個光學元件孔徑。入瞳：孔徑光欄通過它前面的光學系統(tǒng)所成的像。出瞳：孔徑光欄通過它后面的光學系統(tǒng)所成的像?？讖焦鈾凇⑷胪统鐾嬖诨槲锵耜P(guān)系。實際光學系統(tǒng)：衍射受限系統(tǒng)、像差系統(tǒng)衍射受限系統(tǒng)：指系統(tǒng)可以不考慮像差影響，僅僅考慮光瞳產(chǎn)生的衍射限制；衍射受限系統(tǒng)：當像差很小，或者系統(tǒng)的孔徑和視場都不大，實際光學系統(tǒng)就可以近似看作是衍射受限系統(tǒng)；衍射受限系統(tǒng)的邊端性質(zhì)：物面上一點光源發(fā)出的發(fā)散球面波入射到入瞳上，被透鏡組變換為出瞳上的會聚球面波；像差系統(tǒng)的邊端性質(zhì)：點光源發(fā)出的發(fā)散球面波入射到入瞳上，出瞳處的波前明顯偏離理想球面波。偏離的程度可由波像差描述，它決定于透鏡組本身的物理結(jié)構(gòu)。二衍射受限系統(tǒng)的點擴散函數(shù)研究光學系統(tǒng)的核心任務就是求系統(tǒng)的點擴散函數(shù)。成像系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，其像平面上的光場復振幅分布可寫為物函數(shù)與成像系統(tǒng)脈沖響應函數(shù)的疊加積分；只要能夠確定成像系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)，就能完備的描述該成像系統(tǒng)的性質(zhì)。即將物函數(shù)看成無窮多個(x0-,y0-)函數(shù)的集合。對于單透鏡光學系統(tǒng)顯然對于物面點(,

)(1)(2)(3)物平面透鏡前表面像平面312透鏡后表面物面上一點函數(shù)表示，P(x,y)為出射光瞳函數(shù)將單透鏡光學系統(tǒng)推廣到復合成像系統(tǒng)2物平面入瞳像平面31出瞳等效焦距入瞳對于成像系統(tǒng)，相位項可以忽略，于是應用成像公式：等效焦距傅里葉變換結(jié)論：單色光照明時，衍射受限系統(tǒng)的脈沖響應數(shù)值上就是系統(tǒng)光瞳函數(shù)的傅立葉變換，其中心在幾何光學理想像點xi=Mx0，yi=My0

衍射受限成像系統(tǒng)為線性空不變系統(tǒng)。如果光瞳無窮大，則物上一點，成像面上仍是一點。相應的成像面上函數(shù)分布

當不考慮出瞳的有限大小時：幾何光學的理想像是物體的準確復現(xiàn)，但尺寸進行了縮放?？紤]出瞳的有限大小時：像面上光波場的復振幅分布等于幾何光學理想像與系統(tǒng)脈沖函數(shù)的卷積，物面上一點，像面上一個斑。不是準確成像,部分高空間頻率信息丟失（卷積的加寬平滑效應）。三準單色光照明的物像關(guān)系分析單色光：光只有一個時間頻率，即光譜寬度無限窄。衍射傳輸f(x0,y0,t)f(xi,yi,t)準單色光：光的時間頻率寬度小小與其中心頻率值。在頻率域，不同頻率的光在傳輸過程中是相互獨立的。探測器測到的光強分布為完成從物函數(shù)到像函數(shù)之間的換算。于是光強分布為同一時間，不同空間點光強的關(guān)聯(lián)程度主要考察兩處的相位關(guān)聯(lián)。假定物面上兩點（x0,y0）和(x,y)光場為：空間相干與非相干照明衡量物面上兩點（x0,y0）和(x,y)光場之間相干程度。時間平均部分顯然

相干（空間）照明：物面上任意兩點光場之間的相位差隨時間變換是恒定的。非相干照明：物面上任意兩點光場之間的相位差隨時間變換是隨機的。

相干光場之間的疊加是電場疊加（相干疊加）；非相干光場之間的疊加是強度疊加。在相干照明方式下，衍射受限光學系統(tǒng)對光場復振幅變換而言是線性空不變系統(tǒng)；對于光強度的變換，則不是線性系統(tǒng)。對于衍射受限光學系統(tǒng)，在相干光照明下有的相位部分為常數(shù)，所以可忽略。于是光強分布為在非相干光照明下非相干光的空間相干性很差，只有在非常小的空間范圍內(nèi)的兩點光場才有關(guān)聯(lián)。當足夠小時有在非相干光照明下，像面上的光強度分布：在非相干照明方式下，衍射受限光學系統(tǒng)對光強度的變化是線性空不變的，而對復振幅的變換則不是線性的。相干成像系統(tǒng)是光場復振幅變換的線性空不變系統(tǒng):像場復振幅=物場復振幅*系統(tǒng)脈沖響應函數(shù)衍射受限相干成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

在頻域：衍射受限相干成像系統(tǒng)的光學傳遞函數(shù)，相干傳遞函數(shù)相干傳遞函數(shù)的定義相干傳遞函數(shù)與系統(tǒng)物理性質(zhì)的聯(lián)系單色光照明時，衍射受限系統(tǒng)的脈沖響應數(shù)值上等于系統(tǒng)光瞳函數(shù)的傅立葉變換，其中心在幾何光學理想像點xi=Mx0，yi=My0，而相干傳遞函數(shù)是脈沖響應函數(shù)的傅立葉變換，故相干傳遞函數(shù)在數(shù)值上等于系統(tǒng)的光瞳函數(shù)。衍射受限系統(tǒng)的脈沖響應相干傳遞函數(shù)：頻域坐標（fx,fy）與空域坐標(x,y)的關(guān)系：注意與以前的區(qū)別！系統(tǒng)截止頻率為：光學系統(tǒng)輸出像的頻譜為：衍射受限系統(tǒng)對輸入的各種頻率分量的作用就相當于一個低通濾波器。對低于截止頻率的頻率分量，無衰減通過；對于高于截止頻率的頻率分量，則完全截止。截止頻率fCx和fCy是衡量光學系統(tǒng)質(zhì)量的重要參數(shù)之一（分辨率）。像差對系統(tǒng)傳遞函數(shù)的影響光學系統(tǒng)的像差：入射的球面波經(jīng)光學系統(tǒng)后，從出瞳射出波的位相分布與球面波的位相分布的偏差。像差存在的影響：不影響相干傳遞函數(shù)的通頻帶寬度，僅在通頻帶內(nèi)引入了相位畸變，使像失真。相干傳遞函數(shù)計算舉例例1有一出射光瞳為正方形的衍射受限成像系統(tǒng)，正方形的邊長為l，試計算該系統(tǒng)的相干傳遞函數(shù)。正方形光瞳相干傳遞函數(shù)先求光瞳函數(shù)：相干傳遞函數(shù)數(shù)值上等于系統(tǒng)的光瞳函數(shù)，即（用空間頻率表示）X方向截止頻率：Y方向截止頻率：最大截止頻率：衍射受限非相干成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對上式做傅立葉變換，并運用卷積定理，得：

在非相干照明方式下，衍射受限光學系統(tǒng)對光強度的變化是線性空不變的：一衍射受限非相干系統(tǒng)的光學傳遞函數(shù)與前面功率譜比較功率譜實函數(shù)傅立葉變換函數(shù)的實部為偶函數(shù)，虛部為奇函數(shù)，即研究的對象是光強：實數(shù)，非負數(shù)！歸一化頻譜對零頻分量歸一化如果將光學傳遞函數(shù)寫成OTF，光學傳遞函數(shù)MTF，調(diào)制傳遞函數(shù)PTF，位相傳遞函數(shù)歸一化傳遞函數(shù)（非相干傳遞函數(shù)，光學傳遞函數(shù)）光學系統(tǒng)對零頻信息百分之百的傳遞，即H0(0,0)＝1;任意空間頻率的MTF低于零頻下的值，即非相干成像系統(tǒng)是一個低通的空間濾波器:H0(fx,fy)H0(0,0)＝1;光學傳遞函數(shù)的實部為偶函數(shù)，虛部為奇函數(shù)。

調(diào)制傳遞函數(shù)為偶函數(shù)，相位傳遞函數(shù)為奇函數(shù)。

三光學傳遞函數(shù)的一般性質(zhì)二OTF與CTF的關(guān)系光學傳遞函數(shù)等于相干傳遞函數(shù)的歸一化自相關(guān)。調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）描述系統(tǒng)對各頻率分量對比度的傳遞；而位相傳遞函數(shù)（PTF）描述系統(tǒng)對各頻率分量施加的相移。將物像頻譜描述為：從而有于是像對比度物對比度PTFMTF光學系統(tǒng)中像的對比度小于物的對比度。四衍射受限系統(tǒng)的OTF計算光學傳遞函數(shù)是光瞳函數(shù)的歸一化自相關(guān)光瞳函數(shù)的值非零即1，即衍射受限系統(tǒng)OTF的計算光學傳遞函數(shù)步驟：1）確定系統(tǒng)出瞳的形狀和大小，計算出瞳總面積0

。2）計算出瞳面至像平面之間的距離di。3）任意給定一組(fx,fy)值，算出(difx,dify)值；將出瞳平移，使其中心落在(-difx,-dify)處，計算移動前后兩出瞳的重疊面積。4）相繼再給定一組(fx,fy)值，再算出重疊面積。依次類推，就可算出

(fx,fy)值。5）計算

(fx,fy)/0,從而算出HO

(fx,fy)自相關(guān)意味著兩出瞳分別朝相反方向平移，直至重疊面積剛好為零時，它們已經(jīng)平移開了2xmax和2ymax距離。非相干成像系統(tǒng)的截止頻率是相干成像系統(tǒng)的兩倍。衍射受限非相干成像系統(tǒng)的截止頻率計算：像差對OTF的影響將像差和光學傳遞函數(shù)聯(lián)系起來了。1）像差的存在會使光學系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)下降，像面光強度分布的各個頻率分量的對比度降低。2）只要是同樣大小和形狀的出射光瞳，則對于有像差系統(tǒng)和無像差系統(tǒng)，其截止空間頻率都是相同的。截止頻率：OTF的截止頻率是CTF截止頻率的兩倍。但不能說使用非相干照明比使用相干照明具有更好的成像質(zhì)量，因為1